历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案(上)

2002年秋天广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答
常州市武进区初中数学教师解题比赛试题及参照答案
2003年广州市初中数学青年教师解题比赛试题
2005年武进区初中数学教师解题比赛试题
初中数学青年教师解题比赛试卷
一、填空（此题共有10小题，每题4分，共40分）
1．函数
y2
x 1
中，自
变量
x的取值范围是.
x 1
2．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面睁开图中，扇形的圆心角是度.
3．已知xy3，那么x y y x的值是.
x y
4．△ABC中，D、E分别是
AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD订交于点
O，在这个图中，面积相等的三角形有对.
5．不等式5x114x的正整数解的共有个．
6．函数y x3x1的图象在象限．
7．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，D是BC上的一点，且BD：DC＝2：3，则AD 的取值范围是.
．对于自变量x的函数
y ax 2
bxc
是偶函数的条件是.
8
9．若对于未知数x的方程xp x有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是.
10．AB、AC为⊙O相等的两弦，弦AD交BC于E，若AC＝12，AE＝8，则AD＝.
二、（此题满分12分）
11．如图，已知点A和点B，求作一个圆⊙O，和
一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的图形是对称轴与直线AB订交的轴对称图形．（要求写出作法，不要求证明）.A .B
三、（此题满分12分）
12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级
的宽成等差数列，计算与最低一级最靠近的一级的宽．
四、（此题满分13分）
13．已知一条曲线在x轴的上方，它上边的每一点到点A（0，2）的距离减去它到 x
轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
五、（本通满分13分）
14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观察，测得碑顶的仰角为
20，测得碑顶在水中倒影的俯角为30（研究问题时可把碑顶及其在水中的
倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精准到0.01米，tan70 2.747）.
六、（此题满分14分）.
15．若对于未知数x的方程x22px q 0（p、q是实数）没有实数根，
1
求证：p q.
4
七、（此题满分14分）
16．假如⊙O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上的一个随意点，求：
PA PC的值.
PB
八、（此题满分16分）
17．试写出m的一个数值，使对于未知数x的方程x24x 2m 80的
两根中一个大于1，另一个小于1.
九、（此题满分16分）
18．点P在锐角△ABC的边上运动，试确立点P的地点，使PA+PB＋PC最小，并证明你的结论.
参照答案
一、1.x 2且x 12.2883.23 4.45.6.一、二、三7.4<AD<88.b=0
1
9.0 p10.18.
4
二、作法：11.
1、作直线OB与直线AB订交于点B；
2、以O为圆心，OA为半径作⊙O；
3、过点O作直线CD⊥OB交⊙O于
点C和点D；
4、分别连接CB和DB.则⊙O和△BCD就是所求.
三、12.D
O
C
.A
.B
解：用a n表示题中的等差数列，由已知条件有a133,a12110,n12
a
12a1121d,
即1103311d.
解得d7
a
11a1111d3370103.
答：与最低一级最靠近的一级的宽103cm.
四、13.
解：设点M（x,y）是曲线上的任一点，MB⊥x轴，垂足为B，
那么点M属于会合P MMA MB 2.
由距离公式，得x2y22y2,
化简，得y1x2.
8
曲线在x轴的上方，y>0,
所求的曲线的方程是y1x2x0
8
五、14.
解：如图，DE表示水面，A表示观察点，B B为碑顶，B在水中的倒影，由题意：
A C
BAC20，BAC30，AD1m D E
B70,B60
设BE x,则BC x1,BC x 1.
B
在Rt△ABC中，AC BC tanB x1tan70○
1
在Rt△ABC中，ACBC tanB x1tan60
2○
12
x1tan60由○、○得x1tan70
tan70tan60x tan70tan60
1.015x 4.479x 4.41米
答：水面到碑顶的高度 4.41米.
