第二阶段,三角函数和立体几何解答题

3．已知向量()
sin ,m x x =， ()sin ,cos n x x =-，设函数()•f x m n =. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，边,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，角A 为锐角，若()sin 216f A A π⎛⎫
+-
= ⎪⎝
⎭
，
7b c +=， ABC ∆的面积为a 的长.
【解析】（1）()2sin cos f x m n x x x =⋅=1cos222x x -=
- 1sin 226x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263
k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
（2）()11sin 2sin 2sin 2cos2162662f A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴21cos22cos 12A A =-=- 又A 为锐角，∴1cos 2A =， 3
A π
=
S △ABC =1
sin 2
bc A = ∴8bc =，
则()2
2222cos 2a b c bc A b c bc bc =+-=+-- 25=∴5a =
5．已知函数()()2
2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫
=++-
⎪⎝⎭
(0,0)ωϕπ><<为奇函数，且相邻
两对称轴间的距离为
2
π
． （1）当,24x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐
标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()g x 的值域．
【答案】（1）,24ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
（2）⎡-⎣
【解析】（1）由题知()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫
=+-+=+-
⎪⎝
⎭
, ∵相邻两对称轴的距离为
2
π
,∴22,22T πππωω==⨯==,
又∵()f x 为奇函数,∴(),,66
k k k Z ππ
ϕπϕπ-==+∈,
0ϕπ<<, ∴6
π
ϕ=, 即()()2sin 2f x x =,
要使()f x 单调递减, 需22x ππ-≤≤-, 24
x ππ
-<≤-,
∴()f x 的单调减区间为,24ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭． (2) 由题知()2sin 43g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,
∵126x π
π
-
≤≤
,∴24333x πππ-
≤-≤
, 1sin 432x π⎛
⎫-≤-≤
⎪⎝
⎭ ， (
)2g x -≤≤，∴函数()g x
的值域为⎡-⎣
9．在
中， a ， b ， c 分别为角A ， B ， C 所对的边， S 为ABC ∆
的面积，且
)2
22S a b c =--． （
I ）求角A 的大小；
（II ）若a = b
c >， D 为BC 的中点，且AD =sin C 的值．
【解析】：（I
）由已知得()
222
1sin 24bc A a b c
=--，∴
sin A =．
即sin A A =．∴tan A =()0,A π∈， 23
A π
=
（II ）由cos cos ADB ADC ∠=-∠得：
222222
2?AD BD AB AD DC AC BD AD DC +-+-=-，又∵D 为BC 的中点，∴BD DC ==，
AD =
∴2220AB AC +=，即2220b c +=．
又∵
22
2821
cos 2
32
b c bc π+-==-，∴8bc =． 又∵b c >，∴4b =， 2c
=，∴sin sin 14c A C a ===． 11．已知函数()
21
cos 22
f x x x =
--. (1)求函数()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合； (2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,
,a b c
，且c = ()0f C =，若sin 2sin B A =，
求,a b 的值.
【解析】：⑴ ()1cos21cos21sin 212226x x f x x x x π+⎛
⎫=
--=--=-- ⎪⎝⎭
．
当ππ22π,62x k -=-即()π
π6
x k k Z =-∈时， ()f x 的最小值为2-．
此时自变量x 的取值集合为π{|π,}6x k k Z -∈．（或写成5π
{|π,}6x x k k Z =+∈．
） ⑵ 因为()0,f C =所以πsin 210,6C ⎛
⎫--= ⎪⎝
⎭又0π
,C <<所以ππ2,62C -=即π3C =．
在ABC ∆中, sin 2sin ,B A =由正弦定理知2,b a =又c =
由余弦定理知
2
22π
2cos ,3
a b ab =+-即223,a b ab +-=
联立223,{2,a b ab b a +-==解得1,2a b ==．
19．在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3bcosB =acosC +ccosA ，BA
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2. （1）求cosB 及ΔABC 的面积S ；
（2）若b =3，且a >c ，求sinC 的值. 【解析】：（1）由3bcosB =acosC +ccosA 及正弦定理，得：3sinBcosB =sinAcosC +cosAsinC ，化简得：3sinBcosB =sin (A +C )，∵A +C =π−B ，0<B <π
∴sin (A +C )=sin (π−B )=sinB >0，∴cosB =1
3，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2得：accosB =2 又cosB =1
3，故ac =6①，由0<B <π知：sinB =√1−cos 2B =2√2
3 ∴S =1
2acsinB = 1
2×6×
2√2
3=2√2
（2）由余弦定理，有：b 2
=a 2+c 2−2accosB ，又b =3，cosB =13
，ac =6 ∴a 2
+c 2=13②，由①②及a >c ，得：a =3，c =2 由（1）及正弦定理，得：sinC =
csinB b
=
4√2
9
. 21．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知2cos 2c A a b +=.
（Ⅰ）求角C 的值；
（Ⅱ）若2a b +=，当边c 取最小值时，求ABC ∆的面积. 【解析】（Ⅰ）2cos 2c A a b +=， 2sin cos sin 2sin C A A B ∴+=，
()2sin cos sin 2sin C A A A C ∴+=+，即2sin cos sin C A A += 2sin cos 2cos sin A C A C +，
sin 2sin cos A A C ∴=， sin 0A ≠， 1
cos 2
C ∴=，
又C 是三角形的内角， π
3
C ∴=
（Ⅱ）由余弦定理得： 22
2222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，
2a b +=，故222c a b ab =+-= ()2
343a b ab ab +-=-，
2
43c ab ∴=- 2
4312a b ≥+⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（当且仅当1a b ==时等号成立）.
