(汇总3份试卷)2018年珠海市九年级上学期数学期末综合测试试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）
A．x2﹣1 B．x2+2x+1 C．x2﹣2x+1 D．x（x﹣2）﹣（x﹣2）
【答案】B
【分析】原式各项分解后，即可做出判断．
【详解】A、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；
B、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；
C、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；
D、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，
故选：B．
【点睛】
此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论，其中正确的有（）个．
（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝3
5
；（4）CF＝
1
2
GE
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】（1）根据翻折可得AD＝AF＝AB＝3，进而可以证明△ABG≌△AFG，再设CG＝x，利用勾股定理可求得x的值，即可证明CG＝FG；
（2）由（1）△ABG≌△AFG，可得∠BAG＝∠FAG，进而可得∠EAG＝45°；
（3）过点F作FH⊥CE于点H，可得FH∥CG，通过对应边成比例可求得FH的长，进而可求得S△EFC＝3
5
；
（4）根据（1）求得的x的长与EF不相等，进而可以判断CF≠1
2 GE.
【详解】解：如图所示：
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠可知：
AF＝AD＝3，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF＝1，则CE＝2，
∴AB＝AF＝3，AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝FG，
设CG＝x，则BG＝FG＝3﹣x，
∴EG＝4﹣x，EC＝2，
根据勾股定理，得
在Rt△EGC中，（4﹣x）2＝x2+4，
解得x＝3
2
，则3﹣x＝
3
2
，
∴CG＝FG，
所以（1）正确；
（2）由（1）中Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，
又∠DAE＝∠FAE，
∴∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，
∴∠EAG＝45°，
所以（2）正确；
（3）过点F作FH⊥CE于点H，
∴FH∥BC，
∴FH EF CG EG
,
即1：（3
2
+1）＝FH：（
3
2
），
∴FH＝3
5
，
∴S△EFC＝1
2
×2×
3
5
＝
3
5
，
所以（3）正确；
（4）∵GF＝3
2
，EF＝1，
点F不是EG的中点，CF≠1
2 GE，
所以（4）错误.
所以（1）、（2）、（3）正确. 故选：C.
【点睛】
此题考查正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长度，平行线分线段成比例，正确掌握各知识点并运用解题是关键.
3．如下图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义进行判断即可得出答案．
【详解】A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 4．若点()()1122,,x y x y 、都是反比例函数6y x
=-
图像上的点，并且120y y <<，则下列结论中正确的是（ ）
A ．12x x >
B ．12x x <
C ．y 随x 的增大而减小
D ．两点有可能在同一象限 【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C ，然后根据120y y <<即可判断两点所在的象限，从而判断D ，然后判断出两点所在的象限即可判断B 和A ． 【详解】解:∵6y x
=-
中,-6＜0, ∴反比例函数6y x =-的图象在二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，故C 错误； ∵120y y <<
∴点()11,x y 在第四象限，点()22,x y 在第二象限，故D 错误；
∴12x x ，故B 错误，A 正确．
故选A ．
【点睛】
此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．
5．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：其中正确的有（ ）
①ac ＞0，
②2a+b ＞0，
③4ac ＜b 2，
④a+b+c ＜0，
⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合图象分别得出a ，c ，以及b 2﹣4ac 的符号进而求出答案．
【详解】①由图象可知：a ＞0，c ＜0，
∴ac ＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：﹣2b a
＜1， ∴2a+b ＞0，故②正确；
③由于抛物线与x 轴有两个交点，
∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确；
④由图象可知：x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，
故④正确；
⑤由图象可得，当x ＞﹣
2b a
时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故正确的有3个．
故选：C ．
【点睛】
此题考查二次函数的一般式y ＝ax 2+bx+c 的性质，熟记各字母对函数图象的决定意义是解题的关键.
