初二数学上期末试题及答案

一、选择题
1．若a 与b 互为相反数，则22
201920212020a b
ab
+=( )
A ．-2020
B ．-2
C ．1
D ．2
2．下列式子的变形正确的是（ ）
A ．2
2b b a a
=
B ．22+++a b a b a b
=
C ．
2422x y x y
x x
--=
D ．
22m n
n m
-=- 3．下列各式计算正确的是（ ） A ．()2
3
23
3412a b a b
-=-
B ．
()222(2)2224x xy y x y xy x --++=+-
C ．()2422
842a b a b b -÷=-
D ．(
)
3
2
5339a b
a b -=-
4．22
22x y x y x y x y -+÷+-的结果是（ ） A ．22
2
()x y x y ++
B ．22
2
()x y x y +-
C ．222
()x y x y -+
D ．222
()x y x y ++
5．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b
d
=ad
－bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +-
11
x x -+=12，则x=( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
6．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b ）2－（a －b ）2=4ab ．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A ．22()()a b a b a b -=+-
B ．22()(2)a b a b a ab b -+=+-
C ．222()2a b a ab b -=-+
D ．222()2a b a ab b +=++ 7．下列运算正确是（ ） A ．b 5÷b 3＝b 2 B ．（b 5）3＝b 8 C ．b 3b 4＝b 12 D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab 8．已知552a =，443b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分
别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm
11．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是
（ ）
A ．OA =OB
B ．A
C =BC C ．∠A =∠B
D ．∠1=∠2
12．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm ，3cm ，6cm
B ．3cm ，4cm ，8cm
C ．5cm ，6cm ，10cm
D ．5cm ，6cm ，11cm
二、填空题
13．计算35232
()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦＝__． 14．已知1112a b -=，则ab
a b
-的值是________． 15．2007
200820092()
(1.5)(1)3
⨯÷-＝_____．
16．计算：()()2
99
99
0.045⎡⎤⨯-⎣⎦
的结果是______．
17．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下
平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．
18．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则
B ∠=________°．
19．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．
20．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．
三、解答题
21．解方程 （1）2221
1x x x =-+． （2）
2127111
x x x +=+--．
22．（1）计算：0
(23)43218π-+-- （2）解不等式：452(1)x x +≤+ 23．因式分解
（1）m 3﹣36m （2）（m 2+n 2)2-4m 2n 2
24．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，
BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论
DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、
A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）
25．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，点E 、F 在BC 上，BE CF =，再添加一个什么条件后可推出AF DE =，写出添加的条件并完成证明．
26．如图，已知1,23180BDE ︒∠=∠∠+∠=．
（1）证明：//AD EF ．
（2）若DA 平分BDE ∠，FE AF ⊥于点F ，140∠=︒，求BAC ∠的度数．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
a 与
b 互为相反数，由相反数的定义与性质得22=,a b a b -=，将代数式中字母统一成b,
合并约分即可． 【详解】
∵a 与b 互为相反数， ∴22=,a b a b -=，
2222
2
2019202120192021220202020a b b b ab b ++==--，
故选择：B ． 【点睛】
本题考查分式求值问题，掌握相反数的定义与性质，会利用相反数将代数式的字母统一为b 是解题关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】
解：A. 2
2b b a a
=不一定正确；
B. 22+++a b a b a b
=不正确；
C. 2422x y x y
x x --=分子分母同时除以2，变形正确； D.
22m n
n m
-=-不正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
根据单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式运算法则判断即可．
A 、()2
3
23
3412a
b a b -=-，故这个选项正确；
B 、()2
2
2
(2)2224x xy y x y xy x --++=--，故这个选项错误； C 、()24
22
2
842a b a b b -÷=-，故这个选项错误； D 、()3
2
63
327a b a b -=-，故这个选项错误；
故选：A ． 【点睛】
本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．
4．C
解析：C 【分析】
根据分式的除法法则计算即可. 【详解】
2222x y x y x y x y -+÷+-()()22x y x y x y x y x y +--=⨯++2
22
()x y x y -=+
【点睛】
此题考查分式的除法法则：先把除式的分子分母颠倒位置，再化为最简分式即可.
