课时作业15:2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
一、选择题
1.若直线l :2x +by +3=0过椭圆C :10x 2+y 2=10的一个焦点,则b 的值是( )
A .-1
B.12 C .-1或1 D .-12或12
2.已知椭圆的方程是x 2+2y 2-4=0,则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A .x +2y -3=0
B .2x +y -3=0
C .x -2y +3=0
D .2x -y +3=0
3.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22
,若直线y =kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0=b ,则k 的值为( ) A.22 B .±22 C.12 D .±12
4.已知F 1,F 2是椭圆x 24
+y 2=1的两个焦点,P 为椭圆上一动点,则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )
A .(-2,0)
B .(0,1)
C .(2,0)
D .(0,1)或(0,-1)
5.已知椭圆:x 24+y 2
b
2=1(0<b <2),左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( )
A .1
B. 2
C.32
D. 3 6.已知圆C 1:x 2+2cx +y 2=0,圆C 2:x 2-2cx +y 2=0,c >0,椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0),且c 2=a 2-b 2.若圆C 1,C 2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( )
A .[12
,1) B .(0,12] C .[22,1) D .(0,22
] 二、填空题
7.椭圆x 216+y 2
9
=1上的点到直线l :x +y -9=0的距离的最小值为________. 8.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面p 千米,远地点距地
面q 千米,若地球半径为r 千米,则运行轨迹的短轴长为____________.
9.若直线mx +ny =4与圆
x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24
=1的交点个数为________.
10.设椭圆中心在坐标原点,A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点,直线y =kx (k >0)与线段AB 相
交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.若ED →=6DF →,则k 的值为________.
三、解答题
11.设直线l :y =x +m 与椭圆C :x 2a 2+y 2
a 2-1
=1(a >1)相交于A ,B 两点,且l 过椭圆C 的右焦点,若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点,试求椭圆C 的方程.
12.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线x +y -1=0相交于P ,Q 两点,且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点). (1)求证:1a 2+1b 2等于定值; (2)若椭圆的离心率e ∈[
33,22],求椭圆长轴长的取值范围.
13.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,32),离心率为12
,左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)当△F 2AB 的面积为1227时,求直线的方程.
答案精析
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.22 8.2(p +r )(q +r ) 9.2 10.23或38
11.解 由椭圆C :x 2a 2+y 2
a 2-1
=1(a >1)得c =a 2-(a 2-1)=1, ∴椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).
又∵l 经过点F 2,∴m =-1,即直线l 的方程为y =x -1,
代入x 2a 2+y 2
a 2-1
=1(a >1)得 (2a 2-1)x 2-2a 2x +2a 2-a 4=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1x 2=2a 2-a 4
2a 2-1
. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1,
∴AF 1⊥BF 1.
∴kAF 1·kBF 1=-1,
即y 1x 1+1·y 2x 2+1
=-1, ∴y 1y 2+(x 1+1)·(x 2+1)=0.
∵y 1=x 1-1,y 2=x 2-1,
∴(x 1-1)(x 2-1)+(x 1+1)·(x 2+1)=0,
即x 1x 2=-1,∴2a 2-a 4
2a 2-1
=-1, 解得a 2=2±3.
又∵a 2>1,∴a 2=2+3,
即a 2-1=1+ 3. 故所求椭圆的方程为x 22+3+y 2
1+3
=1. 12.(1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2+a 2y 2-a 2b 2=0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
b 2x 2+a 2y 2-a 2b 2=0,x +y -1=0, 消去y 得(a 2+b 2)x 2-2a 2x +a 2(1-b 2)=0.
由Δ=4a 4-4(a 2+b 2)·a 2·(1-b 2)>0得a 2+b 2>1.
设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),
则x 1+x 2=2a 2
a 2+
b 2,x 1x 2=a 2(1-b 2)a 2+b 2
. ∵OP →⊥OQ →,
∴x 1x 2+y 1y 2=0.
∴x 1x 2+(1-x 1)·(1-x 2)=0.
∴2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,
即2a 2(1-b 2)a 2+b 2-2a 2
a 2+
b 2+1=0. ∴a 2+b 2=2a 2b 2,即1a 2+1b 2=2. ∴1a 2+1b 2等于定值. (2)解 ∵e =
c a
, ∴b 2=a 2-c 2=a 2-a 2e 2.
又∵a 2+b 2=2a 2b 2,
∴2-e 2=2a 2(1-e 2),

a 2=2-e 22(1-e 2)=12+12(1-e 2). ∵33≤e ≤22
, ∴54≤a 2≤32,即52≤a ≤62
, ∴5≤2a ≤6,即椭圆长轴长的取值范围是[5,6].
13.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,32
), 所以1a 2+94b 2=1. ① 又因为离心率为12,所以c a =12
, 所以b 2a 2=34. ② 解①②得a 2=4,b 2=3.
所以椭圆C 的方程为x 24+y 2
3
=1. (2)当直线的倾斜角为π2
时, A (-1,32),B (-1,-32
),
S △ABF 2=12|AB |×|F 1F 2|=12×3×2=3≠1227
. 当直线的倾斜角不为π2
时,设直线方程为y =k (x +1), 代入x 24+y 2
3
=1, 得(4k 2+3)x 2+8k 2x +4k 2-12=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1+x 2=-8k 2
4k 2+3
, x 1x 2=4k 2-124k 2+3
, 所以S △ABF 2=12
|y 1-y 2|·|F 1F 2| =|k |(x 1+x 2)2-4x 1x 2
=|k | (-8k 24k 2+3)2-4·4k 2-124k 2+3
=12|k |k 2+14k 2+3
=1227, 所以17k 4+k 2-18=0,
解得k 2=1(k 2=-1817
舍去), 所以k =±1,
所以所求直线的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.。

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