二重积分的几种计算方法[1]

( 式中的线积分沿 L 的正向) 。
k 例 5: 计 算 e- y 2 dx dy , 其 中 D 是 以 O( 0, 0) , D
A ( 1, 1) , B( 0, 1) 为顶点的三角形闭区域。
k 分析: 二重积分 e- y2 dx dy 不管利用直角坐标 D
Q 还是极坐标计算, 都有 e- y2 dy 不能用初等函数表示
第 29 卷第 5期 2 0 1 1年 9 月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi. an Aer ot echnical College
V ol1 2 9 N o1 5 Sept . 2 0 1 1
二重积分的几种计算方法
常彦妮1, 李 华2
( 1. 南阳师范学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473061; 2. 西安航空技术高等专科学校 基础部, 陕西 西安 710077 )
[ 6] 崔宝同, 等. 数学分析的理论与方法[ M ] . 上 海: 科学 技 术文献出 版社, 1990.
[ 7] 梅顺治, 刘福贵. 高等数学方法与应用[ M ] . 北京: 科 学 出版社, 2000.
[ 8] 钱吉 林. 数 学 分 析 题 解 精 粹 [ M ] . 北 京: 崇 文 书 局, 2003: 493- 522. [ 责任编辑、校对: 李小光]
连续偏导数, 且满足
f ( x, y)
=
5Q( x , 5x
y)
-
5P ( x , y ) 5y
于是利用格林公式可把二重积分化为定积分:
k k f ( x , y) dx dy =
5Q 5x
-
5P 5y
dxdy
D
D
Q = P ( x , y ) dx + Q( x , y ) dy L B
Q = P ( x ( t ) , y ( t ) ) xc( t ) dt + A B QQ ( x ( t ) , y ( t) ) yc( t ) dt A
类似地, 设积分区域 D 可以表示为 Y - 型区域
W1 ( y ) [ x [ W2 ( y ) , c [ y [ d,
其中函数 W1( y ) 、W2( y ) 在区间[ c, d ] 上连续,
那么
k Q Q d
W2( y)
f ( x , y) dR = dy f ( x , y ) dx .
D
OA + A B+ BO
Q = x e- y2 dy OA
Q = 1 x e- x2 dx = 0
1 2
(
1
-
e- 1 )
参考文献
[ 1] 华东师范 大学数学系. 数 学分析 [ M ] . 3 版. 北京: 高 等 教育出版 社, 2003, 233- 236.
[ 2] 同济大学 应用数学系. 高等数学[ M ] . 5 版. 北京: 高 等 教育出版 社, 2001: 142- 148.
点、半径为 a 的圆周所围成的闭区域。 解: 在极坐标系中, 闭区域 D 可表示为
0 [ Q [ a, 0 [ H [ 2P 于是
k k e- x2- y2 dx dy = e- Q2 QdQdH
D
D
Q Q =
2P
[
a e- Q2 QdQ] dH
00
Q =
2P
-
0
1 2
e-
Q2
a
dH
0
Q =
1 2
(
J(u, v) =
5(x, y) 5( u, v)
X 0, ( u, v)
I
$
k 则区域 d 的面积 L( D) = | J ( u, v ) | dud v 。 $ 定理 1: 设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积, 变
换 T : x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) 将 uv 平面由按段光 滑封闭曲线所围成的闭区域 $ 一对一地映成 xy 平 面上的闭区域 D , 函数 x ( u, v ) , y ( u, v) 在 $ 内分别
总结: 利用直角坐标计的积分次序, 可以
简化计算过程。
2 利用极坐标计算二重积分
k 令 x = Qco sH, y = QsinH, 则 f ( x , y ) dR = D
kf ( QcosH, QsinH) Qd QdH。 D 若积分区域 D 可表示为 U1 ( H) [ Q [ U2 ( H) , A [ H [ B
1
-
e- a2 )
2P
dH
0
= P( 1 - e- a2 ) 。
k 注 1: 此处积分 e- x2- y2 dx dy 也常写成 D
k e- x2- y2 dx d y
x 2+ y2 [ a2
k 注 2: 该问题中的二重积分 e- x2- y2 dx dy 不管化 D