∴当c 的最小值为1，故1sin 2ABC S ab C ∆==
35．在ABC 中，内角A ， B ， C 对边的边长分别是a ， b ， c ，已知2c =， 3
C π
=.
（1）若ABC a ， b ；
（2）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求ABC 的面积.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， 22
4a b ab +-=，
又因为ABC 1
sin 2
ab C =4ab =． 联立方程组224{ 4a b ab ab +-==，
，
解得2a =， 2b =．
（Ⅱ）由题意得()()sin sin 4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =，
当cos 0A =时， 2A π
=
， 6
B π
=
， 3a =
， 3
b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组224{ 2a b ab b a +-==，，
解得3a =
， 3b =．
所以ABC 的面积1sin 2S ab C =
=． 47．设函数()sin sin 62f x wx wx ππ⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中03w <<，已知
06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， （I ）求w
（II ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象
向左平移
4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值 【解析】（Ⅰ）因为()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭，
所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2
x x ωω=-
1
sin 2x x ωω⎫=-⎪⎪⎭
sin 3x πω⎫=-⎪⎭ 由题设知06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以63k ωπππ-=， k Z ∈.故62k ω=+， k Z ∈，又03ω<<，所以
2ω=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 因为3,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时， ()g x 取得最小值32
-.
24．在三角形ABC 中，角A,B,C 及其对边a,b,c 满足： ccosB =(2a −b )cosC .
(1)求角C 的大小；(2)求函数y =2sin 2B −cos2A 的值域. 【答案】（1）C =π
3；（2）(1
2,2].
【解析】(1)由条件得：sinCcosB +sinBcosC =2sinAcosC ，所以，sin (C +B )=2sinAcosC ， 又A +B +C =π，所以，sinA =2sinAcosC ，因为0<A <π，所以sinA >0，
所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π
3. (2)在三角形ABC 中，C =π
3，故A +B =
2π
3
. y =2sin 2B −cos2(2π3−B)=2sin 2B +cos (π
3
−2B)
=1−cos2B +12cos2B +√32sin2B =1+√3
2sin2B −12cos2B =1+sin (2B −π6
)
因为0<B <2π3，所以−π6<2B −π6<7π
6.
所以，−12<sin (2B −π
6
)≤1.
所以，函数y =2sin 2B −cos2A 的值域为(1
2,2].
27．已知函数()cos2f x x x =+.
（1）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()()21124g x f x f x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭的值域.
【答案】（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）33,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
【解析】()cos22sin 26f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
（1）令222,262
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，
解得222233k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈，即36k x k ππ
ππ-≤≤+， k Z ∈，
∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
（2）
()()22112sin 22cos 212466g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 22cos 22cos 2166x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2
13
2cos 2622x π⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 2,162x π⎡⎤⎛
⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
当1cos 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时， ()g x 取最大值32；当cos 216x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时， ()g x 取最小值-3，
∴函数()g x 的值域为33,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
28．若ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos A B c C
a b ab
+=
. （1）求C 的值；
（2）若2,a c ==b 的大小.
【解析】（1）在ABC ∆中，由已知得cos cos 2cos a B b A c C +=，
利用正弦定理，得sin cos cos sin 2sin cos A B A B C C +=，
∴()sin =2sin cos A B C C +，又()sin sin 0A B C +=>，∴1cos 2
C =， ∵0C π<<，∴3
C π
=
；
（2）在ABC ∆中， 222
2cos c a b ab C =+-，
2542b b =+-， 2210b b --=，∴1b =+
29．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx ＋π
4)(ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间[0，π
2]上的单调性．
【解析】：(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx ＋π4
)＝2√2sinωx·cosωx ＋2√2cos 2ωx ＝√2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋√2＝2sin(2ωx ＋π
4
)＋√2．
∵f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1． (2)由(1)知f(x)＝2sin(2x ＋π
4
)＋√2．
若0≤x≤π
2，则π
4≤2x ＋π4≤5π
4．当π
4≤2x ＋π4≤π
2，即0≤x≤π
8时，f(x)单调递增； 当π
2≤2x ＋π4≤5π
4，即π
8≤x≤π
2时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，π8
]上单调递增，在区间[π8
，π
2
]上单调递减．
36．已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最大值； (Ⅱ)讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
上的单调性．
【解析】（Ⅰ）()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
()cos sin 1cos22x x x =--
()1sin21cos222x x =
-+ 1sin2222x x =-- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
因此()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）当2,63x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，有023x ππ≤-≤， 从而当0232x ππ≤-≤时，即5612
x ππ
≤≤时， ()f x 单调递增，
223x πππ≤-≤时，即52123
x ππ
≤≤
时， ()f x 单调递减， 综上可知， ()f x 在5,612ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增； ()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 38．已知函数()sin cos f x x x =+.
（Ⅰ）当()f x =sin 23x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
；
（Ⅱ）若()()2g x f x =，求函数()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域.
