.高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]之欧阳美创编
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2004年全国统一考试理科数学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I 卷
参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 P (A+B )=P (A )+P (B )
如果事件A 、B 相互独立,那么
P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k
n P k (1-P)n -k
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在
每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合=
⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 ( ) A .{2|-<x x } B .{3|>x x }
C .{21|<<-x x }
D . {32|<<x x }
2.=-+-+→542lim 22x x x x n x
( )A .21
B .1
C .
5
2球的表面积公式
S=42R π
其中R 表示球的半径, 球的体积公式
V=334R π,
其中R 表示球的半径
D .41
3.设复数ωω++
-=1,23
2
1则i =
( ) A .ω- B .2
ω
C .
ω
1-
D .21
ω
4.已知圆C 与圆
1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的
方程为 ( )
A .1
)1(22
=++y x B .122
=+y x
C .
1)1(2
2=++y x D .
1)1(2
2=-+y x 5.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)
0,12(π
,则ϕ可以是
( ) A .
6π-
B .6π
C .12π
-
D .12π
6.函数x
e y -=的图象
( )
A .与x e y =的图象关于
y 轴对称 B .与
x e y =的图
象关于坐标原点对称
C .与x e y -=的图象关于y 轴对称
D .与x
e y -=的图
象关于坐标原点对称
7.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每
两点间的球面距离均为2π
,则
球心O 到平面ABC 的距离为
( )
A .31
B .
33 C .32
D .
36
8.在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B
(3,1)距离为2的直线共有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
9.已知平面上直线l 的方向向量
e =),53,54(-点
O (0,0)和
A (1,-2)在l 上的射影分别是O ′和A ′,则
λ=''A O e ,其中λ=
( )
A .511
B .
511-
C .2
D .-2
10.函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数
( )
A .)23,2(ππ
B .)2,(ππ
C .
)25,23(
ππ
D .)3,2(ππ 11.函数
x x y 2
4cos sin +=的最小正周期为
( )
A .4π
B .2π
C .π
D .2π
12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有
( ) A .56个
B .57个
C .58个
D .60个
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.从装有3
14.设y x ,满足约束条件: 则y x z 23+=的最大值是.
15.设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1
有公共的焦
点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.
16.下面是关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱
其中,真命题的编号是 (写出所有正确结论的编号). 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知锐角三角形ABC
中,
.
51
)sin(,53)sin(=-=+B A B A (Ⅰ)求证:B A tan 2tan =; (Ⅱ)设AB=3,求AB 边上的高. 18.(本小题满分12分)
已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.
求:(Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. 19.(本小题满分12分)
数列
}
{n a 的前n 项和记为S n ,已知
).3,2,1(2
,111 =+=
=+n S n n a a n n 证明:
(Ⅰ)数列
}
{
n S n
是等比数列;
(Ⅱ).41n n a S =+
20.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2,侧棱
AA 1=1,侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ,
B 1
C 1的中点为M.
(Ⅰ)求证CD ⊥平面BDM ;
(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.
21.(本小题满分12分)
给定抛物线C :y 2
=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l
与C相交于A、B两点。
(Ⅰ)设l的斜率为1,求与的夹角的大小;
(Ⅱ)设AF
FBλ
=,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=x ln x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(2b
a+
)<(b-a)ln2.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案(理)(选修Ⅱ)
1.C
2.A
3.C
4.C
5.A
6.D
7.B
8.B
9.D 10.B 11.B 12.C
13.0.1,0.6,0.3 14.5 15.
1 2
2
2
=
+y
x
16.②④
17.本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质,考查运算能力,满分12分.
本小题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力,
满分12分.
(Ⅰ)证明:
,
5
1
)
sin(
,
5
3
)
sin(=
-
=
+B
A
B
A
所以.
tan
2
tan B
A=
(Ⅱ)解:
π
π
<+<B A 2
,,
43
)tan(,
53
)sin(-=+∴=+B A B A
即43
tan tan 1tan tan -
=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得
解得2
62tan ±=
B ,舍去负值得2
62tan +=
B ,
.62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.
则
AB=AD+DB=
.623tan tan +=+CD
B CD A CD 由AB=3,得CD=2+6. 所以
AB 边上的高等于2+6.
18.本小题主要考查组合、概率等基本概念,相互独立事件和互斥事件等概率的计算,运用
数学知识解决问题的能力,满分12分.
(Ⅰ)解法一:三支弱队在同一组的概率为
.714
8
1
54815=+C C C C
故有一组恰有两支弱队的概率为
.76711=-
解法二:有一组恰有两支弱队的概率.76
4
8
252348
2523=+C C C C C C (Ⅱ)解法一:A 组中至少有两支弱队的概率
21
4
8
1
533482523=+C C C C C C 解法二:A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为
1,由于对A 组和B 组来说,至少有两支弱队的概率是相同的,所以A
组中至少有两支弱队的概率为.