为先 x 后y 的积分次序, 还是先 y 后x 的积分次序,
为了简化积分区域, 做变换 x =
u v2
,
y
=
u。 v
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩
形区域 $ = [ m, n] @ [ A, B] 。由于
J ( u, v) =
1 v2
1 v
-
2u v3
-
u v2
=
u v4
>
0, ( u, v ) I
$
所以
k k L( D) = dx dy =
uv平面上按段光滑封闭曲线所围的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域d函数x内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式为则区域d的面积l将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy面上的闭区域d函数x内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式dxdy在变换t的作用下区域d的原像可以表示nx和直线ybx所围区域d的面积l为了简化积分区域做变换x它把xy平面上的区域d对应到uv平面上的矩形区域dxdyqsinh计算二重积分其中jqsinhsinhqcosh是一个单连通区域其边界l是逐段光滑曲线dy之一能准确算出则可取上有一阶连续偏导数且满足5y于是利用格林公式可把二重积分化为定积分
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西安 航空技术高等专科学校学报
第 29 卷
B U( H)
Q Q dH f ( QcosH, QsinH) QdQ A0
kf ( QcosH, QsinH) QdQd H= D
2P
U(H)
Q Q dH f ( QcosH, QsinH) Qd Q
A
0
k 例 2: 计算 e- x2- y2 dx dy , 其中 D 是由中心在原 D
D
c
W1( y)
k 例 1: 计算
sin y
yd
R,
其中 D
是由直线 y
=
x
及
D
抛物线 x = y2 所围成的闭区域。
Q 分析: 若先 y 积分, siynydy 不能用初等函数表
示。因此, 先 y 后 x 的积分顺序是行不通的。 解: 积分域 D 可以表示为 Y - 型区域: 0 [ y [
1, y 2 [ x [ y
Several Calculation Methods of Double Integral
C H A N G Yan-ni 1, L I H ua 2
( 1. M at hematics & St atistics College, N any ang N orma l U niver sity, N any ang 473061, China; 2. Depar tment o f Basic Courses, X i'an A ero technical Co llege, Xi'an 710077, China)
于是
k Q Q siny y
d
R
=
1
dy
0
y y2
siyn yd x
D
Q =
1 0
s
iny y
x
y
y2 dy
1
Q = ( siny - y siny ) dy 0
=-
[-
cosy +
ycosy -
siny
]
1 0
= 1- sin1
注: 显然, 本例根据被积函数的特征, 必须选择
先 x 后 y 的积分次序。
u v4
d
ud
v
D
$
Q Q =
B dv A v4
#
n
udu =
m
( n2 - m2 ) ( B3 - A3 ) 6A3 B3
注: 利用极坐标计算二重积分就是在特殊变换
T : x = QcosH, y = QsinH计算二重积分, 其中 J ( Q, H)
第5期
常彦妮 , 等: 二重 积分的几种计算方法
设积分区域 D 可以表示为 X - 型区域
U1 ( x ) [ y [ U2 ( x ) , a [ x [ b,
其中函数 U1( x ) 、U2( x ) 在区间[ a, b] 上连续。
k Q Q f ( x , y) dR =
b
dx
U2( x ) f ( x , y ) dy 。
D
a
U1( x )
87
=
co sH
-
Qsin H =
Q>
0。
sinH Qco sH
4 另一种化二重积分为定积分的方法
设 D 是一个单连通区域, 其边界 L 是逐段光滑 曲线, f ( x , y ) 连续可微,
L: x = x ( t) , y = y ( t) , A [ t [ B
k 当要 计 算 f ( x , y ) dx dy 时, 如 果 不 定 积 分 D