六、15.
证：由题意，令4p24q0
得qp2
pq p2p
12
p1
24
1
4
D
1
即p q
P
4
七、16. 1 2
A C
解：如图，BP均分直角APC，
1245
在△APB中，由余弦定理，得：B
PA2PB22PAPB AB2
同理，在△BPC中，有PB2PC22PBPCBC2
AB2BC2AP2PC2AC2
2PB22PBPA PC0
PA PC 2.
PB
当点P与点A或点D重合时.
PA PC
PB
八、17.
2
解法1：设x2x60，则x24x120,令2m812，得m10，当10时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.
解法：设
x1,x2是方程的两根，则
x1x2
1
82m
，依题意，
24，x x2
42482m
m1,
5
0,
2解得：m3时，所给的方程的两根中，
.当m
11x210.52
x m.
2
一个大于1，另一个小于1.
九、18.
解：当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的地点时，PA+PB＋PC最小.
证明：如图，P为△ABC一边BC边A
上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，
PA PBPCPA PC,QA QB
QC QA BC,PA QA B Q P C PAPB PC QA QBQC
又设AC为△ABC最短边，作这边上的高BP（如图），可知BP AP.
在BP上截取B o P AP,在BC上截A
P
取BC AC，作BP o AC
.垂足为o P o P,连
结BB o.RtAPC≌Rt BP o C AP
B o
B B
P
C
BP o B o P.四边形BB o PP o是矩形，
BB o B90，在BB o B中，BBBB o PAPBPCBB o
AP AC，PAPB PCBB ACAP PAPB PCPA PBPC.
2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷题号一二三四五六七八九总分
分数
一、填空（此题共有10小题，每题4分，共40分）
1．函数y 4 x21
中，自变量x的取值范围是．
x 1
2．若一个半径为
23㎝的扇形面积等于一个半径为2㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为．
3．分式方程1x1
－1
xx1＝2的解是．
4．代数式x2－2xy＋3y2―2x―2y＋3的值的取
值范围是
5．⊙O1、⊙O2的半径分别为2和3，O1O2＝9，则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有个．
6、若对于未知数x的方程＋＋＋＋＋＝x2m 2x m50的两根都是正数，则m的取值范围
是．
BC ＝a BC
，则AD ＝
7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，假如
a ，＝
B
．
β
8．平面内一个圆把平面分红两部分，现有5个圆，此中每两个圆都订交，每三个圆都不共点，那 么这5个圆则把平面分红
部分．
9．在平展的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距
5米，乙球与丙球相距 3米，
问甲球与丙球距离的取值范围？答： ．
10．计算
200020012002 20031所得的结果是
A
．
·
二、（此题满分 12分）
11．如图，已知
A 是直线l 外的一点，
B 是l 上的一点．
·
l
求作：（1）⊙O ，使它经过A ，B 两点，且与l 有交点C ；
B
2）锐角△BCD ，使它内接于⊙O ．
（说明：只需求作出切合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明） 三、（此题满分12 分）
S
12．如图，己知正三棱锥S —ABC 的高SO ＝h ，斜高SM ＝l ．
C
求经过SO 的中点平行于底面的截面△A ′B ′C ′的面积． A
四、（此题满分13 分）
A
B
13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．
O
C
五、（此题满分13分）
M
·
14．甲、乙两船从河中A 地同时出发，匀速顺流下行至某一时辰， B
B 地和
C 地．已
两船分别抵达 知河中各处水流速度同样，且A 地到B 地的航程大于A 地到C 地的航程.两船在各自动力不变状况下， 分别从B 地和C 地驶回A 地所需的时间为t 1和t 2．试比较t 1和t 2的大小关系． 六、（此题满分14 分）
15．如图，在锐角
内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与
角的边相切，
且半径分别为r 1、r 2、r 3、r 4、r 5．若最
小的半径r 1＝1，最大的半径r 5＝81。

