2017_2018学年高中数学课时作业5同角三角函数的基本关系新人教A版必修4
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解析：将sinA＋cosA＝ 两边平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝ ，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－ .因为0<A<π，所以sinA>0，则cosA<0，即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
(2)由已知条件及(1)，可知 ，
解得 ，
∴ ＝ ＝ .
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简： － (α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα<0.
则原式＝ －
＝ · －
＝ ＋ ＝
＝ ＝tanα.
14．已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ ，求下列各式的值．
(1)sinx－cosx；
(2) .
解析：(1)∵sinx＋cosx＝ ，
解析：由 ＝2，得 ＝2，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝ ＝ ＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) sin2α＋ cos2α.
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝ ＝ ＝ .
解析：由sinα－cosα＝ ①，两边平方得1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1，故(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0②，联立①②得sinα＝ ，cosα＝－ ，故tanα＝ ＝－1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－ ，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－ ＝－ ＝－ .
答案：－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7．已知sinαcosα＝ ，则sinα－cosα＝________.
解析：因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2× ＝0，所以sinα－cosα＝0.
答案：0
8．已知 ＝2，则sinαcosα的值为________．
B．tanα＝2且 ＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·cosα＝1
解析：A中，sin2α＋cos2α＝ ≠1，故不成立；B中， ＝ ，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．
答案：C
3．已知tanα＝2，则 ＝()
课时作业5同角三角函数的基本关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－ ，则tanα的值是()
A. B．－
C. D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝ ＝ ＝ ，∴tanα＝ ＝ ＝－ .
答案：D
2．下列结论中成立的是()
A．sinα＝ 且cosα＝
∴(sinx＋cosx)2＝ 2，即1＋2sinxcosx＝ ，
∴2sinxcosx＝－ .
∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋ ＝ ，
又－ <x<0，∴sinx<0，cosx>0，
∴sinx－cosx<0，
∴sinx－cosx＝－ .
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝ ＝ ＝－ .
(3)原式＝ ＝ ＝ ＝ .
10．证明： · ＝1.
证明： ·
＝ ·
＝ ·
＝ ＝ ＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝ ，则这个三角形是()
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析： ＝ ，把tanα＝2代入，
得原式＝3.
答案：D
4. cos2x＝()
A．tanxB．sinx
C．cosxD.
解析： cos2x＝ ·cos2x＝ cos2x＝ .
答案：D
5．已知sinα－cosα＝ ，α∈(0，π)，则tanα＝()
A．－1 B．－
C. D．1
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
(2)由已知条件及(1)，可知 ，
解得 ，
∴ ＝ ＝ .
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简： － (α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα<0.
则原式＝ －
＝ · －
＝ ＋ ＝
＝ ＝tanα.
14．已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ ，求下列各式的值．
(1)sinx－cosx；
(2) .
解析：(1)∵sinx＋cosx＝ ，
解析：由 ＝2，得 ＝2，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝ ＝ ＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) sin2α＋ cos2α.
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝ ＝ ＝ .
解析：由sinα－cosα＝ ①，两边平方得1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1，故(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0②，联立①②得sinα＝ ，cosα＝－ ，故tanα＝ ＝－1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－ ，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－ ＝－ ＝－ .
答案：－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7．已知sinαcosα＝ ，则sinα－cosα＝________.
解析：因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2× ＝0，所以sinα－cosα＝0.
答案：0
8．已知 ＝2，则sinαcosα的值为________．
B．tanα＝2且 ＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·cosα＝1
解析：A中，sin2α＋cos2α＝ ≠1，故不成立；B中， ＝ ，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．
答案：C
3．已知tanα＝2，则 ＝()
课时作业5同角三角函数的基本关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－ ，则tanα的值是()
A. B．－
C. D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝ ＝ ＝ ，∴tanα＝ ＝ ＝－ .
答案：D
2．下列结论中成立的是()
A．sinα＝ 且cosα＝
∴(sinx＋cosx)2＝ 2，即1＋2sinxcosx＝ ，
∴2sinxcosx＝－ .
∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋ ＝ ，
又－ <x<0，∴sinx<0，cosx>0，
∴sinx－cosx<0，
∴sinx－cosx＝－ .
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝ ＝ ＝－ .
(3)原式＝ ＝ ＝ ＝ .
10．证明： · ＝1.
证明： ·
＝ ·
＝ ·
＝ ＝ ＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝ ，则这个三角形是()
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析： ＝ ，把tanα＝2代入，
得原式＝3.
答案：D
4. cos2x＝()
A．tanxB．sinx
C．cosxD.
解析： cos2x＝ ·cos2x＝ cos2x＝ .
答案：D
5．已知sinα－cosα＝ ，α∈(0，π)，则tanα＝()
A．－1 B．－
C. D．1