的问题, 所以我们用另外一种方法将此二重积分化
为定积分。 解: 令 P( x , y ) = 0, Q = ( x , y ) = xe- y 2 , 则
5Q( x , 5x
y)
-
5P(x, y) 5y
=
e- y2 。
因此, 由( * ) 式有
k Q e- y2 dx dy =
x e - y2 dy
具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J ( u, v) =
5( x , y ) 5(u, v)
X 0, (u, v) I
$,
则
k 例 3: 求
e
xx+
y y
d
x
d
y
,
其中
D
是由 x
=
0, y =
0, x
D
+ y + 1 所围区域。
解: 为了简化被积函数, 令 u = x - y , v = x +
y . 为此做变换
摘 要: 二重 积分在高等数学中占有特殊的地位, 所以给出二重积 分的几种计算方法具有一定的现实意义。 关键词: 二重 积分; 极坐标; 曲线积分; 变量替换 中图分类号: O172. 2 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9233( 2011) 05- 0085- 03
1 利用直角坐标计算二重积分
Q 计算 都无 法 进行, 因 为 e- x2 dx 不 能 用初 等 函 数
表示。
3 用变量变换法求二重积分
引理 1: 设变换 T : x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) 将 uv 平面上按段光滑封闭曲线所围的闭区域 $, 一对 一地映成 xy 平面上的闭区域 D , 函数 x ( u, v ) , y ( u, v) 在 $ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数 行列式为
[ 3] 上海师范 大学数学系, 中山大学数学力学系, 上海师 范 学院数学 系. 高等数学: 化、生、地类 专业[ M ] . 北京: 高 等教育出 版社, 2010.
[ 4] 裴礼文. 数学分 析中的 典型问 题与 方法 [ M ] . 北 京: 高 等教育出 版社, 1993.
[ 5] 井爱雯. 利用二 重积分证 明积 分不等 式[ J] . 高 等数 学 研究, 2000, 3( 1) : 24- 25.
则
kf ( QcosH, QsinH) Qd QdH= D
Q Q B
U2( H)
dH f ( QcosH, QsinH) QdQ
A
U1( H)
类似的, 根据积分域 D 的形式
有
kf ( QcosH, QsinH) Qd QdH= D
收稿日期: 2011- 07- 14 作者简介: 常彦妮( 1981- ) , 女 , 河南邓州人, 助教, 从事应用数学研究。
0
vu
e v du
-v
Q =
1 2
1
v( e- e- 1 ) dv =
0
e - e- 1 4
例 4: 求抛物线 y 2 = mx , y 2 = nx 和直线 y = Ax , y = Bx 所围区域D 的面积 L( D) ( 0 < m < n, 0<
A< B)
k 解: D 的面积 L( D) = dx dy 。 D
Abstract: Double int egral ho lds t he special posit io n in higher m at hemat ics, so t he art icle of fers several ca-l culat ion m et hods o f double int egral. Key Words: double int eg ral; polarit y co ordinate; curve int eg ral; variable replacem ent
T:x =
1 2
(
u
+
v), y
=
1 2
(
v
-
u), 则
1
2
J ( u, v) =
-
1 2
1
2 =
1
1 2
>
0.
2
在变换 T 的作用下, 区域 D 的原像 $ 可以表示
为:
0 [ v [ 1, - v [ u [ v
于是
k k e
xx+
y y
d
x
d
y
=
eu v
#
1 dudv
D
D
2
Q Q =
1 2
1
dv
Q Q f ( x , y ) dx 或 f ( x , y ) dy 之一能准确算出, 则可取 Q P( x , y ) = 0, Q( x , y ) = f ( x , y ) dx
或
Q P( x , y ) = - f ( x , y ) dy , Q( x , y ) = 0
所得到的函数 P ( x , y ) , Q( x , y ) 在 D 上有一阶