21
19.本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质,分析和推理能力,满分12分。
证明:(Ⅰ)∵,2
,111n n n n n S n n a S S a +=
-=+++
∴),
()2(1n n n
S S n S n -=++ 整理得 ,)1(21n n S n nS +=+
所以 .21
1n S n S n n =++ 故}
{n S
n 是以2为公比 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
).2(1
4111≥-⋅=+-+n n S
n S n n 于是
).2(41)1(41
1≥=-⋅
+=-+n a n S n S n n n
又 ,3312==S a 故 ,4212=+=a a S 因此对于任意正整数 ,1≥n 都有.41n n a S =+
20.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一:(Ⅰ)如图,连结CA 1、AC 1、CM ,则CA 1=.2
∵CB=CA 1=
2,∴△CBA 1为等腰三角形,
又知D 为其底边A 1B 的中点, ∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1,C 1B 1=
2,∴A 1B 1=3
又BB 1=1,A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形,D 为A 1B 的中点,
∴CD=21
A 1B=1,CD=CC 1,又
DM=21
AC 1=2
2,DM=C 1M.
∴△CDM ≌△CC 1M ,∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM.
因为A 1B 、DM 为平在BDM 内两条相交直线,所以CD ⊥平面BDM.
(Ⅱ)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点,连结B 1G 、FG 、B 1F ,则
FG//CD ,FG=21
CD.
∴FG=21
,FG ⊥BD.
由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知
BD=B 1D=21
A 1B=1,
所以△BB 1D 是边长为1的正三角形.
于是B 1G ⊥BD ,B 1G=.
23∴∠B 1GF
是所求二面角的平面
角,
又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2
=1+(
2)
22=2
3,
∴
.
3321
23223)21()23(
2cos 2212
12
2
11-=⋅⋅-+=
⋅-+=
∠FG
C B F
B FG G B GF B
即所求二面角的大小为
.33arccos
-π
解法二:如图,以C 为原点建立坐标系. (Ⅰ)B (2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,
1),
D (
)
21,21,22,M (2
2,1,0),
则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B ,CD ⊥DM.
因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线,所以CD ⊥平面BDM.
(Ⅱ)设BD 中点为G ,连结B 1G ,则 G (
4
1
,41,423),
2
2
(-
=、21、21
),),41,4342(1
--
=B
所以所求的二面角等于
.33arccos
-π
21.本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系
以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
满分12分。
解:(Ⅰ)C 的焦点为F (1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为.1-=x y
将1-=x y 代入方程x y 42=,并整理得 .0162=+-x x
设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x 所以与夹角的大小为
.41143arccos
-π
(Ⅱ)由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ
即⎩⎨
⎧-=-==.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=, ∵,4,4222121x y x y ==∴
.12
2x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ,依题意有.0>λ ∴),2,(),2
,(λλλλ-B B 或又
F (1,0),得直线l 方程为
① ②
当]9,4[∈λ时,l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或 由 ,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4,9]上是递减的, ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ
直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--
22.本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性
质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力,满分14分.
(Ⅰ)解:函数)(x f 的定义域为),1(+∞-.
.111)(-+='x x f 令 .0,0)(=='x x f 解得
当,0)(,01>'<<-x f x 时 当.0)(,0<'>x f x 时 又,0)0(=f 故当且仅当x =0时,)(x f 取得最大值,最大值为0. (Ⅱ)证法一:2ln )(ln ln )2(2)()(b a b a b b a a b a g b g a g ++-+=+-+
由(Ⅰ)结论知),0,1(0)1ln(≠-><-+x x x x 且
由题设
,021,02,0<-<->-<<b b a a a b b a 得 因此
,2)21ln(2ln a a b a a b b a b -->-+-=+ 所以
.0222ln 2ln
=---->+++b a a b b a b b b a a a 又
.2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln ,22a b b a b a b b a b b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<++++<+ 综上 .2ln )()2(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<
证法二:.1ln )(,ln )(+='=x x g x x x g 设),2(2)()()(x a g x g a g x F +-+=
则 .2ln ln ])2([2)()(x a x x a g x g x F +-='+-'='
当,0)(,0<'<<x F a x 时 在此),0()(a x F 在内为减函数.
当),()(,0)(,+∞>'>a x F x F a x 在因此时上为增函数.
从而,当)(,x F a x 时=有极小值).(a F
因此 ,0)(,,0)(>>=b F a b a F 所以 即
).2(2)()(0b a g b g a g +-+< 设 ,2ln )()()(a x x F x G --= 则 ).ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='
当.0)(,0<'>x C x 时 因此),0()(+∞在x G 上为减函数.
因为 ,0)(,,0)(<>=b G a b a G 所以
即 .2ln )()2(2)()(a b b a g b g a g -<+-+。