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD 的面积是（ ）
A ．20
B ．16
C ．34
D ．25
【答案】C 【分析】作BM ⊥x 轴于M ．只要证明△DAO ≌△ABM ，推出OA ＝BM ，AM ＝OD ，由A （﹣3，0），B （2，b ），推出OA ＝3，OM ＝2，推出OD ＝AM ＝5，再利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】解：作BM x ⊥轴于M ．
四边形ABCD 是正方形，
AD AB ∴=，90DAB ∠=︒，
90DAO BAM ∴∠+∠=︒，90BAM ABM ∠+∠=︒，
DAO ABM ∴∠=∠，
90AOD AMB ∠=∠=︒，
∴在DAO ∆和ABM ∆中，
90DAO ABM AOD AMB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
()DAO ABM AAS ∴∆≅∆，
OA BM ∴=，AM OD =，
(3,0)A -，(2,)B b ，
3OA ∴=，2OM =，
5OD AM ∴==，
223534AD ∴=+
∴正方形ABCD 的面积34=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线32
x =-.给出以下四个结论:①0abc =；②0a b c -+>；③a b <；④240ac b -<.正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得到a ＜0以及函数经过原点即可判断①；根据x=-1时的函数值可以判断②；由抛物线的对称轴方程得到为b=3a ，用求差法即可判断③；根据抛物线与x 轴交点个数得到△=b 2-4ac ＞0，则可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
则abc=0，所以①正确；
当x=-1时，函数值是a-b+c ＞0，则②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-322
b a -
=- ＜0， ∴b=3a ，
又∵a ＜0，
∴a-b=-2a ＞0
∴a ＞b ，则③错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，即4ac-b 2＜0，所以④正确．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开
口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
8．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC △，延长,BP CP 分别交AD 于点,E F ，连接
,BD DP 、BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论： ①12
AE CF =；②135BPD ∠=︒；③~PDE DBE ∆∆；④2ED EP EB =⋅；其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．②③
C ．①②④
D ．①③④
【答案】A 【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性质即可判断①；证得PC=CD ，利用三角形内角和定理即可求得∠PDC ，可求得∠BPD ，即可判断②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可证明△PDE ∽△DBE ，判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④．
【详解】∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD 中，
∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴Rt ABE Rt DCF ≅，
∴1122
AE BE CF ==；故①正确； ∵PC=CD ，∠PCD=30°， ∴∠PDC=∠CPD =
()1180PCD 2∠︒-=()1 180302︒-︒=75°， ∴∠BPD=∠BPC+ ∠CPD =60°+75°=135°，故②正确；
∵∠PDC=75°，
∴∠FDP=∠ADC -∠PDC=90°- 75°=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD ，
∵∠DEP=∠DEP ，
∴△PDE ∽△DBE ，故③正确；
∵△PDE ∽△DBE ， ∴EP ED ED EB
=，即2ED EP EB =，故④正确； 综上：①②③④都是正确的．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
9．如图，若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴是直线1x =-，则下列四个结论中，错误的是
（ ）．
A ．0abc >
B ．42a c b +>
C ．320b c +>
D ．0a b c ++<
【答案】C 【分析】根据对称轴是直线1x =-得出2b a =，观察图象得出0a <，0c >，
进而可判断选项A ，根据1x =时，y 值的大小与2b a =可判断选项C 、D ，根据2x =-时，y 值的大小可判断选项B ．
【详解】由题意知，12b a
-=-，即2b a =， 由图象可知，0a <，0c >，
∴0b <，
∴0abc >，选项A 正确；
当1x =时，0y a b c =++<，选项D 正确；
∵2b a =，
∴222320a b c b c ++=+<，选项C 错误；
当2x =-时，420y a b c =-+>，选项B 正确；
故选C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数a，b，c的关系，学会取特殊点的方法是解本题的关键．
10．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是( )
A．圆B．矩形C．椭圆D．三角形
【答案】B
【分析】利用圆锥的形状特点解答即可.
