四川省乐山沫若中学2019届高三上学期入学考试(9月) 数学(理)(含答案)

否
是
结束
开始i<11?
输出S
S=Sx 0i=1,n =10S=a 10输入x 0
n=10i
第（6）题图
四川省乐山沫若中学2019届高三上学期入学考试（9月）
数学（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分） 1.已知集合()(){}
310M x x x =-+≥，{}
22N x x =-≤≤，则M N =（ ）
A ．[]1,2--
B ．[]1,2-
C ．[]1,1-
D ．[]1,2 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ ）
A ．34i --
B ．34i -+
C ．34i +
D ．34i - 3．已知向量(1,)a m =，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于（ ） A ．2-2 C ．2-2 D ．0 4．将函数cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
6
π
个单位后，得到()f x 的图象，则
A ．()sin 2f x x =-
B ．)3
22cos()(π+=x x f C ．)3
22sin()(π
+
=x x f D ．x x f 2cos )(-= 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体外接球的表面积为 A. π12 B. π10 C. π9
D. π8
7．
的极值点，则（）
是：：处导数存在，若在函数)(,0)(0,)(00x f x x q f p x x x f x ===
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
8.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的多项式求值算法,至
今仍是比较先进的算法.已知019
91010...)(a x a x a x a x f ++++=，
下列程序框图设计的是求0
()f x 的值，其中
语句是
A. S S n =+
B. n S S a =+
C. i S n =+
D. i S S a =+
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若35724a a a ++=，则9s =（） A ．36 B ．72 C ．144 D ．288
10．已知m x x f --=)6
2sin(2)(π在]2
,0[π∈x 上有两个零点，则m 的取值范围为( )
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1,2)
D ．（1，2] 11．2(x)=cos ln f x x -的图像是（ ）
12．已知点F 1、F 2分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）
为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A 3
B 3
C 21-
D 31-
第II 卷（共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知命题2
:,210p x R ax ax ∃∈++≤．若命题p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
14．()的系数为的展开式中3
25
2y x y x - ．
15．当,2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
时，若()()2sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为 ．
16．给出如下四个结论： ①存在)2
,
0(π
α∈使3
1cos sin =
+a a ②存在区间（,a b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2
sin(2cos x x y -+=π
既有最大、最小值，又是偶函数
⑤|6
2|sin π
+
=x y 最小正周期为π
其中正确结论的序号是
三、解答题（共6小题，其中第22题10分，其余各题均为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且()
ac B b c a 3tan 2
22=-+
（1）求B
（2）若2=b ，求c a +的取值范围及ABC ∆面积的最大值
18． 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 频数 5 10 15 10 5 5 手机支付
4
6
10
6
2
(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；
(Ⅱ)把年龄在 [15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计
可能用到的公式：2
2
(),()()()()
n ad bc k n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++ 独立性检验临界值表：
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD PA 底面⊥， 1,2,//,====⊥AB AP DC AD DC AB AB AD ，点E 为棱PC 的中点.
（1）证明： BE DC ⊥；
（2）求二面角E AB P --的余弦值．
20.已知定点 F (1,0)，定直线 l :x=4，动点 P 到点 F 的距离与到直线 l 的距离之比等于 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；
(2)设
轨迹 E 与 x 轴负半轴交于点 A ，过点 F 作不与 x 轴重合的直线交轨迹 E 于两点 B 、C ， 直线 A B 、AC 分别交直线 l 于点 M 、N. 试问：在 x 轴上是否存在定点 Q ，使得 Q M 若存在，求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
2()P k m >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 m
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
21．设函数)1(2
1ln )(,ln )()(2
≠--+=+=a x x a x a x g x b x x f , 已知曲线y=f(x) 在))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直。

