永济市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永济市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
2． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
3． 已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．
C ．
π D ．6π
4． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
5． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
6． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．有以下四个命题：
①若=，则x=y．
②若lgx有意义，则x＞0．
③若x=y，则=．
④若x＞y，则x2＜y2．
则是真命题的序号为（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
8．已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（）A．（0，4） B．[0，4）C．（0，5] D．[0，5]
9．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线
段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
10．已知复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），则|z|=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
11．将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．等差数列{a n }中，a 2=3，a 3+a 4=9 则a 1a 6的值为（ ） A ．14
B ．18
C ．21
D ．27
二、填空题
13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3
x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx
﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
14．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数()3
f x x x =-+的单调增区间是__________．
15．给出下列命题：
（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题
（3）“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的必要不充分条件
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则¬p ：
．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
16．在△ABC 中，已知
=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
17．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（α为参数），经过伸缩变
换32x x
y y
'=⎧⎨
'=⎩后得到曲线2C ．
（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
20．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n ∈N ）的函数解析式f （n ）；
Ⅱ10n
（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；
（2）令()()g x xf x =，区间15
22,D e e -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，e 为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数()g x 在区间D 上有两个极值，求实数m 的取值范围；
（ⅱ）设函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ，
求证：12x x e ⋅>.
22．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
23．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边
长的概率为（ ） A
B
C D
24．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．
永济市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
2．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．
∴两个圆锥的体积比为：=1：3．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
4．【答案】D
【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 5． 【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由于
也在此直线上，
所以，当x 1=x 2时，有x 1=x 2=a 为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x 1≠x 2时，直线的斜率存在，且有，
又x 2﹣a 为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y 2﹣y 1=0，
即
；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是； 所以，正确的选项为C ． 故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
6． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=0，n=0
满足条件n ＜i ，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
7．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

10．【答案】D
【解析】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），
∴z==﹣i﹣1，
∴|z|==．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．
11．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；
考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
12．【答案】A
【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3
解方程可得，a1=2，d=1
∴a1a6=2×7=14
故选：A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题
二、填空题
13．【答案】
2 2,
3⎛⎫-
⎪⎝⎭
【解析】
14．【答案】(
【解析】()2
310f x x x ⎛=-+>⇒∈ ⎝'⎭ ,所以增区间是⎛ ⎝⎭
15．【答案】 （4）
【解析】解：（1）命题p ：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q ：菱形的对角线相等为假命题；则p ∨q 是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，
（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
16．【答案】．
【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【答案】7．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，i=3
不满足条件S≥100，S=8，i=5
不满足条件S≥100，S=256，i=7
满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S，i的值是解题的关键，属于基础题．18．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，故①正确； 当
A=
，
B=C=
时，
tanA+tanB+tanC=
＜
3
，故②错误；
若tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则6tan 3
A=6tanA ，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB ﹣
1=
时， tanA •tanB=tanA+tanB+tanC ，即
tanC=，C=60°，
此时sin 2
C=
，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •
（
cosA+sinA ）
=
sinAcosA+
sin 2
A=
sin2A+
﹣
cos2A=
sin （2A ﹣30°
）
≤
，
则sin 2
C ≥sinA •sinB ．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
三、解答题
19．【答案】（1）3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（为参数）；（2
【解析】
试
题解析：
（1）将曲线1cos :sin x C y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），化为
221x y +=，由伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩化为1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'
=⎪⎩，
代入圆的方程2
11132x y ⎛⎫⎛⎫
''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得到()()2
2
2:
194x y C ''+=， 可得参数方程为3cos 2sin x y α
α=⎧⎨=⎩
；
考点：坐标系与参数方程． 20．【答案】
【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000， 当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，
∴
．
（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400， ∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1， X
21．【答案】（1）增区间()0,2，减区间()2,+∞，（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于
()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，令()0g x '=，得2ln 1
2x m x +=
，通过求导分析 得m 的范围为512231,e e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（ⅱ）2ln 12x m x +=，得12122ln 12ln 1
2x x m x x ++==
，由分式恒等变换得
12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=
+-，得1
1212112112222
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--，要证明 12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2
112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令31
2
1x e t x -<
=<，()()21ln 1t p t t t -=-
+，通过求导得到()0p t <恒成立，得证。

试题解析：
（2）（ⅰ）因为()2
2ln g x x x mx x =--，
所以()2ln 2212ln 21g x x mx x mx =+--=-+'，15
22,x e e -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
若函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，
令()0g x '=，得2ln 1
2x m x
+=，
设()()2
2ln 112ln ,x x
t x t x
'+-==，令()0,t x x ='=
所以m 的范围为51
2231
,e e
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数()g x 在区间D 上有两个极值分别为()1g x 和()2g x ，不妨设12x x <，则
1212
2ln 12ln 1
2x x m x x ++=
=
， 所以12121212
212ln 12ln 12ln 1lnx x x x x x x x ++++--=
+- 即1
1
21211211222
2
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x
x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--， 要证12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令3121x
e t x -<=<，即证1ln 21t t t +⋅>-，即证1ln 21t t t -<⋅+， 令()()
21ln 1t p t t t -=-+，因为()()()()2
22
114
011t p t t t t t -=-
=+'>+， 所以()p t
在()
3
,1e -上单调增，(
)10p =，所以()0p t <，
即()21ln 0,1
t t t --
<+所以1
ln 2
1
t t t -<+，得证。

22．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 23．【答案】C
【解析】
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵|x ﹣a|≤2，∴a ﹣2≤x ≤a+2，
∵f （x ）≤2的解集为[0，4]，∴
，∴a=2．
（Ⅱ）∵f （x ）+f （x+5）=|x ﹣2|+|x+3|≥|（x ﹣2）﹣（x+3）|=5，
∵∃x 0∈R ，使得，
即
成立，
∴4m+m 2＞[f （x ）+f （x+5）]min ，即4m+m 2
＞5，解得m ＜﹣5，或m ＞1，
∴实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．。