求θ．
七、（此题满分16 分）
16．过半径为 r 的圆O 的直径AB 上一点P ，作PC ⊥AB 交圆周于 C ．若要以 PA 、PB 、PC 为边作三 角形，求 OP 长的范围． 八、（此题满分 16分）
17．设对于未知数 x 的方程x 2―5x ―m 2＋1＝0的实根为 α、β,试确立实数 m 的取值范围，使 |α|＋|β|≤ 建立．
九、（此题满分16分）
18．在重心为G 的钝角△ABC 中，若边BC ＝1，∠A ＝300，，且D 点均分BC ．当A 点改动，B 、C 不动时，求DG 长度的取值范围．
2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷
参照答案
一、填空（此题共有 10小题，每题4分，共40分）
． 2x2 且
x ．°．x 1 ．0, ．．
1
12603 2 4 5365m4
7．asin cos 8．22
9．相距大于等于2米而小于等于8米10．4006001
二、（此题满分12分）（1）作法：
①在l上取点C，（使∠CAB≠90°）
②经过A、B、C作⊙O，则⊙O就是所求.
（2）作法：
①过O作BC的垂线交优弧BC于D，
②连接DC、DB、AB，则△BCD就是所求.
三、（此题满分12分）
D
A
C O
l
B
S
解：连接OM、OA，在Rt△SOM中，A O C
B OMl2h2.
A C
O 由于棱锥S—ABC正棱锥，所以O是等边M
B
ABC的中心.
AB2AM2OM tg6023l2h2,
S ABC3AB2343l2h233l2h2
44
S
ABC1
S
ABC4
S ABC 1
S ABC33l2h2 44
四、（此题满分13分）
证明：设抛物线方程为y22px，平行于抛物线的轴的直线方程为ybb0.
解方程组y22px,
x b2,得2p
y b,
y b,
故抛物线方程为y22px与平行于其轴的直线y bb0只有一个交点．五、（此题满分13分）
解：若以S 1、S 2、t 、x 、y 、a 分别表示A ～B 航程、A ～C 航程、下行时间、在静
水中甲船航速、乙船航速和水流速度，则有：
S 1 x at 2a t 1
x
a
1
t,
xa
x a
t 2
S 2 y at 2a
t,
y
a
y
a
1
ya
S 1
S 2,t
0,a
0,x a,y a
x y ，进而x
ay
1 1
a,
.
x aya
t 1 t 2
六、（此题满分14分）
r 5 r 4
r 4 1 sin
1 sin
sin
2 r 4
2
r 5
解：
r 4
2
r 5
r 5 1 sin
2
1 sin
2
2
1 sin
1 sin
同理，r 3
2 r 4
r 3
2
r 5
1 sin
1 sin
2
2
4
同理可得，r 1 1 sin
2
r 5
1 sin
2
4
1 sin
2
1 1 sin
1
1
2 sin
1 sin
81
1 sin
3
2
2
2
2
30, 60
2
七、（此题满分16分）
解：不失一般性，令 P 在OB 上，且x OP 0, C
则有AP>BP ，AP>PC.
A
x
B
·
O P
若以AP、BP、PC为边作三角形，联合上边条件，
只须BP＋PC>AP,即PC rx r x2x,
又PC0，x0,PC24x2,1
又PC2APBP r x rx r2x2.代入（1）得r2x24x2,
解得：5r x 5 r.
55
∴OP的取值范围是0x
5
r. 5
八、（此题满分16分）
解：∵△524m214m221
∴无论m取何值，所给的方程都有两个不相等的实根.
∵5，1m2,6,
∴2
2236,即2
2236.
∴2521m221m236
当1m20时，2536建立，
1m1.（1）
当1 m20时，得25 41 m236，
∴15m 15
.（2）
22
由（1）、（2）得15m15.
22
九、（此题满分16分）
解：在图中30°的弓形弧BC，令MB⊥BC，NC⊥BC，由题意知，A点在不含端点的BM、CN上.M
且BD<AD<DM,
故BD DG DM
A ，
33
G·
BD N C
但BD 1
，DM13，22
1 DG13.
66
2003年武进区初中数学教师解题比赛试题
命题人：于新华
一、选择题（每题6分）
1、假如一个三角形的一条边是另一条边的2倍，而且有一个角是30°，那么这个三角形的形状
是（）
A、直角三角形
B、钝角三角形
C、锐角三角形
D、不可以独一确立
2、如图，正比率函数y kx(k＞0)与反比率函数y 1
订交于的图象
x
A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S，则（）
A、S＝1
B、S＝2
C、S＝3
D、S的值不确立
3、某工厂第二季度比第一季度的产值增加了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增加了
x％。

