证明直线和圆相切的常见方法

证明直线和圆相切的常见方法
证明直线和圆相切，一般有两种情况：
一、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
例1如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：AC是⊙O的切线．
理由：连接OC，
因为OC=OB，
所以∠OCB=∠B．
因为∠COD是△BOC的外角，
所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．
因为∠ACD=2∠B，
所以∠ACD=∠COD．
因为CD⊥AB于D，
所以∠DCO+∠COD=90°．
所以∠DCO+∠ACD=90°．
即OC⊥AC．
因为C为⊙O上的点，
所以AC是⊙O的切线．
例2 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OC，则OA=OC，
所以∠CAO=∠ACO，
因为AC平分∠EAB，
所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，
所以AE∥CO，
又AE⊥DE，
所以CO⊥DE，
所以DE是⊙O的切线．
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径
例3如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．
（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）
（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．
解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC 等．
（2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．
证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．
因为⊙O与AB相切于点D，
所以∠BDO=∠CEO=90°．
因为AO是△ABC的中线，所以OB=OC．
又因为∠B=∠C，
所以△BDO≌△CEO，所以OE=OD．
因为OD是⊙O的半径，
所以OE是⊙O的半径．
所以⊙O与AC边相切．。