【详解】解：平行于圆锥的底面的截面是圆，故A可能;
截面不可能是矩形，故B符合题意；
斜截且与底面不相交的截面是椭圆，故C可能;
过圆锥的顶点的截面是三角形，故D可能.
故答案为B.
【点睛】
本题主要考查了截一个几何体所得的截面的形状，解答本题的关键在于明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关.
11．下列图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm
【答案】C
【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l=1085180
π⨯=3πcm ，则重物上升了3πcm ，故选C. 考点：旋转的性质．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______.
【答案】－5.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，
∴12121
4x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，
故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，
12x x q =．
14．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A
、()4,5B ，那么此抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线2x =
【分析】根据点A 、B 的纵坐标相等判断出A 、B 关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同， ∴抛物线的对称轴为直线0422x +=
=． 故答案为：直线2x =．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，观察出A 、B 是对称点是解题的关键．
15．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，同时一棵树在地面上的影子长12米，则树的高度为_____米．
【答案】1
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题， 【详解】∵ 1.713.42==小刚的身高小刚的影长，
∴1 2
=
树高
树影长
，即
1
122
=
树高
∴树高为1m
故答案为：1．
【点睛】
利用相似比和投影知识解题，在某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，此题就用到了这一知识点．16．如图，一路灯B距地面高BA＝7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD＝6m，DG＝4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变长了_____m．
【答案】1．
【分析】根据由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，即
DE CD
AE AB
=、
HG FG
HA AB
=，据此求得DE、HG的值，从而得出答案．
【详解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，
∴
DE CD
AE AB
=、
HG FG
HA AB
=，即
1.4
67
DE
DE
=
+
、
1.4
467
HG
HG
=
++
，
解得：DE＝1.5、HG＝2.5，
∵HG﹣DE＝2.5﹣1.5＝1，
∴影长变长1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
17．不等式组
231
12
x
x
-<
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集为__________．
【答案】12
x
-≤<
【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集．
【详解】解答：
231
12
x
x
-<
⎧
⎨
-≤
⎩
①
②
，
由①得：2
x<，
由②得：1x ≥-，
∴不等式组的解集为12x -≤<， 故答案为：12x -≤< 【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是解不等式．
18．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x 个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x =______. 【答案】1
【分析】根据用频率估计概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出x 的值． 【详解】解：∵经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右 ∴摸到白球的概率为0.95
∴
30.9513x
x +=++
解得：x =1
经检验：x =1是原方程的解． 故答案为：1． 【点睛】
此题考查的是用频率估计概率和根据概率求数量问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与反比例函数k
y x
=
（k≠0）的图象相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，tan ∠DCO=3
2
，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若点C 是OE 的中点，且点A 的横坐标为﹣1．，
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接ED ，求△ADE 的面积．
【答案】（1）y=﹣32x ﹣3，y=﹣12
x
；（2）S △ADE = 2． 【分析】
（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO=3
2
，OD=3，即可得到A（-1
，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．
【详解】
（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1，
∴OE=1，OC=2，
∵Rt△COD中，tan∠DCO=3
2
，
∴OD=3，
∴A（﹣1，3），
∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），
∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴
3
20
b
a b
=-
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得
3
3
a
x
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴一次函数的解析式为y=﹣3
2
x﹣3，
把点A的坐标（﹣1，3）代入，可得3=
4
k
-
，解得k=﹣12，
∴反比例函数解析式为y=﹣12
x
；
（2）S△ADE=S△ACE+S△DCE=
1
2
EC•AE+
1
2
EC•OD=
1
2
×2×3+
1
23
2
⨯⨯=2．
20．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50，360；（2）
2
3
．
【解析】试题分析：（1）根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后根据求出
不了解的百分比估计即可；
（2）根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可.