则第三季度的产值比第一季度的产值增加了（）
A、2x％
B、1＋2x％
C、（1＋x％）x％
D、（2＋x％）x％
4、设P＝220011，Q＝220021
，则P与Q的大小关系是（）
220021220031
A、P＞Q
B、P＝Q
C、P＜Q
D、不可以确
立
5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（）
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
6、假如x1、x2是两个不相等的实数，且知足x122003x11，x222003x21，那么x1x2等于（）
A、2003
B、－2003
C、1
D、－1
7、若实数x，y知足条件2x26xy20，则x2y22x的最大值是（）
A、14
B、15
C、16
D、不可以确立
8、如图1，图中平行四边形共有的个数是（）
A、40
B、38
C、36
D、30
A D
P
C
D
B C A B
（图1）（图2）（图3）
9、如图2，矩形ABCD被切割成六个正方形，此中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的
面积等于（）
A、152
B、143
C、132
D、108
10、如图3，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC
等于（）
A、6
B、7
C、12
D、16
二、填空题（每题6分）
11、△ABC中，AB＝23，AC＝2，BC边上的高为3，则BC边的长为＿＿＿＿。

12、锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则c边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。

13、若a＋2b－3c＝4,5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝＿＿＿＿。

14、一个游泳池的形状以下边左侧第一个图所示，此刻以固定的流量向游泳池内灌水，那么能够
大概表示水高h与时间t的关系应是在下边右侧六个图像中的＿＿＿（填标号）。

15、已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。

假如△ABC的面积为12，那么四边形BCDE的面积为＿＿＿＿。

三、解答题（每题12分）
16、已知：无论k取什么实数，对于
2kxa xbk
（a、b是常数）的根老是x x的方程1
36
＝1，试求a、b的值。

17、如图，在直角坐标系 xOy 中，已知 A （12,0），B （0,9），
3,0），D （0,4），Q 为线段AB 上一动点，OQ 与过O 、C 、D 三交于点P 。

问OP ·OQ 的值能否变化？证明你的结论。

18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块A 拼成一个三角形，而且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是
形。

画出必需的表示图，并附以简要的文字说明。

B
y
B
D
O
C
点的圆
Q P C
A
x
图形能够 等腰三角
C
19、某市为了节俭用水，规定：每户每个月用水量不超出最低限量
am 3时，只付基本费 8元和定额
消耗资c 元（c ≤5）；若用水量超出
am 3时，除了付同上的基本费和消耗资外，超出部分每
1m 3付b
元的超额费。

某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付花费以下表所示：
用水量（m3）交水费（元）
一月份99
二月份1519
三月份2233
依据上表的表格中的数据，求a、b、c。

20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即便有五对元素对应相等，这两个三角形
也未必全等。

⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。

⑵为了把全部这样的反例都结构出来，尝试究并给出结构反例的一般规律（要求过程完好，述理
严实，结论清晰）。

武进区初中数学教师解题比赛试题参照答案
一、选择题
题号12345678910
答案D A D A B D B C B B
二、填空题
11、4或212、3＜c＜513、2414、⑵15、9
三、解答题
16、解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a
b 4 0
要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 无论k 取什么实数均建立，只有 7
2a 0
解之得a
7 ，b4
2
17、解：点Q 在线段AB 上运动的过程中， OP ·OQ 的值是不变的。

证明以下：连接 DC 、PC ∵
OC OD 1
，∠COD ＝∠BOA ＝Rt ∠
y
OB OA
3
B
∴ △COD ∽△BOA D
∴ ∠1＝∠A
Q
1
∵ O 、C 、P 、D 四点共圆
∴∠1＝∠2
2
P
∴∠2＝∠A
O
C
A
x
∵ ∠POC ＝∠AOQ ∴ △POC ∽△AOQ
∵
OC OP
∴
OP ·OQ ＝OC ·OA ＝36
OQ
OA
18、解：如图，在AD 边上任取一点N ，使点N 不是边AD 的
中点。

