备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题19 把你的知识综合起来

专题19 把你的知识综合起来
考纲要求:
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。

基础知识回顾:
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.
3.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值. 应用举例
类型一、利用导数研究函数的单调性
【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】 已知函数.
（1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值；
（3）若函数与直线
有三个不同交点，求的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间是，
，
单调递减区间是
（2）
-20.（3）
【例2】【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】 已知函数()3
2
2
234f x x mx nx m =--+在1x =处有极值10.
（1）求实数,m n 的值；
（2）设a R ∈，讨论函数()f x 在区间[]
,1a a +上的单调性.
【答案】(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意得到关于m 的方程组()()2
13430{
1123410
f m n f m n m =--==--+='，
解方程组求得,m n 即可；（2）先判断函数()2
2
41116f x x x x =+-+的单调性，然后根据a
的取值情况分类讨论判断函数()f x 在区间[]
,1a a +上的单调性。

（2）由（1）可知()3
2
41116f x x x x =+-+，
∴()()()2
38111311f x x x x x =+-=-+'
当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
时，()f x 在区间[],1a a +上的单调递增；
综上所述： 或1a >时，()f x 在区间[],1a a +上单调递增；时，()f x 在区间上 时，()f x 在区间[],1a a +上单调递减； 当01a <≤时，()f x 在区间[),1a 上单调递减，在(]
1,1a +上单调递增.
点睛：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对,m n 值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误。

（2）第二问中不能熟练地通过对a 进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况。

类型二、用导数研究函数的极值(多维探究) 【例3】已知函数()x
f x e tx =+.
(1)求函数()f x 的极值点;
(2)若f (x )≥x 2
+1在(0,2)上恒成立,求实数t 的取值范围.
【答案】（1）当t ≥0时,f (x )没有极值点；当t <0时,f (x )的极小值点为x =ln (-t ),没有极大值点.（2）[
)2,e -+∞ 【解析】试题分析：
(1)首先对函数()f x 求导，考虑到导函数含有参数t ，对参数t 大于等于0,和小于0两种情况进行讨论。

