湖南省醴陵二中、醴陵四中2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题(精品Word版,含答案解析)

2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高一
（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
3
1.直线x-=0的倾斜角是（ ）
45∘60∘90∘
A. B. C. D. 不存在
6
2.已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（ ）
‒3‒4‒2
A. 或4
B. 6或2
C. 3或
D. 6或
3.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-2x-6y-6=0的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相离
C. 外切
D. 内切
4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，
则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6.直线x -y +m =0与圆x 2+y 2-2y -2=0相切，则实数m =（ ）
3A. 或 B. 或 C. 或 D. 或3‒3
‒333‒333‒33337.已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形
可能出现的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，l//m l ⊥α
l ⊥m l ⊥αl ⊥m l//αl//m l//α8.已知两直线l 1：mx +8y +n =0和l 2：2x +my -1=0，若l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为-1，
则m ，n 的值分别为（ ）
A. 2，7
B. 0，8
C. ，2
D. 0，‒1‒8
9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
8cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接
触水面时测得水深为6cm ，如不计容器的厚度，则球的体
积为（ ）
A.
500π3cm 3
B.
866π3cm 3C. 1372π3
cm 3
D.
2048π3cm 3
10.α、β是两个不同的平面，下列命题：
（1）若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；
（2）若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；
（3）若平面α垂直于平面β，直线l 在平面α内，则l ⊥β；
（4）若平面α平行于平面β，直线l 在平面α内，则l ∥β；
其中正确命题的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
11.一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧
视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角
三角形，则它的体积V =（ ）
A.
12B.
13C. 16
D.
11212.过点（，0）引直线l 与曲线y =相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△21‒x 2AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A. B. C. D. 3
3‒3
3±3
3‒3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β（不包括△
ABC 所在平面）的位置关系是______．
14.设m ＞0，则直线（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为______．
215.两条平行线2x +3y -5=0和x +y =1间的距离是______．
3
216.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l过点A（1，2），且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求
直线l的方程．
18.如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积
与体积．
19.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D
为CC1中点．
（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求锐二面角A-A1D-B的余弦值；
20.已知圆M ：x 2+（y -2）2=1，Q 是x 轴上的点，QA ，QB 分别切圆M 与A ，B 两
点．
（1）若|AB |=|MQ |的长度及直线MQ 的方程；
42
3（2）求证：直线AB 恒过定点．
21.如图，△ABC 中，AC =BC =，四边形ABED 是边长为a 的正
2
2方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中
点．
（1）求证：GF ∥平面ABC ；
（2）求BD 与平面EBC 所成角的大小；
（3）求几何体EFBC 的体积．
22.已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，圆心坐标
C （t ，）
2t （t ∈R ，t ≠0）
（1）求证：△AOB 的面积为定值；（2）直线2x +y -4=0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |=|ON |，求圆C 的方程；
（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PB |+|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：直线x-=0的斜率不存在，直线和x轴垂直，故倾斜角等于90°，
故选：C．
利用直线x-=0的斜率不存在，直线和x轴垂直，根据直线的倾斜角的定义，求出其倾斜角的大小．
本题考查直线在坐标系中的位置，直线的倾斜角的定义，判断直线和x轴垂直，是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），
，
∴，
∴x2-4x-12=0
∴x=6，x=-2
故选：D．
利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可．
本题考查空间两点之间的距离，是一个基础题，题目的解法非常简单，若出现一定不要丢分．
3.【答案】D
【解析】
解：由于圆x2+y2-2x=0的圆心为（1，0），半径等于1，而圆x2+y2-2x-6y-6=0即（x-1）2+（y-3）2=16，表示以（1，3）为圆心，半径等于4的圆．
由于两个圆的圆心距等于3，正好等于半径之差，故两个圆相内切，
故选：D．
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距正好等于半径之差，可得两个圆相内切．
本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】
解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：C．
本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．
本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．
5.【答案】B
【解析】
解：用一个平行于水平面的平面去截球，截得的几何体是球缺，
根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影，∴内圆应是虚线，
故选：B．
根据题意几何体是球缺，利用球的视图是圆，看不到的线要画虚线，可得答案．
本题考查了几何体的三视图，要注意，看不到的线要画虚线
6.【答案】B
【解析】
解：圆的标准方程为x2+（y-1）2=3，
圆心坐标为（0，1），半径为，
若直线和圆相切，
则圆心到直线的距离d=，
即|m-|=2，解得m=-或3，
故选：B．
根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，
A答案中：若l∥m，l⊥α，则m⊥α，
这与m是平面α的一条斜线矛盾；
故A答案的情况不可能出现．
B答案中：若l⊥m，l⊥α，
则m∥α，或m⊂α，
这与m是平面α的一条斜线矛盾；
故B答案的情况不可能出现．
D答案中：若l∥m，l∥α，
则m∥α，或m⊂α，
这与m是平面α的一条斜线矛盾；
故D答案的情况不可能出现．
故A，B，D三种情况均不可能出现．
故选：C．