分别 作出线段AN 、DN 的中点O 1、O 2 ，把△AB O 1绕点O 1旋转180°
M
得
△
NM O 1，再把△CD O 2
绕点O 2
旋转180°得△MN O 2。

这样由
△MN O 1、
△MN O 2以及四边形O 1BC O 2
拼成了一个△MBC ，明显这个三
A O 1
NO 2
D
角形既不是
等腰三角形，也不是直角三角形。

就是说，只需把当初的正方形
ABCD 沿B O 1、C O 2
剪两刀，
则获得的三
块图形就能够以下图地拼成一个切合题意的三角形。

B
C
下边再供给几种裁剪方案
（认真推测吧，一些说明就省了）：
H
A E
D
A
E
B
A B
G
F
O
M
B
C
N
C
F D
G
F
C
E
D
G
G
A D
E
B C A E O B F
F
G C D
19、解：设每个月用水量
为x m3，支付水费为y元。

则
y 8c,0x a①8b(x a)c,x a②
由题意知：0＜c≤5∴0＜8＋c≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m3、22m3均大于最低限量a m3，将x＝15，x＝22分别代入②式，得
198b(15a)c③
338b(22a)c④
解得b＝2，2a＝c＋19⑤
再剖析一月份的用水量能否超出最低限量，不如设9＞a，将x＝9代入②，得
9＝8＋2（9－a）＋c，即2a＝c＋17⑥
⑥与⑤矛盾。

故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c＝9，∴c＝1
代入⑤式得，a＝10。

综上得a＝10，b＝2，c＝1。

20、解：⑴以下列图，△ABC与△ABC是相像的（相像比为2），但它们其实不全等，明显它们之中有五对元素是对应相等的。

A
A′
22
21
B2C
B′22C′
⑵简单知道，要结构的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相像的。

设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不如设a＜b＜c，由小△ABC到大△ABC的相像比为k，则k＞1。

∵△ABC的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴在△ABC中，与△ABC中两边对应相等的两条边只可能是b与c
b＜c＜kc
∴在△ABC中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
b ka
∴
c kb
∴由a到b、由b到c应拥有同样的放大系数（用高中的数学语
言来讲，
的等比数列），这个系数恰为△ABC与△ABC的相像比k。

下边考虑相像比k所遇到的限制：
a、b、c成公比为k
∵△ABC的三边长分别为
a、ka、k2a，且a＞0，k＞1
∴aka＞k2a
解之得
1＜k＜1 5 （注：15≈1.168）
22
所以结构反例时，只需先选用一个正数
a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的
放大系数k，进而写出此外两条边的长
ka、k2a。