试题解析：（1）由饼图可知“非常了解”为8%，由柱形图可知（条形图中可知）“非常了解”为4人，故本次调查的学生有（人）
由饼图可知：“不了解”的概率为，故1200名学生中“不了解”的人数为（人）
（2）树状图：
由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女分别为
共8种．
∴
考点：1、扇形统计图，2、条形统计图，3、概率
21．有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面上方分别画有四个不同的几何图形，下方写有四个不同算式，小明将四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，将其余3张洗匀后再摸出一张．
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A、B、C、D表示)；
(2)求摸出的两张纸牌的图形是中心对称图形且算式也正确的纸牌的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）1 6
【分析】（1）分别用树状图和列表法表示所有可能的情况；
（2）既是中心对称图形，算式也正确的有C、D，然后根据（1）中的树状图或列表得出概率．【详解】解: （1）树状图: 图中共有12种不同结果．
列表: 表中共有12种不同结果
(2) ∵ 在四张纸牌中，图形是中心对称图形且算式正确的只有C ，D 两张 ∴ 所求的概率为21126
P ==． 【点睛】
本题考查求解概率，列表法和树状图法是常考的两种方法，需要熟练掌握．
22．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD=CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ，连接OC ．
(1) 判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2) 若3DE=3，求⊙O 的半径及AC 的长．
【答案】（1）DC 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）半径为1，7
【分析】（1）欲证明CD 是切线，只要证明OD ⊥CD ，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OBE 中，根据OE 2=EB 2+OB 2，可得()2
223(3)r r -=+，推出r=1，可得OE=2，即有1
2
OB OE =
，可推出30E ︒∠=，则利用勾股定理和含有30°的直角三角形的性质，可求得OC=2，3BC =，再利用勾股定理求出22AC AB BC =+
【详解】（1）证明：∵CB=CD ，CO=CO ，OB=OD ， ∴△OCB ≌△OCD （SSS ）， ∴∠ODC=∠OBC=90°， ∴OD ⊥DC ，
∴DC 是⊙O 的切线； （2）解： 设⊙O 的半径为r ． 在Rt △OBE 中，∵OE 2=EB 2+OB 2， ∴()2
223(3)r r -=+， ∴1r =
∴OE=3-1=2 Rt △ABC 中，1
2
OB OE = ∴30E ︒∠=
∴903060ECD ∠=︒-︒=︒
1
302
BCO ECD ∠=
∠=︒ Rt △BCO 中,2212OC OB ==⨯=,
2222213BC OC OB =-=-=
Rt △ABC 中,22222(3)7AC AB BC =+=+=
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟悉相关性质定理是解题的关键．
23．如图，在直角坐标系中，以点C ()20，
为圆心，以3为半径的圆，分别交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，过点B 的直线交x 轴负半轴于点D 502⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，．
（1）求A B 、两点的坐标；
（2）求证：直线BD 是⊙C 的切线．
【答案】（1）()5,0A ,(5B ；（2）详见解析．
【分析】（1）先根据圆的半径可求出CA 的长，再结合点C 坐标即可得出点A 坐标；根据点C 坐标可知OC 的长，又根据圆的半径可求出CB 的长，然后利用勾股定理可求出OB 的长，即可得出点B 坐标； （2）先根据点,,B C D 坐标分别求出,,BC BD CD ，再根据勾股定理的逆定理可得DBC ∆是直角三角形，然后根据圆的切线的判定定理即可得证． 【详解】（1）∵()2,0C ，圆的半径为3 ∴2OC =，3CA = ∴5OA OC CA =+=
点A 是x 轴正半轴与圆的交点
∴()5,0A
如图，连接CB ，则3CB =
在Rt OCB ∆中，2222325OB CB OC =-=-= 点B 是y 轴正半轴与圆的交点 ∴(0,5)B ；
（2）∵()5(0),202,D C -
， ∴559
,2()222
OD CD ==--=
在Rt DBO ∆中，2
2
2
2545
544
BD OB OD =+=+
= 则在DBC ∆中，22
24581944
BD BC CD +=+== DBC ∴∆是直角三角形，即BC BD ⊥
又∵BC 是⊙C 半径 ∴直线BD 是⊙C 的切线． 【点睛】
本题是一道较简单的综合题，考查了圆的基本性质、勾股定理、圆的切线的判定定理等知识点，熟记各定理与性质是解题关键．