【解析】（Ⅰ）依题意， ()2
sin cos sin cos 2sin21x x x x x +=⇒+=⇒=
∴cos20x =,
∴1sin 2cos 332
x ππ⎛⎫
+
== ⎪⎝
⎭
（Ⅱ）()sin2cos224g x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
∵0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦. ∴函数()f x
的值域为⎡-⎣.
40．已知向量()
()22cos ,1,1,sin2,a x b x ==函数()1f x a b =⋅-
（1）0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
求函数()f x 的值域； （2）求方程(
)(0f x k k =≤<
，在1588ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，内的所有实数根之和.
【解析】（1）解：f （x ）=a•b ﹣1=1×2cos 2x+ sin2x -1 =1+cos2x+ sin2x ﹣
sin （2x+ 4π） 0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴f(x)
⎡∈-⎣
（2）解：由方程f （x ）=k ，（0≤k
），得
sin 24x π⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭． ∵ sin （2x+ 4π）的周期T=π，又 ∵ sin（2x+ 4π）在 1588ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，内有2个周期．
①
01<<
，∴方程sin 24x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭ 在 1588ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内有4个交点，即有4个
实根．根据图象的对称性，有 12349,44x x x x ππ
+=+=，
∴所有实数根之和123452x x x x π
+++=
②k=0时， 12345358
x x x x x π
++++=．
45．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA =acosC . （1）求角C 的大小；
（2）求√3sinA −cos(B +π
4)的最大值，并求取得最大值时角A,B 的大小．
【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA =sinAcosC.
因为0<A <π,所以sinA >0.从而sinC =cosC.又cosC ≠0,所以tanC =1,则C =π
4 （2）由（1）知B =
3π4
−A.于是
√3sinA −cos(B +π
4
)=√3sinA −cos(π−A)
=√3sinA +cosA =2sin(A +π
6
).∵0<A <3π4,∴π6<A +π6<11π12,从而当A +π6=π2,即A =π
3时,
2sin(A +π
6)取最大值2．
综上所述，√3sinA −cos(B +π
4)的最大值为2，此时A =π
3,B =
5π12
.
48．在ABC ∆中， D 在BC 边上，且21BD DC ==，,60,150B ADC ∠=︒∠=︒ （1）求AC 的长； （2）求ABC ∆的面积.
【解析】(1) 如图，在ABC ∆中， 1506090BAD ∠=︒-︒=︒
∴2sin60AD =︒= 在ACD ∆中，
2
2
21211507AC cos =
+-⨯︒=,
∴2601AC cos ==︒=
∴113602ABC
S
sin =⨯⨯⨯︒= 49．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且232cos cos a c b
A B
-=
.
（1）若b B =，求a ；
（2）若a =
ABC b c +. 【解析】（1）由正弦定理得： 2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C B
A B A B
--=⇒=
， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-， ∵
，
∵sin 0C ≠，∴2
cos 3
A =
，则sin 3A =，
∵b B =，∴由正弦定理得： 5
sin sin 3
b a A B =⋅
=.
（2）∵ABC 1sin 2bc A =，得3bc =，
∵a =224
63
b c bc +-=，
∴()21063
b c bc +-=，即()2
16b c +=，∵00b c >>，，∴4b c +=.
50．已知函数()4cos sin 123f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。

（1）求()f x 的最小正周期和单调递增．．
区间； （2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且三边长,,a b c 成等差数列，求()f B 的取值范围。

【解析】【试题分析】（1）先运用两角和差的计算公式及诱导公式展开，再运用二倍角的正弦、余
弦公式将其化为y 2sin 26x π⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
，最后借助周期公式求出最小正周期()f x 的最小正周期为π及正弦函数的单调区间建立不等式求得()f x 的单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）先借助题设条件2a c b +=，运用基本不等式、余弦定理求出
()
2
222244332621cos 8882
a c a c a c ac ac ac B ac
ac ac +-++--=
=≥=，确定03B π
<≤；再由（1）的结
论建立函数()f B = 2sin 26B π⎛⎫
-+
⎪⎝
⎭
，依据03
B π
<≤
求出其范围：
(1)由题()2
14sin sin cos 12sin cos 122f x x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭
=cos22sin 26x x x π⎛
⎫-=-+ ⎪⎝
⎭∵ 因此()f x 的最小正周期为π。

由322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦得()2,63x k k k Z ππππ⎡
⎤∈++∈⎢⎥⎣
⎦，所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
； (2)由题2a c b +=，故()
2
222244332621cos 8882
a c a c a c ac ac ac B ac ac ac +-++--==≥=∵ 且
0B π<<，故03B π<≤。

由⑴知()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故()f B = 2sin 26B π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭。

因
52,666B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故1sin 2,162B π⎛
⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，从而()[]2,1f B ∈--。

51．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， ()12cos 2cos b A a B -=.
（1）若2b =，求c 的值；
（2）若1,tan a A ==ABC ∆的面积. 【解析】（1）∵
，∴由正弦定理得
，
∵2b =，∴c =1；
()
sin
2tan sin cos A
A A A A
=
=∴=， ()
2
2
2
2sin cos 22cos cos 1A A A A ∴+=+=，解得
，∴
由余弦定理有，即，解得
∴.
53．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， c =，且()sin sin sin a A c C a b B -=-.
（1）求角C 的值；
（2）若()cos 4cos cos c b A a A B +=+，求ABC ∆的面积.