而后在△ABC的基础上，从前面的放大系数k为
相像比，再写出另一个△ABC
的三边长
ka、k2a、k3a。

经过这类方法，能够结构出大批切合题意的反例。

(2002.12.15)
2003广州初中数学青年教师解题比赛试卷
一、填空（此题共有8小题，每题5分，共40分）
１．把多项式x2y xy 2y
分解因式所得的结果是___________________．9
２．假如不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13，那么这样的三角形共有_________个．
３．函数y32x x2中，自变量x的取值范围是_____________．
４．若对于未知数x的一元二次方程(m1)x2x m22m30有一个根为0，则m的值为____．
５．条件P:x1或x2，条件q:x1x1中，P是q的_______________条件．（填补分不用要、必需不充足、充要、既不充足也不用要中的一个）
６．两个等圆订交于A、B两点，过B作直线分别交两圆于点C、D．那么△ACD必定是____________三角形．（要求以边或角的分类作答）
７．向来角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的
_________．
８．不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最
大可能是_____________．
二、（此题满分12分）
９．如图，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外，
求作一个圆，使它经过点B，而且与⊙O相切于点A．（要求写出作法，不要求证明）
三、（此题满分12分）
·A ·O·B
10．一次选拔考试的及格率为25%，及格者的均匀分数比规定的及格分数多15分，不及格者的
均匀分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的均匀分数是60分，求此次考试规定的及格分数是多少？
四、（此题满分13分）
11．有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，此后每50
米放一根，一辆汽车每次只好运3根，假如用一辆汽车达成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？五、（此题满分13分）
12．正实数a、b知足a b=b a，且a＜1，求证：a=b.
六、（此题满分14分）
13．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为什么值时，对于未知数x的方程x22(2m3)x4m214m80有两个整数根．
七、（此题满分14分）
·M
B 14．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的·
A
两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么地点O α
N
时，PA2PB2的值最小？
八、（此题满分16分）
15．已知抛物线y ax2bx c的极点在直线y x上，且这个极点到原点的距离为2，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于1，求此抛物线的分析式．
九、（此题满分16分）
16．已知△ABC是锐角三角形．
⑴求证：2sinA＞cosB+cosC；
⑵若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么地点时，两外接圆的公共
部分面积最小？
2005年武进区初中数学教师解题比赛试题
命题人：于新华
一、选择题（每题6分）
1、假如一个三角形的一条边是另一条边的2倍，而且有一个角是30°，那么这个
三角形的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不可以独一确立
2、如图，正比率函数y kx(k＞0)与反比率函数y 1
A、C两的图象订交于
x
点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S，则
（）A、S＝1B、S＝2C、S＝3D、S的值不确立
3、某工厂第二季度比第一季度的产值增加了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增加了x％。

则第三季度的产值比第一季度的产值增加了（）
A、2x％
B、1＋2x％
C、（1＋x％）x％
D、（2＋x％）x％
4、设P＝220011，Q＝220021
，则P与Q的大小关系是（）
220021220031
A、P＞Q
B、P＝Q
C、P＜Q
D、不可以确立
5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个
6、假如x1、x2是两个不相等的实数，且知足x122003x11，x222003x21，那么x1x2等于（）A、2003
B、－2003
C、1
D、－1
7、若实数x，y知足条件2x26x y20，则x2y22x的最大值是（）
A、14
B、15
C、16
D、不可以确立
8、如图1，图中平行四边形共有的个数是（）A、40B、38C、36D、30
A D
P
C
D
B C A B
（图1）（图2）（图3）
9、如图2，矩形ABCD被切割成六个正方形，此中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面积等于（）A、152B、143C、132D、108
10、如图3，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC
等于（）A、6B、7C、12D、16
二、填空题（每题6分）
11、△ABC中，AB＝23，AC＝2，BC边上的高为3，则BC边的长为＿＿＿＿。

12、锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则c边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。

13、若a＋2b－3c＝4,5a－6b＋7c＝8，则9a＋2b－5c＝＿＿＿＿。

14、一个游泳池的形状以下边左侧第一个图所示，此刻以固定的流量向游泳池内灌水，那么能够
大概表示水高h与时间t的关系应是在下边右侧六个图像中的＿＿＿（填标号）。

15、已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。

假如△ABC的面积为12，那么四边形BCDE的面积为＿＿＿＿。

三、解答题（每题12分）
2kx a x bk
x
16、已知：无论k取什么实数，对于x的方程1（a、b是常数）的根老是
36
＝1，试求a、b的值。

y
17、如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12,0），B（0,9），C（3,0），D（0,4），
B Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。

问OP·OQ的值
能否变化？证明你的结论。

D Q
18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成A
P D 一个三角形，而且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。

画出
OC A x 必需的表示图，并附以简要的文字说明。

19、某市为了节俭用水，规定：每户每个月用水量不超出最低限
量am3时，
只付基本费8元和定额消耗资c元（c≤5）；若用水量超出am3时，除了付同上B C 的基本费和消耗资外，超出部分每1m3付b元的超额费。

某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付花费以下表所示：
用水量（m3）交水费（元）
一月份99
二月份1519
三月份2233
依据上表的表格中的数据，求a、b、c。