24．化简：（1）2
4()(2)y y x x y ---；
（2）
11
()122
a a a a -÷++--． 【答案】（1）2x -；（2）1
a
a -
【分析】（1）由整式乘法进行化简，然后合并同类项，即可得到答案； （2）先通分，然后计算分式乘法，再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：（1）2
4()(2)y y x x y --- =2224444y xy x xy y --+- =2x -；
（2）
11
()122
a a a a -÷++-- =2121122a a a a a --+÷+-- =2
12
12(1)a a a a --⨯+-- =1
11a +- =1
a a -； 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，整式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
25．如图，海南省三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P 附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A 处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B 处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P 的距离BP 的长．(结果精确到0.1海里，参考数据：tan75°≈3.732，sin75°≈0.966，sin15°≈0.259，2≈1.414，3≈1.732)
【答案】28.3海里
【分析】过B 作BD ⊥AP 于D ，由已知条件求出AB=40，∠P=45°，在Rt △ABD 中求出1
202
BD AB ==，在Rt △BDP 中求出PB 即可． 【详解】解：过B 作BD ⊥AP 于D ，
由已知条件得：AB=20×2=40海里，∠P=75°-30°=45°，
在Rt △ABD 中，∵AB=40，∠A=30°， ∴1
202
BD AB =
=海里， 在Rt △BDP 中， ∵∠P=45°， ∴220228.3PB BD =
=≈（海里）
． 答：此时海监船与黄岩岛P 的距离BP 的长约为28.3海里． 【点睛】
此题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，根据已知得出△PDB 为等腰直角三角形是解题关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()3,4A -，()4,2B -，()1,1C -．
（1）先将ABC ∆竖直向下平移5个单位长度，再水平向右平移1个单位长度得到111A B C ∆，请画出
111A B C ∆；
（2）将111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒，得221A B C ∆，请画出221A B C ∆； （3）求线段11B C 变换到21B C 的过程中扫过区域的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）
52
π
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到111A B C ∆； （2）依据旋转的方向和距离，即可得到221A B C ∆；
（3）依据扇形的面积计算公式，即可得到线段B 1C 1变换到B 2C 1的过程中扫过区域的面积． 【详解】（1）如图111A B C ∆为所求， （2）如图221A B C ∆为所求，
（3）B 1C 1=
223110+=
∴线段B 1C 1变换到B 2C 1的过程中扫过区域的面积为：()
2
90105360
2
S π
π==
． 【点睛】
本题考查了作图−旋转变换和平移变换及扇形面积求解，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
27．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2315344y x x =
-+；（2）9；（3）存在点M 的坐标为（315,28）或（1212
,77
）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形
【分析】(1)根据抛物线经过A 、B 两点，带入解析式，即可求得a 、b 的值.
（2）根据PA=PB ，要求四边形PAOC 的周长最小，只要P 、B 、C 三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.
（3）首先根据△BQM 为直角三角形，便可分为两种情况QM ⊥BC 和QM ⊥BO ，再结合△QBM ∽△CBO ，根据相似比例便可求解.
【详解】解：（1）将点A （1,0），B （4,0）代入抛物线2
3y ax bx =++中，得： 3016430a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：3415
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以抛物线的解析式为2315344
y x x =-+.