【解析】(Ⅰ）由正弦定理及()sin sin sin a A c C a b B -=-可得222
a b c ab +=+，
又由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =
，所以3
C π
=； （Ⅱ）由正弦定理及()cos 4cos cos c b A a A B +=+可得sin sin cos 4sin cos sin cos C B A A A A B +=+，
从而有sin cos 2sin cos B A A A =，
当2
A π
=
时， 2b =， ABC
S
=2
A π
≠
时，有2b a =， 2,4a b ==.
1
sin 2
ABC
S
ab C =
=综上， ABC 的面积是
1．已知函数()21111cos cos sin 2222f x x x x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
（1）求函数()f x 的值域；
（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ()2,f B b = ABC ∆面积S =
a c +的值．
【解析】（1）∵()cos f x x x =-2sin 6x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
x R ∈，∴()f x 的值域是[]2,2-
（2）由()()2sin 1,0,6f B B B ππ⎛
⎫=⇒-
=∈ ⎪⎝⎭
∴23B π= 由2222cos b a c ac B =+- 223a c ac ⇒=++
1S ac =⇒=
∴()2
42a c a c +=⇒+=
2．已知函数()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
（Ⅰ）当0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（Ⅱ）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边,,a b c ，若4,52A f a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．
【解析】（Ⅰ）∵0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
∴sin 23x π⎡⎛
⎫-∈⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
得()sin 232f x x π⎛
⎫⎡=-+∈ ⎪⎣⎝⎭
（Ⅱ）∵sin 2322A f A π⎛⎫⎛
⎫=-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，∴sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵()0,A π∈ ∴3
A π
=
∵4,5a b c =+= ∴由余弦定理得3bc =
∴4
ABC
S
=
32．已知函数()2sin cos 32
f x x x π⎛⎫
=+
+ ⎪
⎝
⎭ .
（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值及最小值. 【解析】（∵）
.
由，
，得
，
.
即
的单调递减区间为
，.
（∵）由得， 所以.
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1.
41．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知()cos23cos 1A B C -+=． （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积5S b ==，求sin sin B C 的值．
【答案】（1）
3
π
；（2）57．
【解析】（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得
22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=．
解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0A π<<，所以3A π
=．
（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =．又5b =，所以4c =．
由余弦定理，得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =
又由正弦定理，得222035
sin sin sin sin sin 2147
b c bc B C A A A a a a ===⨯=．
44．在ABC ∆中， ()1
sin 1,sin .3
C A B -==
（1）求sin A 的值；
（2）设AC =,求ABC ∆的面积.
【解析】（1）由2C A π-=，且C A B π+=-， 42B
A π∴=-,
sin sin cos sin 42222B B B A π⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()2
11sin 1sin ,23A B ∴=-=
又sin 0,A > sin A ∴=
（2）由正弦定理得
sin sin AC BC
B A
=
，3
6sin 3321
sin 3
AC A BC B ∴===，
又()6sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，1
sin 322
ABC
S
AC BC
C ∆∴=⋅⋅=14分
25．已知函数f (x )=4cosxsin (x +π
6)−1. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[−π6,π
4]上的最大值和最小值.
【解析】（∵）因为
所以的最小正周期为
（∵）因为
于是，当
时，
取得最大值2；
当取得最小值—1．
57、如图，四棱锥P ∵ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ∵AB ∵1， BC ∵.
(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面PBC ∵ (Ⅱ)设H 为CD 上一点，满足∵2
，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为
，求二面角
H ∵PB ∵C 的余弦值∵
【解析】(Ⅰ)证明：由AD ⊥CD ，AB ⊥CD ，AD ＝AB ＝1BD ＝，
又BC ＝
，⊥CD ＝2，⊥BC ⊥BD ，因为PD ⊥底面ABCD ，⊥BC ⊥PD .
因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC 为PC 与底面PBD 所成的角． 所以tan∠BPC ＝，
所以PB ＝
，PD ＝1，又
＝2
及CD ＝2，
可得CH ＝，DH ＝.
以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别x ，y ，z 轴建立空间坐标系，则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H
.
设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，
则由得取n ＝(1，－3，－2)，
设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，
则由得
取m ＝(1，1，2)．
所以cos 〈m ·n 〉＝
＝－
，所以二面角H －PB －C 余弦值为
.
58．如图（1），在平行四边形11ABB A 中， 11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠===, 分别为11,AB A B 的中点.现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111,,B C B A B A . （1）求证: 11AB CC ⊥；
（2）若1AB 11C AB A --的余弦值.
【解析】（1）由已知可得，四边形11ACC A , 11BCC B 均为边长为2的菱形，且
11160ACC B C C ∠=∠=.在图 （1）中，取1CC 中点O , 连结11,,AO B O AC ，故1ACC ∆是等边三
角形，所以1AO CC ⊥，同理可得， 11B O CC ⊥, 又因为，所以1CC ⊥平面1AOB ,
又因为1AB ⊂平面1AOB , 所以11AB CC ⊥.
