2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲抛物线(新人教A版)

第二讲 椭圆、双曲线与抛物线
第三部分 抛物线
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
抛物线的焦半径
抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p
2.
基础自测
1．若抛物线y ＝4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.7
8
D ．0 【解析】 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1
16
，设M (x ，y )，
则y ＋116＝1，∴y ＝1516.
【答案】 B
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2
＝8x
C ．y 2＝－4x
D ．y 2
＝4x
【解析】 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p
2
＝2，
所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2
＝8x . 所以选B. 【答案】 B
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )
A ．4
B ．－2
C ． 4或－4
D ．12或－2
【解析】 设抛物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)，
由题意知p
2
＋2＝4，
∴p ＝4，
∴抛物线方程为x 2
＝－8y ，
∴m 2
＝16，∴m ＝±4.
【答案】 C
4．双曲线x 23－16y 2p
2＝1的左焦点在抛物线y 2
＝2px 的准线上，则p 的值为________．
【解析】 双曲线的左焦点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
－ 3＋p 216
，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2
，
∴－
3＋p 216＝－p
2
，∴p 2
＝16，
又p ＞0，则p ＝4. 【答案】 4 5．(2013·四川高考)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.3
2
C ．1 D. 3 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，
则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－2＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝3
2. 【答案】 B
6．(2013·北京高考)若抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．
【解析】 ∵抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，∴准线方程为x ＝－p
2.又抛物线焦点
坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1.
【答案】 2 x ＝－1
考点一 抛物线的定义及标准方程
例 (1)设圆C 与圆C ′：x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆
（2）(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：
x 2
＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2＝833y
B ．x 2
＝1633y
C ．x 2＝8y
D ．x 2
＝16y
解析：(1)设圆C 的半径为r ，又圆x 2＋(y －3)2
＝1的圆心C ′(0,3)，半径为1. 依题意|CC ′|＝r ＋1，圆心C 到直线y ＝0的距离为r ， ∴|CC ′|等于圆心C 到直线y ＝－1的距离(r ＋1)． 故圆C 的圆心轨迹是抛物线．
(2)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，
∴c a ＝a 2＋b 2a
＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，
∴抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为
|3×0±p
2|
2＝2， ∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2
＝16y .
方法技巧 若P x 0，y 0为抛物线y 2
＝2px
p ＞
上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p
2
；
若过焦点的弦AB 的端点坐标为A x 1，y 1，B x 2，y 2，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
跟踪练习 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2
＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
【解析】 由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0，
∴直线l 为y ＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －a 4，
与y 轴交点A ⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，－a 2.
∴S △OAF ＝1
2
|OA |·|OF |
＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a
2
16＝4. ∴a ＝±8，
∴抛物线方程为y 2
＝±8x . 【答案】 B
考点二 抛物线的几何性质
例 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
解析：设抛物线方程为y 2
＝2px ，
当x ＝p
2
时，y 2＝p 2
，∴|y |＝p ，
∴p ＝|AB |2＝122
＝6，
又点P 到AB 的距离始终为6，
∴S △ABP ＝1
2
×12×6＝36.
跟踪练习（2011辽宁）已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.34 B ．1 C.54
D.74
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1
2(|AF |＋|BF |)
－14＝32－14＝54
. 答案：C
考点三 直线与抛物线位置关系
例 (2013·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．
【思路点拨】 (1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．
图①
【尝试解答】 (1)如图①，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |. 当O 1不在y 轴上时，
过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，
∴|O 1M |＝x 2＋42
又|O 1A |＝x －2＋y 2， ∴x －2＋y 2＝x 2＋42.
化简得，y 2
＝8x (x ≠0)．
当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2
＝8x ，
∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2
＝8x .
图②
(2)证明：如图②，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入y 2
＝8x 中，
得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2
＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，
x 1＋x 2＝8－2bk
k
2
，① x 1x 2＝b
2
k
2.②
∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴
y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1
， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，
∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③
将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2
b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线过定点(1,0)．,规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：
设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联
2
跟踪练习 已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直
线OA 与l 的距离等于5
5
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
【解】 (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2
＝2p ·1，所以p ＝2.
故所求的抛物线C 的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t . 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，
所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－1
2
.
另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝
55可得|t |5＝1
5
，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞，
所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。