数学选修2-3课后导练：1.5 二项式定理 含解析 精品

课后导练
基础达标
1.(2x +
x )4的展开式中x 3的系数是( ) A.6 B.12 C.24 D.48
解析:(2x +x )4=x 2(1+2x )4,在(1+2x )4中,x 的系数为24C ·22=24.
答案:C
2(全国高考卷Ⅰ)73)12(x x -
的展开式中常数项是( ) A.14
B.-14
C.42
D.-42 设(2x 3-x 1)7的展开式中的第r+1项是T r+1=r C 7 (2x 3)7-r (-x
1)r =r r C -772·(-1) r ·)7(32r r x -+-, 当-2
r +3(7-r)=0,即r=6时,它为常数项, ∴67C (-1)621=14.
答案:A
3.二项式(a+2b)n 展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数为( )
A.24
B.18
C.16
D.6
解析:T 2=11-n n a C (2b )1=112-∙n n a C b ,所以2n =8,n =4.所以24
2C C n ==6. 答案:D
4.(2005天津高考)设n ∈N *,则123216...66-++++n n n n n n C C C C =__________.
解析:232166n n n C C C +++…+16-n n n C =
13322106...666(6
1-+++++n n n n n n n C C C C C =)17(6
1]1)61[(61-=-+n n . 答案:)17(61-n 5.(北京高考)6)1(x
x -的展开式中的常数项是___________.(用数字作答) 解析:T r+1=r r r r r r r r r r x C x x C x x
C 236626666)1()1()1(-----=-=-. 由题意知6-
2
3r =0. ∴r=4,
即(x -x
1)6的展开式中的常数项是第5项. ∴T 5=(-1)446C =15.
答案:15
6.求5)11(-+
x
x 展开式中的常数项. 解析:(x +x 1 -1)5=［(x +x 1)-1］5, ∴它的展开式通项为
T r+1=r r x
x C -+55)1((-1)r (0≤r≤5,r ∈N ). ∴当r=5时,T 6=155C ·
(-1)5=-1; 当0≤r<5时,(x +
x
1)5-r 的展开式通项为 T k+1′=k k r k r x x C )1(55--- =k r k r x C 255--- (0≤k≤5-r). ∵要求常数项,∴令5-r-2k=0,
即r+2k=5.
∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.
1,32,1k r k r 或. ∴常数项=12352415)1(C C C C +- (-1)3+(-1)=-51.
7. 求6)12x
x -的展开式. 解析:6366)12()12()12(x x x x x x -=-=-
=
63)]1(2[1-+x x
=])2()2()2()2()2()2[(1665624633642651663C x C x C x C x C x C x x
+-+-+- =31x
(64x 6-192x 5+240x 4-160x 3+60x 2-12x +1) =64x 3-192x 2+240x -160+3
211260x x x +-. 8.设a >1,n ∈N,且n ≥2,求证: 1-n a <n a 1-. 证明:设n []a -1=x ,则(x +1)n =a .
欲证原不等式,即nx <(x +1)n -1,其中x >0.
因为(x +1)n =10-n n x C +…+1-n n
C x +1>1-n n C x +1, 即(x +1)n >nx +1,原不等式成立.
9.求3)12(x
x +-展开式中的常数项. 解析:把|x |+x
1暂时看成一项,按差的立方公式展开,然后逐项考察各项的常数项. 原式=(|x |+x 1)3-3(|x |+x 1)2·2+3(|x |+x
1)·22-23. (|x |+x 1)3与12(|x |+x 1)两项中均无常数项,而-6(|x |+x
1)2的常数是-12, 故原式展开式中的常数项为(-12)+(-8)=-20.
10. 求93)x x -展开式中的有理项.
解析:先明确求展开式中的哪几项,进而求出这些项.
展开式中的有理项,即为通项公式中x 的指数为整数的项.
∵T r+1=6279319219)1()()
(r r r r r r x C x x C --∙∙-=-∙∙, 令627r -∈Z,即4+6
3r -∈Z,且0≤r≤9. ∴r=3或r=9.
当r=3时,
6
27r - =4,T 4=(-1)3·39C ·x 4=-84x 4; 当r=9时, 627r -=3,T 10=(-1)9·99C ·x 3=-x 3. 综合运用
11. 在1033)21(x x -
的展开式中,有理式的项数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4 解析: T r+1=(-1)r 321010)21(r
r r
x C -∙∙,
所以要使T r+1为有理式, 则3210r -为整数,即3-r+3
1+r 为整数. 又0≤r≤10,所以r=2,5,8.
答案:C
12.已知9)2
(x x a
-的展开式中x 3的系数为49,常数a 的值为_________. 解析:本题只与某一项有关,用通项公式,设第r+1项是含x 3的项,则有
3994
9)2()(x x x a C r r r =--, 得29r r x x
-=x 3, 故2
3r-9=3, 即r=8. 所以9
4)21(889=-a C . 所以a =4.
答案:4
13.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为多少?(用数字作答)
解析:(x +2)10(x 2-1)=x 2(x +2)10-(x +2)10.
本题求x 10的系数,只要求(x +2)10展开式中x 8及x 10的系数,T r+1=r r x C -1010·
2r , 取r=2,r=0得x 8的系数为22102⨯C 180;
x 10的系数为010C ,
所以所求系数为180-1=179.
拓展探究
14.已知f (x )=(1+x )m +(1+x )n (m 、n ∈N )的展开式中x 的系数为19,求f (x )展开式中x 2项系数的最小值.
解析:∵f (x )=2+(m +n )x +222)(x C C n m ++…,
∴m +n =19,
2
)1(2)1(22-+-=+n n m m C C n m =2
1［m 2+n 2-(m +n )］ =21［2
)()(2
2n m n m -++-(m +n )］ =21［2
)(192
2n m -+-19］. 当且仅当(m -n )2最小时,22n
m C C +取最小值.
又∵m +n =19,∴m =10,n =9或m =9,n =10时(m -n )2最小,此时,f (x )展开式中,x 2项的系数最小值为21［2
1192 -19］=81.。