（2）由已知得
, 11OA OB AB =所以222
11OA OB AB +=, 故1OA OB ⊥.如图（2），分
别以
11,,OB OC OA 为x 轴， y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得
(
)
)(
(1
10,1,0,,,C B A A -,设平面
1
CAB 的法向量()
()(1111,,,3,0,3,0,1,m x y z AB AC
==
-=-
, 由1·0{
·0
AB m AC m ==,
得111100
y -=-=, 令
11x =, 得111,z y ==所以平面1CAB 的法向量为()
1,3,1m =-, 设平面11
AA B 的法向量
(
)(
)
()22211,,,3,0,3,0,2,0n x y z AB AA ==-=, 由11·0{
·0
AB n AA n ==, 得22202
y ==, 令
21x =,得221,0z y ==, 所以平面11AA B 的法向量为()1,0,1n =, 于
是
·2cos ,5m n m n m n =
==⨯,因为二面
角11C AB A --的平面角为钝
角,所以二面角11C AB A --的余弦值为5
-
.
70．如图所示，在三棱柱中，为正方形，
为菱形，
.
（Ⅰ）求证：平面平面
；
（Ⅱ）若是中点，
是二面角
的平面角，求直线
与平面
所成
角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接
，因为
为菱形，所以
，又
，
，所以面.故.
因为，且，所以面.
而，所以平面平面；
（2）因为是二面角的平面角，所以，又是中点，
所以，所以为等边三角形.
如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，.
设是平面的一个法向量，则，即，
取得.
所以，
所以直线与平面所成的余弦值为.
102．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且60
DAB
∠=，2
EA ED AB EF
===，EF∥AB，M为BC中点．
（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求CG
CF
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析（2
）10（3）4
9
CG CF = 【解析】：（Ⅰ）
取CD 中点N ，连结,MN FN ．
因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以MN ∥BD ．
又BD ⊂平面BDE 且MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，
因为EF ∥AB ， 2AB EF =，所以EF ∥CD ， EF DN =． 所以四边形EFND 为平行四边形．所以FN ∥ED ．
又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， 又FN MN N ⋂=，所以平面MFN ∥平面BDE ．
又FM ⊂平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． （Ⅱ）
取AD 中点O ，连结EO ， BO ．因为EA ED =，所以EO AD ⊥． 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ， EO BO ⊥．
因为AD AB =， 60DAB ∠=，所以△ADB 为等边三角形． 因为O 为AD 中点，所以AD BO ⊥．
因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点， ,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得， ()2,0,0A ， ()
0,23,0B ，
()
C -， ()2,0,0
D -
，
(E ，
(F -，
(3,CF =
，
(2,0,DE
=
，
(0,BE =-．
设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0,
{
0,
n BE n DE ⋅=⋅=即0,{
0.
y z x -=+=
令1z =，则1y =，
x =()
3,1,1n =-． 设直线CF 与平面BDE 成角为α， 10sin cos ,10
CF n α=
= 所以直线CF 与平面ADE ． （Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CF λ
=，
[
]0,1λ∈
，因此点()
34,
G λ
-+．
()
34,BG λ=-．由0BG DE ⋅=，解得4
9
λ=
． 所以在棱CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ，此时
4
9
CG CF =． 108．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面
11ABB A 为矩形， 2AB =， 1AA = D 是1AA 的中点， BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A . （Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）若OC OA =， 1AB C
∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)
11ABB A 为矩形， 2AB =， 1AA = D 是1AA 的中点，
090BAD ∴∠=， 0190ABB ∠=， 1BB = 11
2
AD AA == 从而tan AD ABD AB ∠=
=， 11tan 2
AB AB B BB ∠==， 10,2
ABD AB B π
<∠∠<
， 1ABD AB B ∴∠=∠，
1112AB B BAB ABD BAB π
∴∠+∠=∠+∠=
，2
AOB π
∴∠=
，从而1AB BD ⊥
CO ⊥平面11ABB A ， 1AB ⊂平面11ABB A ，1AB CO ∴⊥，
BD ⋂ CO = O ， 1AB ∴⊥平面BCD ， 1AB ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面BCD
(Ⅱ)
如图，以O 为坐标原点，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．
在矩形11ABB A 中，由于1//AD BB ，所以AOD ∆和1B OB ∆相似，从而11
2OB BB OB OA OD AD
===
又1AB ==
BD
∴
OB =
，
OD =，
OA =，
1OB =
∴
0,,,0,033A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
10,0,,0,33C B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭, ,0,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
G 为1AB C ∆的重心，
G ⎛∴ ⎝⎭，63GD ⎛= ⎝⎭
设平面ABC 的法向量为(),
,n x y z
=，
26232,,0
,0,3333AB AC ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 由0{0n AB n AC ⋅=⋅=可得0
33{0x y
y z -+=+
=
0{0y y z +=⇒+=，
令1y =，则1z =-， 2x =，所以2,1,12n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设直线GD 与平面ABC 所成角α，则
6,13sin cos ,GD n GD n GD n
α⎛⎫
⋅- ⎪⋅⎝===
⋅ =，
所以直线GD 与平面ABC
97．如图，直角三角形ABC 中， 60A ∠=︒， 90ABC ∠=︒， 2AB =， E 为线段BC 上一点，
且1
3
BE BC =
，沿AC 边上的中线BD 将ABD 折起到PBD 的位置. （Ⅰ）求证： PE BD ⊥；
（Ⅱ）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C PB D --的余弦值.
【解析】由已知得DC PD PB BD 2====，
BC =
（Ⅰ）证明：取BD 中点O ，连接OE PO ，，因为OB 1=，
BE =
且OBE 30∠=︒
，所以OE =
，所以OE BD ⊥. 又因为PB PD =， O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥，又PO OE O ⋂=，所以BD ⊥平面POE ，又PE ⊂平面POE ，所以BD PE ⊥.