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线52
x =
.连接BC ，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC 的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9. (3) 当QM ⊥BC 时，易证△QBM ∽△CBO 所以
QM BM OC OB =, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x
所以
534x x -= 所以157x .所以QM=CM=157，BM=5- x=207
,所以BM:CM=4:3. 过点M 作NM ⊥OB 于N ，则MN//OC, 所以 NM BM BN OC CB OB
==, 即4374NM BN == ，所以1216,77MN BN ==, 127
ON OB BN =-= 所以点M 的坐标为（1212,77
） 当QM ⊥BO 时, 则MQ//OC, 所以 QM BQ OC OB =, 即34QM BQ = 设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t
又因为QM 2+QB 2=BM 2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得58t =
MQ=3t=158
,32OQ OB BQ =-=, 所以点M 的坐标为（315,28）. 综上所述，存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77
）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形 【点睛】
本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类
讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )
A ．(2，3)
B ．(－2，3)
C ．(－2，－3)
D ．(－3，2)
【答案】B
【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ）”解答．
【详解】根据中心对称的性质，得点P （2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B ．
【点睛】
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 2．如图在O 中，弦,⊥⊥AB AC OD AB 于点D OE AC ⊥，于点E ，若86AB cm AC cm ==，，则O 的半径OA 的长为（ ）
A ．7cm
B ．6cm
C ．5cm
D ．4cm
【答案】C 【分析】根据垂径定理求得OD ，AD 的长，并且在直角△AOD 中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：弦AB AC ⊥，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，
∴四边形OEAD 是矩形，142AD AB cm ==，132
AE AC cm ==，
3OD AE cm ∴==，
2222345()OA OD AD cm ∴=+=+； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；利用垂径定理求出AD ，AE 的长是解决问题的关键． 3．圆锥形纸帽的底面直径是18cm ，母线长为27cm ，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
【答案】C
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积公式以及展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，再利用扇形面积求出圆心角．
【详解】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，
∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，
∴扇形面积为：
2
27
243 360
nπ
π⨯
=
解得：n=1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用以及与展开图各部分对应情况，得出圆锥侧面展开图等于扇形面积是解决问题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双
曲线y＝﹣4
x
上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（）
A．3 B．7
2
C．4 D．
9
2
【答案】B
【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，证明
△AHD≌△DMC≌△BGA，设A(x，﹣4
x
)，结合点B的坐标表示：BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，由HQ＝CM，
列方程，可得x的值，进而根据三角形面积公式可得结论．
【详解】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，
设A(x，﹣4
x )，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAG=∠ADH=∠DCM，
∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS），
∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，
∴AG＝CM＝DH＝1﹣4
x
，
∵AH+AQ＝CM，
∴1﹣4
x
＝﹣
4
x
﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣4
2-
＝3，
∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1，∴点E的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝﹣4
x
得：x＝﹣
4
3
，
∴E(﹣4
3
，3)，
∴EH＝2﹣4
3
＝
2
3
，
∴DE＝DH﹣HE＝3﹣2
3
＝
7
3
，
∴S△CDE＝1
2
DE•CM＝
1
2
×
7
3
×3＝
7
2
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键．5．如图：已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝（）
A．5 B．3 C．3.2 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴AB DE
BC EF
=，即
4
54
DE
，
解得，DE＝3.2，故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6．点P （﹣1，2）关于原点对称的点Q 的坐标为（ ）
A ．（1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1．﹣2）
D ．（﹣1，﹣2） 【答案】C
【分析】根据关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数可得答案．
【详解】解：点P （﹣1，2）关于原点对称的点Q 的坐标为（1，﹣2），
故选：C ．
【点睛】
此题考查的是求一个点关于原点对称的对称点，掌握关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数是解决此题的关键．
7．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x
=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为( )
A ．8
B ．8-
C ．4
D ．4-
【答案】A 【解析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到()()()ABC A 121111S
AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x 轴，
A ∴，
B 两点纵坐标相同，
设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，
()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222
=⋅=-=-=-=， 12k k 8∴-=，
故选A ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.
8．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=
2
x
的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的
是（）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 【答案】D
【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】∵y=−2
x
的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞1；
∵b＞1，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜1．
∴n＜1＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．9．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是1
2
＝0.5，故本选项错误；。