本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，由m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，则若l∥m，l⊥α，则m⊥α，这与m 是平面α的一条斜线矛盾；若l⊥m，l⊥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A，B，D三种情况均不可能出现．分析后即可得到答案．
要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．
8.【答案】B
【解析】
解：∵两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，
l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，
∴，
解得m=0，n=8．
故选：B．
由两直线垂直，x，y的系数积之和为0，能求出m=0，再由l1在y轴上的截距为-1，知直线l1过点（0，-1），由此能求出n．
本题考查直线中参数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线垂直的性质的合理运用．
9.【答案】A
【解析】
解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等
于（R-2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R-2）2+42，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V===．
故选：A．
设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R-2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．
本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】
解：（1）由于直线l垂直于平面β内的任意直线，则l⊥β
又由l⊂α，则α⊥β，故（1）正确；
（2）若平面α内的任一直线都平行于平面β，由面面平行的定义知α∥β，故（2）正确；
（3）若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，
则l⊥β或l与β相交或l∥β，故（3）错误；
（4）若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，由面面平行的性质知l∥β，故（4）正确；
故选：B．
（1）依据线面垂直的定义，得到l⊥β，再由面面垂直的判定定理得到α⊥β；（2）依据面面平行的定义可知α∥β；
（3）由题意知，l⊥β或相交或l∥β；
（4）由面面平行的性质可得l∥β．
本题考查直线与平面，平面与平面的相互关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11.【答案】C
【解析】
解：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，
所以体积V=1=，
故选：C．
由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，利用体积公式，即可得出结论．
本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．
12.【答案】B
【解析】
解：由y=，得
x2+y2=1（y≥0）
∴曲线y=表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则-1＜k＜0
∴直线l的方程为：y-0=k（x-）
即kx-y-k=0
则圆心O到直线l的距离d==
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=2=2=2
∴S△AOB=d|AB|
=•2
=
=，
令=t
则S△AOB=
当t=，即=时
S△AOB有最大值为
此时，=
∴k=±
又∵-1＜k＜0
∴k=-．
故选：B．
通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．
本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．
13.【答案】平行
【解析】
解：∵M、N分别是△ABC边AB、AC的中
点，
∴MN∥BC，
∵BC⊂β，MN⊄β，
∴MN∥平面β．
故答案为：平行．
由M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，得MN∥BC，从而MN与过直线BC的平面β（不包括△ABC所在平面）的位置关系是平行．
本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．
14.【答案】相切或相离
【解析】
解：圆心（0，0）到直线（x+y）+1+m=0的距离d==．
d-r==．
因此直线与圆相切或相离．
故答案为：相切或相离．
利用点到直线的距离距离可得圆心到直线的距离d，把d与r比较即可得出．本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
15.【答案】313 13
【解析】
解：x+y=1可化为2x+3y-2=0，
故所求距离为=
故答案为：．
直接利用两条平行线间的距离公式求法即可．
本题考查平行线间的距离，让x、y的系数对应相等是解决问题的关键，属基础题．
16.【答案】4
【解析】
解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂
直于底面，
由正视图可得高为=3，
∵底面为菱形，对角线互相垂直平分，
∴底面面积S=2××4×1=4，
∴几何体的体积
V=×4×3=4．
故答案为：4．
根据三视图判断得几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，根据正视图可得高为
=3，由底面为菱形，求出底面面积代入棱锥的体积公
式计算．
本题考查了由三视图求几何体的体积，判断三视图的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．
17.【答案】解：解法一　设l ：y -2=k （x -1）（k ＜0），
令x =0，y =2-k ．令y =0，x =1-，2k S =（2-k ）（1-）=4，
122k 即k 2+4k +4=0．
∴k =-2，
∴l ：y -2=-2（x -1），
即l ：2x +y -4=0．
解法二　设l ：+=1（a ＞0，b ＞0），
x a y b 则{12ab =41a +2b
=1.a 2-4a +4=0⇒a =2，∴b =4．
直线l ：+=1．
x 2y 4∴l ：2x +y -4=0．
【解析】
解法一　设l ：y-2=k （x-1），根据三角形的面积即可求出k 的值，
解法二　设l ：+=1（a ＞0，b ＞0），即可求出ab 的值，
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．
18.【答案】解：此几何体是一个组合体，下半部是长方
体，上半部是半圆柱，
其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．
表面积为S ，则S =32+96+48+4π+16π=176+20π，
体积为V ，则V =192+16π，
所以几何体的表面积为176+20π（cm 2），体积为
192+16π（cm 3）．
【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积与体积即可．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
19.【答案】（1）证明：取BC 中点O ，连结
AO ．
∵△ABC 为正三角 形，∴AO ⊥BC ．
∵在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面
BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，AO ⊂平面
ABC ，
∴AO ⊥平面BCC 1B 1，
取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，的方
⃗OB ，⃗OO 1，⃗OA 向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系
O -xyz ，如图所示，则B （1，0，0），D （-1，1，0），
A 1（0，2，），A （0，0，），
B 1（1，2，0），
33∴，
⃗AB 1=(1，2，‒3)，⃗BD =(‒2，1，0)，⃗BA 1=(‒1，2，3)∴⃗AB 1⋅⃗BD =0，⃗AB 1⋅⃗BA 1
=0
∴，
⃗AB 1⊥⃗BD ，⃗AB 1⊥⃗BA 1∴AB 1⊥平面A 1BD ；
（2）解：设平面A 1AD
的法向量为．=（-1，1，-），⃗n =(x ，y ，z)⃗AD 3=（0，2，0）．⃗
AA 1∵，
⃗n ⊥⃗AD ，⃗n ⊥⃗AA 1∴{⃗n ⋅⃗AD =0⃗n ⋅⃗AA 1=0.∴{‒x +y ‒3z =02y =0.