（Ⅱ）因为平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ⋂平面BCD BD =， PO BD ⊥， PO ⊂平面
PBD ，所以PO ⊥平面BCD ，所以OE OB OP ，，两两垂直. 以O 为坐标原点，以OE 、OB 、OP 所在直线分别为
x 轴、y 轴、
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则()B 010，，，
(P 00，，
)
C 20-，，
(BP 01=-，， (
)
BC 330=
-，，设平面PBC 的法向量为()n x y
z =，，，
则
30
y y -+
=-=，不妨令
y =得()
n 31=. 又平面PBD 的一个法向量为()m 100=，，
，
所以cos m n 〈〉=，
C PB D
--.
84．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60,2ABC PA PB AB ∠====
,点N
为AB 的中点.
（1）证明： AB PC ⊥；
（2）设点M 在线段PD 上，且//PB 平面MNC ，若平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的大小. 【解析】（1）连接AC ， 因为,60AB BC ABC =∠=， 所以ABC ∆为正三角形，又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥. 又因为PA PB =， N 为AB 的中点，所以AB P N ⊥. 又NC PN N ⋂=，所以AB ⊥平面PNC ， 又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥. （2）连接BD 交NC 于F ，连接MF .
因为PB 平面MNC ， PB ⊂平面PBD ，平面PBD ⋂平面MNC MF =，所以PB MF ， 由（1）知PN AB ⊥.
又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线AB ，所以PN ⊥平面ABCD ，
以N 为坐标原点，分别以,,NB NC NP 所在直线为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(
)()
1,0,0,B C ， (
)(0,0,0,N P ， 设平面MNC 的一个法向量为(),,n x y z =, 可得0,
{
0,
n NC n MF ⋅=⋅=
因为PB
MF ，所以0,
{
0,
n NC n PB ⋅=⋅= 得 (
)
3,0,1n =，
由（Ⅰ）知AB ⊥平面PNC ，则取平面PNC 的一个法向量()1,0,0m =
3
cos ,2m n m n m n
⋅=
=⋅，故二面角M NC P --的大小为30. 86．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 160A AC ∠=︒，
124AC AA ==，点D ， E 分别是1AA ， BC 的中点.
（1）证明： //DE 平面11A B C ；
（2）若2AB =， 60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ， EF ，
E 是BC 的中点， ∴ //E
F AB ，
111ABC A B C -是三棱柱， ∴ 11//AB A B ，∴ 11//EF A B ， ∴ //EF 平面11A B C ，
D 是1AA 的中点， ∴ 1//DF A C ， ∴ //DF 平面11A B C ，∴平面//DEF 平面11A B C ，
∴ //DE 平面11A B C ；
（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ， 侧面1ACC A ⊥底面ABC ， ∴ 1A O ⊥平面ABC ，
∴ 1A O OB ⊥， 1A O OC ⊥，
160A AC ∠=︒， 12AA =， ∴ 1OA =，
1OA =
2AB =， 60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，
∴
OB = 90AOB ∠=︒， ∴ OB AC ⊥，
分别以OB ， OC ， 1OA 为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，
由题设可得()0,1,0A -， ()0,3,0C ，
)
B
，
(1A ，
10,2D ⎛- ⎝⎭
，
3,02E ⎫
⎪⎪⎝⎭
， 设()111,,m x y z =是平面11ABB A 的一个法向量，
则10,{
0,
m AB n AA ⋅=⋅= ∴
11110,0,
y y +==令11z =， ∴ ()
1,3,1m =
-，
32,2
2DE ⎛=-
⎝⎭， ∴ cos ,m DE = 255m DE m DE ⋅-
=， ∴直线DE 与平面1
1
ABB A 所成角的正弦值为
55
.
87．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB=90°，AD//BC ，且BC⊥PB，△PAB 是等边三角形，DA=AB=2，BC=
1
2
AD ，E 是线段AB 的中点. （I ）求证：PE⊥CD；
（II ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值.
【解析】（I ）证明：因为BC⊥AB,BC⊥PB,所以BC⊥侧面PAB ， PE ⊂平面PAB ，所以BC⊥PE. 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE⊥AB.
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD. 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE⊥CD. （II ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E —xyz.
则E （0,0,0），C （1，-1,0），D （2,1,0），P （0,0，
）
有DE 2,10=（）
,EP 0,0=（,PC 1,-1-3=（，）
设n =(x,y,z)为平面PDE 的法向量.由20n ED 0{{
30n EP 0
x y z +=⋅==⋅=，即令x=1可得()1,2,0n =- 设PC 与平面PDE 所成的角为.θ3
sin cos ,5
PC n PC n PC n
θ⋅==
=
所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为3.5
72．如图所示,
在三棱柱
ABC -A 1B 1C 1中,AA 1B 1B 为正方形,BB 1C 1C 为菱形,B 1C ⊥AC 1 （Ⅰ）求证：平面AA 1B 1B ⊥面BB 1C 1C ；
（Ⅱ）若D 是CC 1中点,∠ADB 是二面角A -CC 1-B 的平面角,求直线AC 1与平面ABC 所成角的余弦值.
