2012年北京市海淀区高三数学理科二模试卷及答案(WORD版)

北京市海淀区2012高三二模
数 学（理科）
2012.05
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠
（D ）0x ∃∉R ，021x ≠
（3）直线11x t
y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）的倾斜角的大小为
（A ）4
-π （B ）4π （C ）2
π
（D ）
34
π
（4）若整数,x y 满足1,
1,3,2
x y x y y ìïïï-?ïï
ï+
?íïïïï£ïïî
则2x y +的最大值是 （A ）1
（B ）5
（C ）2 （D ）3
（5）已知点12,F F 是椭圆2
2
22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r
的最小
值是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D
）（6
）为了得到函数2
log y =2log y x =的图象上所有的点的
（A ）纵坐标缩短到原来的
1
2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边
长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
（A ）
20
3
（B ）
43
（C ）6 （D ）4
（8）点(,)P x y 是曲线1
:(0)C y x x
=
>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆
的周长有最小值4+；③曲线C 上
存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于1
4
的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数
列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆
的面积为，则a = .
（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，
7
, 5, 15
CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.
（13
）某同学为研究函数()1)f x x =
＃的性质，构造了如图所示的两个边长为
1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数
()4()9g x f x =-的零点的个数是 .
俯视图
主视图
B
E
F
A
B C D
P
（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数）
，那么PB PA +的最小值()d a = . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1
{
}n
S 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）
如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA
??，2PA AB ==，点
E 为线段PB 的中点，点M 在»
AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；
（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；
（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．
(17)（本小题满分13分）
某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X
且X 1的数学期望E (X 1)=12；
(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：
（Ⅱ）求X 2的分布列；
（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.
(18)（本小题满分13分）
M
E B
O
C
A
P
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-
u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
(19)（本小题满分14分）
已知函数2
1()ln()(0)2
f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当4
5
a =-
时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.
（本题可参考数据：99
ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945
≈≈≈）
(20)（本小题满分13分）
将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且
p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，
故5)4(=f ）.
（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；
（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([2
1
++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（理科）
参考答案及评分标准 2012．05
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
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二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）
1
2
（10）６（11（12）45°（13）
1
2
x=；2（14）(0,±；
1.41,
4, 1.41,
2,1 1.
a a
a a
a a
ìï??
ïï
ï+-<?
íï
ï--<<
ïï
ïî
或
注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为0
d¹.
因为
34
6
S a
=+，
所以
11
32
336
2
d
a a d
创
+=++. ①……………………………………3分
因为
1413
,,
a a a成等比数列，
所以2
111
(12)(3)
a a d a d
+=+. ②……………………………………5分
由①，②可得：
1
3,2
a d
==. ……………………………………6分
所以21
n
a n
=+.……………………………………7分
（Ⅱ）由21
n
a n
=+可知：2
(321)
2
2
n
n n
S n n
++?
==+.
……………………………………9分所以
11111
()
(2)22
n
S n n n n
==-
++
. ……………………………………11分
所以
1231
11111
n n
S S S S S
-
+++++
L
11111111111
()
2132435112
n n n n
=-+-+-++-+-
-++
L
2
1111135
()
212124(1)(2)
n n
n n n n
+
=+--=
++++
.
所以数列
1
{}
n
S
的前n项和为
2
35
4(1)(2)
n n
n n
+
++
.
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……………………………………13分
(16)（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，
所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，
所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分
因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，
所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分
因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，
所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分
（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，
所以 90ACB
??，即BC AC ⊥.
因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所
以
PA BC ⊥. ……………………………………7分
因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，
所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，
所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分
（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA
??，2PA AB ==，
所以
2cos30CB =?1AC =.
延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，
所以
131, 1,2222
MD CB MD CD CB ^=+
===
.
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所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C
，B
，3(,
,0)22
M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r
，CB =u u u r
.
设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .
因为 0,0.
CP CB
ìï?ïí
ï?ïîu u u r u u u r m m
所以
(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî
即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî
令1z =，则2,0x y =-=.
所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量
n ()
=.
……………………………………13分 所以 1
cos ,5
⋅=
=-⋅m n m n m n . 所以 1
cos 5
θ=
. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：
0.41,
11120.41712.a b a b ++=⎧⎨
+⨯+=⎩
解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.
()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，
()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，
()220.40(1)P X p p ==-.
所以X 2的分布列为:
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()22
2
4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X
p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦
211.76
p p =-++. ……………………………………11分
因为E (X 1)< E (X 2)，
所以21211.76p p <-++.
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所以0.40.6p <<.
当选择投资B 项目时，p 的取值范围是
()0.4,0.6.
……………………………………13分
(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.
根据椭圆的定义得：22
a =
，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.
所以 椭圆C 的标准方程为2
212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.
当直线l 的斜率为0
时，(A B .
则
7
,0)(,0)16
m m ?=-
. 解得 5
4
m =?
. ……………………………………6分 当直线l
的斜率不存在时，(1,
(1,22
A B -.
由于557
(1,(1,424216
+
?-?
，所以5
4
m ?. 下面证明54m =时，7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.
……………………………………8分
显然 直线l 的斜率为0时，7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r .
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .
由221,21
x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.
1221222,2
1.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïí
ïï=-ïï+ïî
……………………………………10分
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因为 111x ty =+，221x ty =+，
所以 112212125
511
(,)(,)()()4
444
x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211
(1)()416
t y y t y y =+-++
2
22
1121
(1)
24216
t t t t t =-+++++ 2222217
2(2)1616
t t t --+=+=-+.
综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4
Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-
u u u r u u u r
恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.
2(1)'()1a x a x
f x x x a x a
-++=-+=--. ……………………………………1分
令'()0f x =，0x =或+1x a =.
当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：
所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.
……………………………………3分
当1a =-时，2
'()01
x f x x -=
≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：
所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.
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……………………………………5分
（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.
因为(0)ln()0f a a =->，2211
(1)(1)(1)(1)022
f a a a a +=-+++=->，
且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，
所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211
(2)ln 2[2(ln 21)]022
f a a a a a a +=-
-=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.
……………………………………9分
（Ⅲ）解：因为4
12(ln 21)5
-<-
<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且
21x ≥. ……………………………………10分
因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，
所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.
当45a =-
时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542
->0. 所以 12()()(0)
(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分
所以 21()()f x f x -的最小值为491
(0)(1)ln 542
f f -=
-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491
ln 542
-.
……………………………………14分
(20)（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([2
1
++≤
n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f
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. 因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，
所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．
同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.
所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：
当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L . 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *
对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .
即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。