专题1极坐标与参数方程知识点及典型例题(原卷版)

专题1极坐标与参数方程知识点及典型例题（原卷版）
知识点精讲
一．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,
称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
1．已知曲线通过伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．将正弦曲线作如下变换:得到的曲线方程为（） A ． B ．
C ．
D ． 3sin?2Y X =
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线23y sin x =按伸缩变换变换后为( ) A ．
B ．94y sin x =
C ．4y sinx =
D ．9y sinx =
4．在同一平面直角坐标系中，将直线按：变换后得到的直线为l ，则直线l 的方程（ ） A ．440x y +-= B ．440x y --= C ．440x y --=
D ．440x y ++=
二、极坐标系
在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).
这两个实数组成的有序实数对称为点M 的极坐标. 称为极径，称为极角.
5．下列点不在曲线上的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
三、极坐标与直角坐标的互化
设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:
或 （对也成立）.
(,)M ρθ
图 16-31
图 16-32
7．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ） A ． B ． C ．
D ．
8．若点P 的直角坐标为(，－)，则它的极坐标可表示为（ ） A ．(2，)
B ．(2，)
C ．(2，)
D ．(2，)
9．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知点P 的极坐标为，则它的直角坐标为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
四、极坐标的几何意义
——表示以为圆心，为半径的圆；
——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；
2cos a ρθ=表示以为圆心过点的圆.
(可化直角坐标: 2
2cos a ρρθ=.)
11．在极坐标系下，已知圆：cos sin ρθθ=+和直线：20x y -+=. （Ⅰ）求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程； （Ⅱ）求圆上的点到直线的最短距离．
12．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝. （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当θ∈(0,π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.
五、直线的参数方程
直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:
00sin ()()cos 2
y y x x απ
αα-=
-≠,即. 记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点
000(,)M x y ，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).
13．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．若直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求曲线被直线截得的弦长．
14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 是参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程、曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任意一点A 作与直线l 的夹角为45°的直线，设该直线与直线l 交于点B ，求的最值．
15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为(为参数，)，抛物线C 的普通方程为. (1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；
(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求的最小值及此时的值.
16．在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
六、圆的参数方程
若圆心为点00(,)M x y ，半径为，则圆的参数方程为.
17．已知曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线. （Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点()1,1B ，曲线与轴负半轴交于点， 为曲线上任意一点， 求的最大值. 18．（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
七、椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为（为参数，）.
19．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线的极坐标方程并指出它是何种曲线；
（2）设与曲线交于、两点，与曲线交于、两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.. 20．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点． （Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长．
八、双曲线的参数方程 双曲线的参数方程为.
23．已知双曲线：（为参数），则该双曲线的离心率为______. 24．直线（是参数）与曲线（是参数）的交点个数为________．
九、抛物线的参数方程
抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 23．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，直线极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
若直线交曲线于，两点，求线段的长. 24．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），直线过点且倾斜角为，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （1）写出曲线C 的极坐标方程和直线的参数方程； （2）若直线l 与曲线C 交于两点，求的值.
十.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变
数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使
的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

25．已知曲线： (t 为参数)，曲线： (θ为参数)．化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
26．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1： (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.
（1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·
|AB |的值． 28直角坐标系中，曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：
cos 2sin 5ρθρθ+=.
（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使它到直线的距离最小，并求出最小值.。