(1) 求b 的值；
(2) 若对任意x ≥1，都有1
)(->a a
x g ，求a 的取值范围．
22．选修4-4：极坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为325
45x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()sin 0a a ρθ=≠．
⑴求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； ⑵设直线l 截圆C 3倍，求a 的值．
参考答案
1—5 ACCBB 6—10 CCBCD 11—12 AD 13．[)1,0 14．－40 15．
43
16．④【解析】①错误；sin cos 2),042ππαααα+=
+<<，3,444
πππ
α∴<+<
2sin()124πα<+≤，12) 2.4
π
α∴<+≤ ②错误；sin 0,22(x k x k k Z πππ<-≤≤∈则），此时函数cos y x =是增函数； ③错误；例如00tan 60tan120> ④正确；cos sin(
)2cos 2
y x x x π
=+-=，为偶函数，最小值是-2，最大值是2；
⑤错误；3
()sin ||sin()sin 2
6662
f π
π
ππππ-
=-+
=-== 3()sin()sin 266f ππππ=+=-=()(),22
f f ππ
π-≠-+最小正周期不为π
17.解：（1）由余弦定理得：B ac b c a cos 22
2
2
=-+ （2）当2=b 时，由正弦定理得：
3
23
sin 3tan cos 2π
=
∴∆==∴B ABC B ac B B ac 是锐角三角形即：
由余弦定理得：
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=∴=
==A C C
c
A a 32sin sin 3
343
sin
2sin sin ππ
A
A sin 2
1
cos 23+=A A cos 2sin 32+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 4πA 2632020<
<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<-<<<∴∆A x A A ABC πππ
ππ
是锐角三角形 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
+∴A A A c a sin 21
cos 23334cos 334ab
4b a 3
cos 242222+=+-+=即π
ab b a
而
当且仅当2==b a 时取等
故 所求ABC ∆面积的最大值为3
18.解：（1）年龄在 [55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X 可能取值为0,1,2 103)0(2
5
23==
=C C X P ；53106)1(251213====C C C X P ；101)2(25
2
2===C C X P 所以X 的分布列为 X 0
1
2
P
10
3 53
10
1 5
410125311030)(=⨯+⨯+⨯
=X E （2）2×2列联表如图所示…（9分） 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 20 10 30 中老年 8 12 20 总计
28
22
50
2
50(2012810)50100(248)5016800 3.463 3.841203028222030472113711231
k ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯====≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；
没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联…………（12分） 19 ⑴证明：取PD 中点F ，连接,AF EF
,E F 分别是,PC PD 的中点 ∴ 1//,2
EF CD EF CD =
1//,2AB CD AB CD = ∴ //,EF
AB EF AB
=
∴四边形ABEF 是平行四边形 ∴ //BE AF
32
34213sin 21424222=⨯⨯≤=
∴≤⇒≥+∴≥+∆πab S ab ab ab ab
b a ABC
PA⊥
面
ABCD
∴PA CD
⊥,,//
AB AD AB CD
⊥
∴AD CD
⊥∴CD⊥面PAD∴CD AF
⊥∴CD BE
⊥
⑵以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A xyz
-，则()()()()()
0,0,0,1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1
A B P C E
()()
1,1,2,1,0,0
AE AB
==
设面EAB的法向量为()
,,
m x y z
=
由
00
{{
m AE x y z
x
m AB
⋅=++=
⇒
=
⋅=
，令1,1
z y
==-，即
()
0,1,1
m=-
面PAB的一个法向量()
0,1,0
n=
设二面角E AB P
--的大小为θ，则
2
cos cos,
2
m n
θ==
21. (1)曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，------------2分
又f′(x)＝ln x ＋x b
＋1，即ln 1＋b ＋1＝2，所以b ＝1. -----------------4分
(2) g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1). ----------------------------5分 ①若a ≤12，则a
1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 所以，
对任意x ≥1，都有g(x) ＞ a a －1的充要条件为g(1) ＞ a a －1，即1－a 2－1＞a
a －1，解得a ＜－2－
1或2－1 ＜a ≤1
2
---------------------8分
②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，g ′(x)＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，g ′(x)＞
0.f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪
⎫a 1－a ，＋∞上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x) ＞
a a －1的充要条件为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＞ a a －1.而g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋
a22（1－a ）＋a a －1＞a a －1在1
2
＜a ＜1上恒成立，
所以1
2＜a ＜1 ---------------------------------10分
③若a ＞1，g(x)在[1，＋∞)上递减，不合题意。

综上，a 的取值范围是(∞-，－2－1)∪(2－1，1). --------------------12分
22.解析：（1）解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为2
2
2()24
a a x y +-=；
直线l 的普通方程为4380x y +-=． （Ⅱ）圆2
2
2
1:()2
4
a
C x y a +-=
，直线:4380l x y +-=，
∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，
∴圆心C 到直线的距离
3|
8|
12522
a a d -==⨯
， 解得32a =或32
11
a =．。