(2)恒成立问题,题转化为()min t g x -≤，从而求出参数t 的范围。

【例4】已知函数()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的极值点；
（2）设函数()()()1g x f x a x =--，其中a ∈(1，2)，求函数g(x )在区间[1，e ]上的最小值.
【答案】(1)1
x e
=
是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在.（2）()g x 的最小值为()
11a a g e a e --=-
【解析】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出x 值，划分区间，研究导数在个区间内
的符号，得出极值点；写出函数()g x ，求导得出()g x '，令()0g x '=，得出1a x e -=，研究()g x 的单调性，根据()1,2a ∈，得出x 的范围，求出最值. 试题解析：
（1）函数()f x 的定义域为0+∞（，），()ln 1f x x ='+，由f ′(x )=0得1
x e
=， 所以f ′(x )在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
所以是函数的极小值点，极大值点不存在.
（2）()()ln 1g x x x a x =--，则()ln 1g x x a '=+-, 由()0g x '=,得1a x e -=. 所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
当a ∈（1，2），∴
，由于()1,x e ∈，当1a x e +=时，()g x 取得最小值
为()()
1111ln 1a a a a g e e e a e ++++=--=()1
111a a a a e ae a a e ++++-+=-.
类型三、利用导数求函数的最2018届高三10月学情调研测试】设函数
.
上单调递增；在上单调递
减
当0m ≤时，()'0f x >，∴()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0m >时，()'0f x >得
∴()f x 在.
点睛：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负,导函数中有参数m ，需要对m 进行讨论，来，最终将m n + ，根据m 的范围来求出函数式子的范围即可. 【例6】已知函数()()2
21ln g x x a x a x =-++
(1)当1a =时,求函数()g x 的单调增区间； (2)求函数()g x 在区间[]
1,e 上的最小值． (3)在（1）的条件下，设
=
+
，
求证：（），参考数据：.
【答案】（1
（2）()()222,1
{,1 21,a a g x a a alna a e e a e a a e
-≤=--+<<-++≥；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由()0g x '>可解得()g x 的单调增区间；（2）
（3）令
)
[2,x ∈+∞而得到
(),k f k -
，
当1a ≤，[]
()()1,,0,x e g x g x ≥'∈单调递增，()min 2g x a =-
当1a e <<，()()()1,,0,x a g x g x <'∈单调递减，()()(),,0,x a e g x g x >'∈单调递增，
()()2min ln g x g a a a a a ==--+
当
，
[]()()
1,,0,x e g x g x ≤'∈单调递减，
()()()2min
21g x g e e a e a ==-++()()222,1
{,1 21,a a g x a a alna a e e a
e a a e
-≤
=--+
<<-++≥
（
3）令
=
—
，
，
，单调递减，，，
∴，
==……
=
（）
点睛：导数法解决函数的单调性问题
(1)当f (x )不含参数时，可通过解不等式()()0(0)f x f x ''><直接得到单调递增(或递减)区间．
(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件()()()
()00,,f x f x x a b ≥≤∈''恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是
()f x '不恒等于0的参数的范围．
方法、规律归纳:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 实战演练:
1．【甘肃省天水市
第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数
（a R ∈）. （1）若0x ∀>，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）设函数()()()2F x f x g x =-，若()F x 在[]
1,5上有零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（12【解析】试题分析：（1）0x ∀>，()f x m ≥恒成立，即求()min f x m ≥在()0,+∞上恒成立（2）函数()()()2F x f x g x =-在[]1,5上有零点，等价于方程()()20f x g x -=在[]
1,5上有解.
化简，研究单调性，画出图像即得解. 试题解析：
（1）由题意，得()f x 的定义域为()0,+∞，
.
0x >，∴()f x '、()f x 随x 的变化
2.()f x m ≥
0x >，()h x ∴'、()h x 随x 的变化情况如下表:
()()34513ln54ln5ln 0h h e -=-=->.
作出()h x 在[]
1,5上的大致图象（如图所示）.
在[]1,5上有解. 故实数a 的取值范围是点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解.
2．设函数()2
ln f x x m x =-，()2
g x x x a =-+.
（1）当0a =时，()()f x g x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]
1,3上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）m e ≤；（2）(22ln2,32ln3--]
试题解析：（1）当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤，
得x e =， 当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数，
∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤；
又
()()11,332ln3φφ==-，()()13φφ>如图所示，所以实数a 的取值范围为
(22ln2,32ln3--]
【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a 的不等式组．
3．设函数()()()ln 10,0f x a x b x x ab =+->≠． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b a =-，求函数()f x 的最值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
4．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意1x ，2x D ∈，都有称函数()y f x =为“storm ”函数．已知函数()3
2
1f x x bx cx =+++的图象为曲线C ，
直线1y kx =-与曲线C 相切于()1,10-． （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的减区间；
（2）设02m <≤，若对任意[]
2,x m m ∈-，函数为“storm ”函数，求实
数m 的最小值．
【答案】（1）()f x 在()2,2-上递减（2【解析】试题分析：根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出,b c ，得出函数的解
所以()f x 在()2,2-上递减．
5．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】 已知函数()4
4,f x x x x R =-∈.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =, 求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤；
（3）若方程()=(f x a a 为实数）有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求
证【答案】（1）单调递增区间是(),1-∞,单调递减区间是()1,+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点p 的坐标，利用导数求出切线方程()()()00'g x f x x x =-，构造辅助函数()()()F x f x g x =-，利用导数得到对于任意实数x ，有()(
)0
0F x F x ≤=，即对任意实数x ，都有()()f x g x ≤；
（3）由（2）
求出方程()g x a =的根，由()g x 在(),-∞+∞
单调递减，得到22'x x ≤，同理得到11'x x ≤，根据不等式性质则可证得
此,'
11,x x ≤所以6．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试】已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，
()x f x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=．
（1）求,a b 的值；；
（2）若存在实数m ，对任意的[]
()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．
【答案】（1）2a b ==．（2）2．
试题解析：（1）0x >时，()()(),1,1x
f x ae f ae f ae ===''，
所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即y aex =．
又曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．
（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()x
f x ae =，
由()2f x m ex +≤得
两边取以e 为底的对数得
所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]
1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， （因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，
设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]
1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-，
故2ln 1m k k -≤≤-++，
若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >， 所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．
7．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期第一次月考】设函数（
为自然对数的底数）． （1）当
时，求
的最大值；
（2）当时，恒成立，证明：．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（1）求出当时，函数的导数，求得增区间和减区间，即
可得到极大值，即为最大值
；
（2）①当时，即
②当时，，分别求出
右边函数的最值或值域，即可得证a =1．
令h (x )＝e x －x ，h ′(x )＝e x
－1＞0，则h (x )＞h (0)＝1，g ′(x )＞0，g (x )＞g (0)＝1，a ≤1. 故a ＝1．
【点睛】本题考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，
解题时要注意不等式恒成立思想的运用．
8
（1）若x =2是函数f （x ）的极值点，求曲线y =f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；
（3）设m ，n 为正实数，且m >n 【答案】(1)810x y +-=(2)2a ≤
试题解析：（1由题意知()20f '=，经检验，
1,0），所以切线方程为810x y +-=
（2f （x ）在()0,+∞上为单调增函数，
所以()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，即()2
2210x a x +-+≥在()0,+∞上恒成立．
所以222a -≤，所以2a ≤．
所以a 的取值范围是(]
,2-∞．
9．【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数()3
2
392f x x x x =--+.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在区间[]
2,2-上的最小值；
（3）若函数()f x 与直线y m =有三个不同交点，求m 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间是，(),1-∞-，()3,+∞单调递减区间是()1,3-（2）-20.（3）257m -<<
【解析】试题分析：（1）对函数求导，求出()0f x '=的解，可求得单调区间在。

（2）由
f (x )[]2,2-在
的单调性，可求出最小值。

（3）由（1）结合y =f (x )的图像，可求的m 的范围。

试题解析：（1）()()()2
369331f x x x x x =--=-+'，
当1x <-或x >3时，()0f x '>，所以f (x )在(),1-∞-和()3,+∞单调递增 当-1<x <3时，()0f x '<，所以f (x )在()1,3-单调递减。

（2）由（1）知f (x )在[]
2,1--单调递增，在[-1,2]单调递减，()()20,220f f -==-所
以()min 20f x =-。

（3）由（1）知f (x )在(),1-∞-和()3,+∞单调递增，在()1,3-单调递减，()()17,325f f -==-，由图像可知257m -<<时，函数()f x 与直线y m =有三个不同交点。

10．已知函数()2ln f x ax x =+，，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）
【答案】(1)(2)a 在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
（2，对()1,x ∈+∞恒成立，
，则()()()12f x R x f x <<，
所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个。