【解析】（1）连结1BC ,因为11BB C C 为菱形,所以11B C BC ⊥,又1B C ⊥ 1AC , 111=AC BC C ⋂,所以11B C ABC ⊥面, 故1B C AB ⊥。

因为1AB BB ⊥,且11BB BC ⋂,所以11AB BB C C ⊥面, 而11AB ABB A ⊂,所以平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；
（2）因为ADB ∠是二面角1A CC B --的平面角,所以1BD CC ⊥,又D 是1CC 中点,所以
1BC BC =,所以1C BC ∆为等边三角形。

如图如示,分别以1,,BA BB BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系。

不妨设2AB =,则(
)(
(
12,0,0,,0,A C C -
,(1AC -。

设(),,n x y z 是平面ABC 的一个法向量,则{
n B ⋅,
即20
x y =⎧⎪
⎨-+=⎪⎩,取1z =得()
0,3,1n
所以111
cos ,3n AC
n AC n AC ⋅〈〉=
=
=所以直线1AC 与平面ABC 所成角的余弦值。

10．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AB AC ⊥， 2AB AC ==，
14
AA =
， M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =． (1) 若1BM AC ⊥，求h 的值； (2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．
【解析】（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则()2,0,0B ,()10,0,4A ， ()0,2,0C ， ()0,2,M h
()2,2,BM h =-， ()1
0,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M
()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-
设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由0
{
n AB n AM ⋅=⋅=得0{
x y z =+= 所以()0,1,1n =-
设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ，
则11
sin 2n BA n BA θ⋅=
=
=⋅ 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，
1,AB AC AB AA ⊥⊥， AB ∴⊥平面11AAC C
1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM
所以1A
BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角；
在1Rt A BM 中，
11
AM A B == 所以
111sin 5
A M A BM A
B ∠=
==
所以1arcsin A BM ∠=所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin
arc 11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点E ， F 分别是棱1CC ， 1BB 上的点，且2EC FB =． （Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）若2AB EC ==，求二面角C AF E --的余弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ，连接MG ， GF ， BM ，
则1
2
MG EC BF =
=， 又////MG EC BF ，∴MBFG 是平行四边形，故//MB FG ．
∵MB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =， ∴MB ⊥平面11ACC A ，而//BM FG ，∴FG ⊥平面11ACC A ，
∵FG ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ACC A ．
（Ⅱ）以MA 、MB 、MG 为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则()1,0,0A ， ()1,0,0C -，
()1,0,2E -，
()F ， ()2,0,0AC =-，
()
AF =-， ()2,0,2AE =-， 设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则有0,{0,
m AC m AF ⋅=⋅=
即111120,
{
0,
x x z -=-+=
令11y =，则(0,1,m =-，
设平面AEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则有0,
{0,
n AE n AF ⋅=⋅=
即22222220,{0,x z x z -+=-+=
令21x =，则()1,0,1n =，设二面角C AF E --的平面角θ，
则3cos cos ,22
m n m n m n
θ
-
⋅==
=
=
⋅⨯．
104．如图，直三棱柱
中，
，
，
，
，点
在线段
上.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若是中点，证明平面；
（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.
，，
，所以.
（Ⅱ）解法一：
设平面的法向量，
由，
且，
令得，所以，
又平面，所以
平面； 解法二：证明：连接，交于，
.
因为直三棱柱，
是
中点， 所以侧面为矩形，为
的中位线.
所以，
因为
平面，平面，所以平面.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，设
，
因为点在线段上，且，即.
所以，
，
.所以，
.
平面的法向量为.
设平面
的法向量为
，
由，，得，所以，，.
设二面角的大小为，所以.
所以二面角的余弦值为.
105．如图，梯形ABCD 中， 90,2,1BAD ADC CD AD AB ∠=∠====，四边形BDEF 为
正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD . （1）求证： DF CE ⊥；
（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFG ？并说明理由.
【解析】(1)证明：连接
EB .因为在梯形
ABCD 中，
90,1,2BAD ADC AB AD DC ∠=∠====，
222,BD BC BD BC CD BC BD ∴==∴+=∴⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD BC =⊂平面,ABCD BC ∴⊥平面,BDEF BC DF ∴⊥，又因为 正方形BDEF 中， DF EB ⊥且,EB BC ⊂平面,,BCE EB BC B DF ⋂=∴⊥平面BCE ，又CE ⊂平面,BCE DF CE ∴⊥.
(2) 在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且
1
2
AG GE =，证明如下：因为梯形ABCD 中， 1
90,1,2,//,2
AO AB BAD ADC AB DC AB DC OC DC ∠=∠===∴∴==
，又1
,//2
AG OG CE GE =∴，又因为正方形BDEF 中， //EF OB ，且,OB OG ⊄平面,,EFC EF CE ⊂平面,//EFC OB ∴平面,//EFC OG 平面EFC ，又OB OG O ⋂=，且,OB OG ⊂平面OBG ，所以平面//OBG 平面EFC .
17．如图1，在边长为3的正三角形中， E ， F ， P 分别为AB ， AC ， BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ， 1A P ， CQ .（如图2）
（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证： PQ 平面1A EF ；
（Ⅱ）求证： 1A E EP ⊥；
（Ⅲ）求CQ 与平面1A BE 所成角的正切.