20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即便有五对元素对应相等，这两个三角形
也未必全等。

⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。

⑵为了把全部这样的反例都结构出来，尝试究并给出结构反例的一般规律（要求过程完好，述理
严实，结论清晰
武进区初中数学教师解题比赛试题参照答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案D
A
D
A
B
D B
C
B
B 二、填空题 11、4或2 12、
3＜c ＜5
13、24
14、⑵
15、9
三、解答题
16、解：把x ＝1代入原方程并整理得（ b ＋4）k ＝7－2a
b 4 0
要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 无论k 取什么实数均建立，只有 7
2a 0
解之得a
7 ，b4
2
17、解：点Q 在线段AB 上运动的过程中， OP ·OQ 的值是不变的。

证明以下：连接 DC 、PC ∵
OC OD 1
，∠COD ＝∠BOA ＝Rt ∠
y
OB OA
3
B ∴ △COD ∽△BOA D
∴ ∠1＝∠A
Q
∵ O 、C 、P 、D 四点共圆
∴∠1＝∠2
1
P
2
∴∠2＝∠A
O
C
A
x
∵ ∠POC ＝∠AOQ ∴
△POC ∽△AOQ
∵
OC OP ∴OP ·OQ ＝OC ·OA ＝36
OQ
OA
18、解：如图，在AD 边上任取一点N ，使点N 不是边AD 的中点。

分别作出线 M
段AN 、DN 的中点O 1、O 2
，把△AB O 1绕点O 1旋转180°得△NM O 1，再把△
CD O 2绕点O 2 旋转 180°得△MN O 2。

这样由△MN O 1、△MN O 2
以及四边形
O 1BC O 2拼成了一个△MBC ，明显这个三角形既不是等腰三角形，也不是直角三
O 1 N O 2
A
D
角形。

就是说，只需把当初的正方形
ABCD 沿B O 1、C O 2剪两刀，则获得的三块图
形就能够以下图地拼成一个切合题意的三角形。

B
C
下边再供给几种裁剪方案（认真推测吧，一些说明就省了）
：
H
A E
D A
E
B A B
G
F O
M B C N C F D G F C E D G G
A D
E
B C
A E O B
F F
G C D
19、解：设每个月用水量
为x m3，支付水费为y元。

则
y 8c,0x a①8b(x a)c,xa②
由题意知：0＜c≤5∴0＜8＋c≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m3、22m3均大于最低限量a m3，将x＝15，x＝22分别代入②式，得
198b(15a)c③
338b(22a)c④
解得b＝2，2a＝c＋19⑤
再剖析一月份的用水量能否超出最低限量，不如设9＞a，将x＝9代入②，得
9＝8＋2（9－a）＋c，即2a＝c＋17⑥
⑥与⑤矛盾。

故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c＝9，∴c＝1
代入⑤式得，a＝10。

综上得a＝10，b＝2，c＝1。

20、解：⑴以下列图，△ABC与△ABC是相像的（相像比为2），但它们其实不全等，明显它们之中有五对元素是对应相等的。

A
A′
22 21
B2C
B′22C′
⑵简单知道，要结构的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相像的。

设小△ABC的三
边长分别为a、b、c，且不如设a＜b＜c，由小△ABC到大△ABC的相像比为k，则k＞1。

∵△ABC的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴在△ABC中，与△ABC中两边对应相等的两条边只可能是b与c
b＜c＜kc
∴在△ABC中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴
b ka
c kb
∴由a到b、由b到c应拥有同样的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k
的等比数列），这个系数恰为△ABC与△ABC的相像比k。

下边考虑相像比k所遇到的限制：
∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1
∴
aka＞k2a
解之得
1＜k＜1 5 （注：15≈1.168）
22
所以结构反例时，只需先选用一个正数a作为△ABC
最小边的长，再设定一个
1～1.168之间的
放大系数k，进而写出此外两条边的长ka、k
2a。

而后在△
ABC的基础上，从前面的放大系数k为
相像比，再写出另一个△ABC
的三边长
ka、k2a、k3a。

经过这类方法，能够结构出大批切合题意的反例。