5．B
解析：B 【分析】
根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值． 【详解】 解：根据题意化简
1
1
11
x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12， 解得：x=3， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式2
()a b -直接计算，另一种是割补法得222a ab b -+，根据面积相等即可建立等式，得出结论．
解：空白部分的面积：2
()a b -， 还可以表示为：222a ab b -+， ∴此等式是222()2a b a ab b -=-+． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空白部分的面积是解题的关键．
7．A
解析：A 【分析】
根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可． 【详解】
A 、b 5÷b 3＝b 2，故这个选项正确；
B 、（b 5）3＝b 15，故这个选项错误；
C 、b 3•b 4＝b 7，故这个选项错误；
D 、a （a ﹣2b ）＝a 2﹣2ab ，故这个选项错误； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．
8．B
解析：B 【分析】
由552a =，443b =，334c =，比较5
4
3
2,3,4的大小即可． 【详解】
解：∵555112=(2)a =，444113(3)b == ，33311
4(4)c == ，435342>> ，
∴411311511(3)(4)(2)>>，即b c a >>， 故选B ． 【点睛】
本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
9．C
解析：C 【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到
60ADC ∠=︒，判断②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；
证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到
:1:3DAC
ABC
S
S
=，判断④错误．
【详解】
解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵90C ∠=︒，30B ∠=︒， ∴∠BAC=60︒，
∵AD 是BAC ∠的平分线， ∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒， ∴60ADC ∠=︒，故②正确； 过点D 作DE ⊥AB 于E ， ∵∠BAD=30B ∠=︒， ∴AD=BD ，
∴△ABD 是等腰三角形， ∴AE=BE ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确； ∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒， 又∵AD=AD ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ， ∴S △ACD =S △AED ， ∵AE=BE ，DE ⊥AB ， ∴S △AED =S △BED ， ∴:1:3DAC
ABC
S
S
=，故④错误；
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出
EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明
EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度． 【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=， ∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=， ∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===， ∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=， ∴30NDM ∠=， ∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=， ∴28BC BN cm ==．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．
11．B
解析：B 【分析】
根据题意可以得到∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC ≌△BOC ，从而可以解答本题． 【详解】
解：由已知可得，∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，
∴若添加条件OA=OB ，则△AOC ≌△BOC （SAS ），故选项A 不符合题意； 若添加条件AC=BC ，则无法判断△AOC ≌△BOC ，故选项B 符合题意； 若添加条件∠A=∠B ，则△AOC ≌△BOC （AAS ），故选项C 不符合题意；
若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO ，则△AOC ≌△BOC （ASA ），故选项D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．C
解析：C 【分析】
根据三角形三边关系解答． 【详解】
A 、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；
B 、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；
C 、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；
D 、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形； 故选：C ． 【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．
二、填空题
13．【分析】首先计算积的乘方再计算中括号内的同底数幂的乘法最后计算单项式除以单项式即可得出答案【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式熟练掌握运算法则是解答此
解析：7a ． 【分析】
首先计算积的乘方，再计算中括号内的同底数幂的乘法，最后计算单项式除以单项式即可得出答案． 【详解】
解：35
2
32
()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦
=1526()a a a -÷-
=158()a a -÷-
=7a ．
故答案为：7a ．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
14．－2【分析】先把所给等式的左边通分再相减可得再利用比例性质可得再利用等式性质易求的值【详解】解：∵∴∴即∴故答案为：-2【点睛】本题考查了分式的加减法代数式求值解题的关键是通分得出是解题关键
解析：－2
【分析】 先把所给等式的左边通分，再相减，可得12
b a ab -=，再利用比例性质可得()2ab a b =--，再利用等式性质易求
ab a b -的值. 【详解】
解：∵
1112a b -=， ∴12
b a ab -=， ∴()2ab b a =-，即()2ab a b =--， ∴
2ab a b
=--. 故答案为：-2.
