高中数学人教a版选修1-1模块综合测评 word版含解析

模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·北京高考)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >bD ⇒/a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2D ⇒/a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
2．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A ．x 2＝13y 或x 2＝－13y
B ．x 2＝13y
C ．y 2＝－9x 或x 2
＝13y D ．x 2
＝－13y 或y 2＝9x 【解析】 P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)，代入P (1，－3)得
y 2＝9x 或x 2＝－13y .故选D.
【答案】 D
3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( ) ①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，
则x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
A．1B．2 C．3D．4
【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q 均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．
【答案】 B
4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为() A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)<f(1)
C．f(－1)>f(1) D．无法确定
【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．
【答案】 C
5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
【解析】 故原命题的否定为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.故选
C.
【答案】 C
6．已知双曲线的离心率e ＝2，且与椭圆x 224＋y 28＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±13x
B ．y ＝±33x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±23x
【解析】 双曲线的焦点为F (±4,0)，e ＝c a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .
【答案】 C
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：26160107】
A ．1 B.32 C ．2 D ．3
【解析】 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双
曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.
【答案】 C
8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的
取值范围为( )
A ．[0，π)
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 【解析】 f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切
线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 【答案】 B
9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )
A ．2(a －c )
B ．2(a ＋c )
C ．4a
D ．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；
当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；
当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .
【答案】 D
10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，13 【解析】 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .
由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0，
即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立，
得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)，又13＜2x ＋2
＜1，∴k ≤13. 【答案】 D
11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A ．(1, 5)
B ．(5，＋∞)
C ．(1, 5]
D ．[5，＋∞)
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .
由条件知，应有b a >2，
故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2> 5. 【答案】 B
12．(2014·湖南高考)若0<x 1<x 2<1，则( )
A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1
B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1
C ．x 2e x 1>x 1e x 2
D ．x 2e x 1<x 1e x 2
【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，
则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x
－1x .
令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.
根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．
设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x
(x －1)x 2.
又0<x <1，∴g ′(x )<0.
∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．
又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，
∴x 2e x 1>x 1e x 2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．
【解析】 a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，
a 2＋
b 2＋
c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.
【答案】 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3
14．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】 【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y －1＝3(x －0)，
即3x －y ＋1＝0.
【答案】 3x －y ＋1＝0
15.如图1为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )＜0的解集为________________．
图1
【解析】 当x ＜0时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数，
由图象可知x ∈(－∞，－3)；
当x ＞0时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，由图象可知x ∈(0, 2)． ∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)．
【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)
16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭
圆上的任意一点，则OP →·FP
→的最大值为________． 【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，
y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP
→取得最大值6. 【答案】 6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2
m ＋4
＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假
命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．
【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2
m ＋4
＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <
－4或m >12.
对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，
所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0，
解得m <－3或m >6.
则命题q ：m <－3或m >6.
因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．
若命题p 为真命题且命题q 为假命题，
即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，
得12<m ≤6； 若命题p 为假命题且命题q 为真命题， 即⎩⎨⎧ －4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.
综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，6. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．
(1)求b ，c 的值；
(2)求g (x )的单调区间与极值．
【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，
∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
从而g (x )＝f (x )－f ′(x )
＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c )
＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c
∵g (x )是奇函数，
∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c
＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ]
得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b －3＝0，
c ＝0，得b ＝3，c ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.
19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5.
(1)求b 的值； 【导学号：26160109】
(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.
【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，
|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝5(1－b )2－b 2＝35，
解得b ＝－4.
(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0，
设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5. △APB 的面积S ＝12×|2a －4|5
×35＝39，则a ＝－11或15， 所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．
20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，
则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)
＝(21－x )·(432＋kx 2)，
又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，
所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432
＝－18(x －2)(x －12)．
当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：
因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f (x )＝12x 2
＋a ln x (a <0)．
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；
(2)若∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 由题意，x >0.
(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2
－ln x ， f ′(x )＝x －1
x ，
令f ′(x )＝x －1
x >0，解得x >1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)； f ′(x )＝x －1
x <0，得0<x <1， 所以f (x )的单调减区间为(0,1)， 所以函数f (x )在x ＝1处有极小值f (1)＝1
2. (2)因为a <0，f ′(x )＝x ＋a
x . 令f ′(x )＝0，所以x ＝－a ， 列表：
这时f (x )min ＝f (－a )＝－a
2＋a ln －a ， 因为∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立， 所以－a
2＋a ln －a ≥0，所以a ≥－e ， 所以a 的取值范围为[－e,0)．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，且离心率e ＝12. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线
段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
18，0，求k 的取值范围. 【导学号：26160110】
【解】 (1)由题意e ＝1
2， 即e ＝c a ＝1
2，∴a ＝2c . ∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2. ∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 2
3c 2＝1. 代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3223c 2＝1. 解得c 2＝1，
∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1，
(2)由方程组⎩⎨⎧
x 24＋y 23＝1，
y ＝kx ＋m ，
消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，
y 0＝kx 0＋m ＝3m
3＋4k 2
.
由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1， 即k ·3m
3＋4k 2
－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，
整理得：m ＝－3＋4k 2
8k .
代入①式，并整理得：k 2＞1
20，
即|k |＞510，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫510，＋∞.。