∴{y =0x =‒3z.令z =1得n =（-，0，1）为平面A 1AD 的一个法向量．
3由（1）知AB 1⊥平面A 1
BD ，为平面A 1BD 的法向量，⃗AB 1∴=．cos ＜⃗n ，⃗AB 1＞=⃗n ⋅⃗AB 1|⃗n ||⃗AB 1|‒3‒32×22=‒
64∴锐二面角A -A 1D -B 的余弦值为．
6
4【解析】
（1）由已知可取正三角形ABC 的边BC 的中点O ，得到AO ⊥平面
BCC 1B 1．取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面A 1BD 内的两个向量的坐标，由数量积为0得到向量垂直，进一步得到线线垂直，则线面垂直；
（2）设出平面A 1AD 的法向量，由数量积为0求解该法向量，结合（1）可知
为平面A 1BD 的法向量，然后直接由两向量所成角的余弦值得二面角A-A 1D-B 的余弦值．
本题考查了空间直线与平面垂直的判断，考查了利用向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】（1）设直线MQ 交直线AB 于点P ，由于：|AB |=
，又42
3|AM |=1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ．
|MP |=，
1‒(223)2=13|AM |2=|MQ ||MP |，
所以：|MQ |=3．
设Q （x ，0），而点M （0，2），由，得x =，则Q （，0）或Q （-，0）．
x 2+22=3±555所以直线MQ 的方程为：2x +-2=0或2x -y =0．
5y 55+25（2）设Q （q ，0），由几何性质，可知A ，B 在以QM 为直径的圆上，
此圆的方程为：x 2+y 2-qx -2y =0，AB 为两圆的公共弦，
两圆方程相减，得qx -2y +3=0，
即：AB 的直线方程为：
，过定点（0，）
y =q 2x +3232【解析】（1）直接利用已知条件和弦长公式，进一步利用垂径定理求出直线的方程和弦长．
（2）利用两圆的位置关系求出直线的方程，进一步求出定点的坐标．
本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，弦长公式的应用及相关的运算问题．
21.【答案】（1）证明：如图，连接EA 交BD 于F ，
∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点，
∴F 是EA 的中点，
∴FG ∥AC ．
又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴FG ∥平面ABC ．
（2）解：∵平面ABED ⊥平面ABC ，
BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC ．
∴BE ⊥AC ．
又∵AC =BC =AB ，
2
2∴BC ⊥AC ，
又∵BE ∩BC =B ，
∴AC ⊥平面EBC ．
由（1）知，FG ∥AC ，
∴FG ⊥平面EBC ，
∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．
又BF =BD =FG =AC =，sin ∠FBG ==．
122a 2122a 4FG BF 1
2∴∠FBG =30°．（3）解：V EFBC =V FEBC =S △EBC •FG =••a •••=．
13131
22a 2122a 2a 324【解析】
（1）如图，连接EA 交BD 于F ，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
（2）利用已知可得：FG ⊥平面EBC ，可得∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．经过计算即可得出．
（3）利用V EFBC =V FEBC =S △EBC •FG 即可得出．
本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】（1）证明：由题设知，圆C
的方程为（x -t ）2+（y -）2=t 2+，2t 4
t2化简得x 2-2tx +y 2-y =0，
4
t 当y =0时，x =0或2t ，则A （2t ，0）；
当x =0时，y =0或，则B （0，），
4t 4t ∴S △AOB =|OA |•|OB |=|2t |•||=4为定值．
12124
t 解：（2）∵|OM |=|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，
则直线OC 的斜率
k ===，2t 2t212∴t =2或t =-2．
∴圆心为C （2，1）或C （-2，-1），
∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5或（x +2）2+（y +1）2=5，
由于当圆方程为（x +2）2+（y +1）2=5时，直线2x +y -4=0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5．
（3）点B （0，2）关于直线x +y +2=0的对称点为B ′（-4，-2），
则|PB |+|PQ |=|PB ′|+|PQ |≥|B ′Q |，
又B ′到圆上点Q 的最短距离为
|B ′C |-r =-=3-=2．
(‒6)2+325555故|PB |+|PQ |的最小值为2，直线B ′C 的方程为y =x ，
51
2则直线B ′C 与直线x +y +2=0的交点P
的坐标为（-，-）．4323【解析】（1）根据圆的方程求出A ，B 的坐标即可证明△AOB 的面积为定值；
（2）根据直线2x+y-4=0与圆C 交于点M ，N ，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C 的方程；
（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．
本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。