【点睛】 本题考查了分式的加减法，代数式求值，解题的关键是通分，得出12
b a ab -=是解题关键. 15．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键
解析：-1.5
【分析】
首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．
【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭
＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
＝﹣1.5，
故答案为-1.5 ．
【点睛】 本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．
16．1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方熟练掌握法则是解题的关键
解析：1
【分析】
根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】
解：原式()()()()99
9929999999
90.0450.04250.110425⎡⎤⨯-⨯⨯⎣===⎦== 故答案为：1
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键
17．【分析】按程序先作y 轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P 变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
解析：(2,2017)--
【分析】
按程序先作y 轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P 变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
解：完成1次图形变换，点P (2,3)-关于y 轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-1=2，P 1（0，2），
完成2次图形变换，点P 1 (0,2)关于y 轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P 2（-2，1），
完成3次图形变换，点P 2（-2，1）关于y 轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P 3（0，0），
完成4次图形变换，点P 3（0，0）关于y 轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P 4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P 2019（0，3-2019）关于y 轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P 2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
18．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝
解析：25
【分析】
设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．
【详解】
解：∵AC ＝AD ＝DB ，
∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，
设∠ADC ＝α，
∴∠B ＝∠BAD ＝
2
α ， ∵∠BAC ＝105°，
∴∠DAC ＝105°﹣2
α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，
∴2α+105°﹣
2
α＝180°， 解得：α＝50°，
∴∠B ＝∠BAD ＝2
α＝25°， 故答案为：25．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A
解析：6
【分析】
根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，
AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．
【详解】
解：∵CF ∥AB ，
∴∠DAE=∠FCE ，
又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，
∴△AED ≌△CEF ，
∴AED CEF S
S =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ．
20．25【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC 的度数再根据三角形外角的性质即可得到∠CAE 的度数【详解】解：∵∠ABC=30°BD 平分
∠ABC ∴∠DBC=∠ABC=×30°=15°又∵AE ⊥BD ∴∠
解析：25
【分析】
依据角平分线的定义即可得到∠DBC 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠CAE 的度数．
【详解】
解：∵∠ABC=30°，BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC=12∠ABC=12
×30°=15°， 又∵AE ⊥BD ，
∴∠BEA=90°-15°=75°，
∵∠AEB 是△ACE 的外角，
∴∠CAE=∠AEB-∠C=75°-50°=25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、解答题
21．（1）无解；（2）2x =
【分析】
（1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可得到答案； （2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可得到答案；
【详解】
（1）解：原方程可变形为()()()
21111x x x x =+-+， 方程两边同乘最简公分母()()11x x x +-，得
21x x =-．
解得：1x =-．
检验：把1x =-代入最简公分母()()11x x x +-，得
()()()()11111110x x x +-=--+--=，
因此，1x =-是增根，从而原方程无解．
（2）原方程可变形为：()()
1271111x x x x +=+-+- 方程两边同乘最简公分母()()11x x +-，得
()1217x x -++=
解得，2x =
检验：把2x =代入最简公分母()()11x x +-，得
()()113130x x +-=⨯=≠
因此，2x =是原方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程需要检验．
22．（1）3-；（2）x≤32-
． 【分析】
（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的意义，以及算术平方根性质计算即可得到结果； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．
【详解】
解：（1）原式=14+-3-；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2，
移项合并同类项得，2x≤-3，
解得x≤32
-
． 【点睛】
此题考查了实数的运算和解一元一次不等式，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）m (m +6)(m -6)；（2）（m +n ）2（m -n ）2
【分析】
（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
解：（1）m 3﹣36m
= m （m 2﹣36）
=m(m+6)(m-6)
（2）（m 2+n 2）2-4m 2n 2
=（m 2+n 2）2-（2mn ）2
=（m 2+n 2+2mn ）（m 2+n 2-2mn ）
=（m+n ）2（m-n ）2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 24．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形
【分析】
（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；
（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒
∵90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴CAE ABD ∠=∠．
在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADB CEA AAS ≌（）
△△． ∴AE BD =，AD CE =．
∴DE AE AD BD CE =+=+．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠
∴∠DBA=∠CAE ，
在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADB CEA AAS ≌
△△． ∴AE BD =，AD CE =，
∴DE AE AD BD CE =+=+．
（3）DEF 为等边三角形．
证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，
∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,
∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，
∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，
∴∠DBF=∠FAE ，
∵在△DBF 和△EAF 中，
BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），
∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF 为等边三角形．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．
25．添加AB=CD ；证明见解析．
【分析】
根据线段的和差关系可得BF=CE ，故添加AB=CD 即可利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE ．
【详解】
可添加AB=CD ，理由如下：
∵BE=CF ，
∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，
∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，
∴∠B=∠C=90°，
在△ABF和△DCE中，
AB CD
B C BF CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判断与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL 等；注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．
26．（1）见解析；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的判定得出AC//DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出
∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，求出∠3的度数，根据四边形的内角和定理求出∠B，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
（1）证明：∵∠1=∠BDE，
∴AC//DE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴AD//EF；
（2）∵∠1=∠BDE，∠1=40°，
∴∠BDE=40°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=1
2
∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵∠2+∠3=180°
∴∠3=160°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，
∴∠B=360°-90°-160°-40°=70°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠1-∠B=180°-40°-70°=70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，多边形的内角和定理，角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．。