【解析】证明：（Ⅰ）取1A E 中点M ，连结QM ， MF . 在1A BE ∆中， Q ， M 分别为1A B ， 1A E 的中点， 所以QM BE ，且1
2
QM BE =
. 因为
12CF CP FA PB ==，所以PF BE ，且1
=2
PF BE ， 所以QM PF ， QM PF =.所以四边形PQMF 为平行四边形.所以PQ FM . 又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ，所以PQ 平面1A EF .
（Ⅱ）取BE 中点D ，连结DF . 因为1AE CF ==， 1DE =， ∴2AF AD ==，
而60A ∠=︒，即ADF ∆是正三角形. 又因为1AE ED ==，所以EF AD ⊥. 所以在图2有1A E EF ⊥.
因为平面1A EF ⊥平面EFB ，平面1A EF ⋂平面EFB EF =所以1A E ⊥平面EFB 由EP ⊂平面
EFB 所以1A E EP ⊥
（Ⅲ）作CN BE ⊥于N ，连接QN ，则CN EF
因为1EF A E ⊥， EF BE ⊥， 1A E BE E ⋂=，因此EF ⊥平面1A BE ， 因此CN ⊥平面1A BE ，因此QN 是CQ 在平面1A BE 内的射影，
因此CQN ∠为CQ 与平面1A BE 所成角，
CN =
，
112BQ A B ==，
1cos A BE ∠=QBN ∆中， 22211
2cos 2
QN BQ BN BQ BN A BE =+-⋅⋅∠=
，于是QN =
因此tan 2CN CQN QN ∠===
， 因此CQ 与平面1A BE
18．如图，在菱形ABCD 中， 60,ABC AC ∠=与BD 相交于点O ， AE ⊥平面ABCD ， //,2CF AE AB AE ==．
（I ）求证： BD ⊥平面ACFE ；
（II ）当直线FO 与平面BDE 所成的角为45时，求二面角B EF D --的余弦角．
【解析】（I ）BD ⊥平面ACFE {
BD AC ABCD
BD AE AE ABCD
⊥⇐⇐⊥⇐⊥菱形平面；
（II ）取EF 的中点为M ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OM 为z 轴，建立
空
间
直
角
坐
标
系
，
则
()()()()()()
,0,,1,0,,1,0,20,23,0,1,3,2B D F h E DB DE -⇒==，设平面
BDE 的法向量
()11,,0n x y z DB n =⇒⋅=和
()
11102,0,1cos 32
DE n n n OF h ⋅=⇒=⇒⋅=
=
⇒= ()()(
1,0,3,1,3,2,1,F BE BF ⇒-=-=-，设
平
面
BEF 的法向量
()22,,0n x y z BE n =⇒⋅=和
()()()
2203,5,23,1,3,2,1,BF n n DE DF ⋅=⇒=---==-，设平面DEF 的法向量
()
33,,0n x y z DE n =⇒⋅=和(
)
33
321
03,5,3cos 4
DF n n n n ⋅=⇒=-⇒⋅=
⇒二面角B EF D --的余弦值为1
4
．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中, 1
//,2
CD AB AD DC AB ==
. （1）若M 是PB 的中点，求证： //CM 平面PAD ；
（2）若,AD AB BC PC ⊥⊥，求证：平面PAC ⊥平面PBC .
【解析】（1）取AP 的中点N ，连接MN 和DN ，由因为M 是PB 的中点， 所以MN 是PAB ∆的中位线，所以1
//,2
MN AB MN AB =， 由题意1
//,2
CD AB CD AB =
，所以,//MN CD MN CD =， 所以四边形MNDC 是平行四边形，所以//CM DN .因为,CM PAD DN PAD ⊄⊂面面 ，所以//CM 平面PAD ；
(2)由题意，在直角梯形ABCD 中，经计算可证得BC AC ⊥，又,,BC PC AC PC ⊥⊂面ACP ， AC PC C ⋂=, BC ⊥面ACP ,又BC ⊂面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .
91．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形OAEF 为矩形，平面OAEF ⊥平面,ABCD AB AE =.
（1）求证:平面DEF ⊥平面BDF ；
（2）若点H 在线段BF 上，且3BF HF =，求直线CH 与平面DEF 所成角的正弦值. 【解析】 (1) 证明: ABCD 为正方形， AO BD ∴⊥
,四边形OAEF 为矩形， ,AO FO EF AO ∴⊥, ,EF BD EF FO ∴⊥⊥,又,BD FO O EF ⋂=∴⊥平面BDF ,又EF ⊂平面DEF ,∴平面DEF ⊥平面BDF .
(2)
平面OAEF ⊥平面ABCD ,平面OAEF ⋂平面ABCD OA =,又,FO AO FO ⊥∴⊥平面
,,ABCD FO AO FO BO ∴⊥⊥,以O 为原点， ,,OA OB OF 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系.不妨设2AB AE ==,则()
()(
)()0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0O B C D --,
)
(),0,0,2E F ,
()()()2,2,2,0,2,2,0,DE DF BF ∴===-,
()(
)22
43,2,
2,00,2,2,2,
33
33BH HF CH CB BF CH ⎛⎫
=∴=+=+-∴= ⎪ ⎪⎭
. 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =,由·
{
·0
n DE n DF ==，即2020
z z +=+=,令1z =,
得
()
0,2,1n =-,由
24
·33cos ,23·CH n CH n CH n
-+
===⨯.得直线CH 与平面DEF 所戍角的正弦值即为。