构造数列证明不等式的几种思路

。n 是大于 1 的 证明对于一切正整数 n，有
。3. 已知 。0，则 1 的递增数列。4.
且
且 ，求证：
证明对于一切正整数 n，有
i、m、n 是正整数，且
。5. 当 ，求证：
时，求证：
。6. 已知
。7. 证明对于一切正整数 n，有
。n 项的和为
。n 项和，故原不等式成立。8. 证明
对于一切大于 1 的正整数 n，有
当 时，
。
又
。则数列 的每一项大于数列
的相应项，故 大于数列
的前 五、商分法 对于“
明
”型不等式，令 ，则欲证明的不等式得证。
例 证明：原不等式即
。
记数列 的前 当 时，
，若能证
，
欲证
，只需证
成立的。可见数列 的每一项均小于数列 的前
例证明：原不等式即 记数列 的前
，即证
，而这是明显
的相应项，所以 小于数列
证明：构造数列
。
因为 所以数列
为递增数列。因为
所以 二、作差法
欲证
，当且仅
例证明：令
。
则
所以数列 是递增数列。所以
，故原不等式成立。
例证明：令
，又
且
所以 在 上单调递减。所以 三、作商法
， ，故原不等式成立。
若
，则欲证
，可转证数列
是首项大于
例证明：设 即数列 是递增数列。所以
8）4 可仿本题完成。14.
设
为互不相等的正整数，求证：
。 一、直接法 视不等式的左边为一个整体，直接考查不等式左边对应的数列的单调性，达到证明的 目的。
，只要证
因为 构造数列
又
所以
，当且仅当
所以 例 证明：从特殊值
要证
因为
即可。
。 。 时取等号。
。
即可。
。 构造数列
当 时，（
当
。
故当 时，
综上，（ 六、对偶法 根据已知不等式的结构，给原“数列”（不等式的一端）匹配一个与之对偶的数列，然 后一起参与运算，从而使问题获得圆满解决。 例
证明：原不等式即
。n 项的积为
。则
。n 项积，故原不等式成立。9. （同前例 4）n 项的积
为
。n 项积。故原不等式成立。10.
证明对于一切正整数 n，有
。n 项的和为*）*）式成立。11. 求证：
12. 求证：
。2007、2008 难以入手，考虑更一般的情况：
。*）式成立。*）式成立，故原不等式成立。13. （同前例
构造数列证明不等式的几种思路
证明与自然数 n 有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法，但数学归纳法的证 明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度较大。如果抛开定势思维，根据命题的具 体结构与特点，构造数列来证明，可使证明过程思路清晰、可操作性强、简捷明快，收到 事半功倍的效果。本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路。
，则
。 ，故原不等式成立。
例证明：设
，则
。
所以数列
。 是递减数列，所以
，故原不等式成立。
例证明：构造数列
，则
所以数列 四、差分法 对于“
是递增数列，所以
。 ，故原不等式成立。
”型不等式，令
，若能
证明
，则欲证明的不等式得证。这种思路朴素，可操作性强，对
于“和型”不等式，往往行之有效。
例证明：记数列 的前
。
记
构造数列
。
则
。
，故原不等式成立。 评注：本题利用了整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式。例 例
证明：记
，构造对偶数列
，
则 且仅当
时，等号成立。又
，当 为互不相等的正整数，所
。 评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
例 1. 证明对于一切大于 1 的正整数 n，有 正整数。0 的递增数列。2.
。
当
因为 又
可见数列 的每一项均小于数列 五、变换结论法
的相应项，所以 小于数列
的前
将结论适当变形，使不等式两边为“和”型或“积”型结构，然后依此利用“差分法”或“商
分法”构造数列，巧妙地解决原问题。
例 证明：要证
，即证
，
即证
。
记数列 的前
下面只需证明
（
当
（
当 时，
。 综上，原不等式成立。 例
证明：要证