2019学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教版

2019学年度第二学期期末教学质量检测
高二理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =（ ）
A ．34i -+
B ．34i --
C ．34i +
D ．34i -
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3
()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3
()f x x =的极值点.以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ）
A ．越小
B ．越大
C ．可能大也可能小
D ．以上都不对 4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A ．62n -
B ．82n -
C ．62n +
D ．82n + 5.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：
根据以上数据可得回归直线方程y bx a =+，其中9.4b =，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则a ，m 的值为（ ）
A ．9.4a =，52m =
B ．9.2a =，54m =
C ．9.1a =，54m =
D ．9.1a =，53m = 7.利用数学归纳法证明不等式111
1()2321
n f n +++⋅⋅⋅+<-*(2,)n n N ≥∈的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项
C ．21k -项
D ．2k 项
8.如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A ．0.960
B ．0.864
C ．0.720
D ．0.576 9.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．
3142π+ B ．112π+ C ．112π- D ．11
42π
- 10.设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x K
f x f x f x K
≤⎧=⎨
>⎩，则当
函数1
()f x x =，1K =时，定积分214
()k f x dx ⎰的值为（ ）
A ．2ln 22+
B ．2ln 21-
C ．2ln 2
D ．2ln 21+
11.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式4
1x y x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
展开式的常数项，则91113a a -=（ ）
A ．
2
3
B ．2
C ．4
D ．6 12.已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x
f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数
'()
()
f x f x
的取值范围为（ ）
A ．[1,0]-
B ．[2,0]-
C ．[0,1]
D ．[0,2]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知随机变量服从正态分布2(2,)X
N σ，若()0.32P X a <=，则(4)P a X a ≤<-等于 ．
14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
15.63(2x x ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数是 ． 16.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-，（1
2
a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.复数213(10)5z a i a =
+-+，22(25)1z a i a
=+--，若12z z +是实数，求实数a 的值. 18.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度
出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
19.在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*
n N ∈）.
（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；
（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.
20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平
给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？ （2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X . ①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.
（()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
21.已知函数()ln f x x x =，2
()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；
（2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.
请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为
33,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数2
()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14
f x ax -<+； （2）若1a ≤，求证：5()4
f x ≤
.
2017-2018学年度期末试题高二数学
理科答案
一、选择题
1-5: CAACA 6-10: CDBDD 11、12：CB 二、填空题
13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1 三、解答题 17.解：2123(10)5z z a i a +=
+-+2(25)1a i a
++-- 2
32[(10)(25)]51a a i a a ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭
213
(215)(1)(5)
a a a i a a -=
++--+.
∵12z z +是实数， ∴2
2150a a +-=，解得
5a =-或3a =，
由于50a +≠， ∴5a ≠-，故3a =.
18.解：（1）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.
（2）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故()0.10.050.15P B =+=. 又()()P AB P B =，
故()()0.153
(|)()()0.5511
P AB P B P B A P A P A =
===.
因此所求概率为
3
11
. 19.解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，2
11n n n a b b ++=，
由此算出26a =，312a =，420a =，
29b =，316b =，425b =.
（2）由（1）的计算可以猜想(1)n a n n =+，2
(1)n b n =+，
下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.
②假设当n k =（2k ≥且*
k N ∈）时猜想成立，即(1)k a k k =+，2(1)k b k =+.
那么，当1n k =+时，
2122(1)(1)k k k a b a k k k +=-=+-+232(1)(2)k k k k =++=++，
22221
12
(1)(2)(2)(1)
k k k a k k b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.
由①和②和对一切*
n N ∈，都有(1)n a n n =+，2(1)n b n =+成立.
20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：
2
K 的观测发传真2300(1201560105)180********
k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.66710.828≈>，
所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. （2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为
2
5
，且X 的取值可以是0，1，2，3，4， 其中43(0)5P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭；3
1423(1)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
； 2
2
2423(2)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3
1
3423(3)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4
4423(4)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， X 的分布列为：
②由于24,5X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则28
()455
E X =⨯
=，2224()415525D X ⎛⎫=⨯⨯-=
⎪⎝⎭. 21.解：（1）'()ln 1f x x =+，所以切线斜率'(1)1k f ==. 又(1)0f =，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，
由221
y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得2
(1)10x a x +-+=. 由2
2
(1)423(1)(3)a a a a a ∆=--=--=+-， 可得
当0∆>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点； 当0∆=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点； 当0∆<时，即13a -<<时，没有公共点. （2）2
()()2ln y f x g x x ax x x =-=-++， 由0y =，得2
ln a x x x
=++， 令2()ln h x x x x =+
+，则2
(1)(2)
'()x x h x x -+=
. 当1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，由'()0h x =，得1x =. 所以()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在[]1,e 上单调递增， 因此min ()(1)3h x h ==. 由1121h e e e ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭
，2
()1h e e e =++， 比较可知1()h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，所以，结合函数图象可得，
当2
31a e e
<≤+
+时，函数()()y f x g x =-有两个零点. 22.解：（1）由5ρ=，可得2
25ρ=，得2
2
25x y +=， 即曲线C 的直角坐标方程为2
2
25x y +=.
（2）设直线l 的参数方程为3cos 3
sin 2
x t y t α
α=-+⎧⎪
⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程①代入圆的方程2
2
25x y +=， 得2
412(2cos sin )550t t αα-+-=，
∴2
16[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，
∴128AB t t =-==， 化简有2
3cos 4sin cos 0ααα+=， 解得cos 0α=或3tan 4
α=-
， 从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2
()1f x x x =-++， ∴不等式化为23
4
x x x -+<-+
， ①当10x -≤<时，不等式化为2
34
x x x -<-+
，
∴0x <<； ②当01x ≤≤时，不等式化为2
34
x x x -+<-+， ∴102
x ≤<
.
综上，原不等式的解集为122x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
.
（2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤.
又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2
211x x x x ≤-+=-+2
155244x ⎛
⎫=--+≤ ⎪⎝
⎭.。