新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()()1
1332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛
⎫ ⎪⎝⎭、、的
大小关系（ ） A ．()()0.5
231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
B ．0.5
321(log )(0.5)(log 9)2
f f f ->>
C ．0.5
321
(0.5
)(log )(log 9)2
f f f ->>
D ．0.5
231
(log 9)(0.5
)(log )2
f f f ->>
2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有
1212
()()
1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）
A ．[1，)+∞
B ．(0，1]
C ．[2，)+∞
D ．(0,)+∞
3．已知函数23,0
()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的
对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )
A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
4．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)e
B ．(0，1
]e
C ．1(2
D ．1(2
5．已知函数()3
f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[
)3,+∞
C ．(],1-∞
D ．(],3-∞
6．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足
()()1
ln 20f x f x x x x
++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞
B ．(
)
2
,2e -
C ．(),2e -
D ．[),e -+∞
7．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为 ( ) A ． B ．
C ．
D ．
8．已知函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤
B ．24m ≤≤
C ．2m ≤
D ．4m ≤
9．已知函数()21x f x x
-＝，则不等式121
()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）
A ．2,3⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．2,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．(,0)-∞
D ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）
A ．()
()()223log a
f f f a << B ．()()()
23log 2a
f f a f << C ．()()()2lo
g 32a
f a f f <<
D ．()()
()2log 23a
f a f f <<
11．当01x <<时，()ln x
f x x
=
，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()
()2
2f
x f x f x <<
B ．()()()2
2
f x f
x f x << C ．()()()2
2
f x f x f x <<
D ．()()()22
f x f x f x <<
12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数
()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 二、填空题
13．已知函数(),e ,x x
x a f x x x a
⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零
点，则a 的取值范围是__.
14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底
AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为
_______________.
15．已知函数()2
4ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的
取值范围是______．
16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式
()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．
17．如果圆柱轴截面的周长l (单位：cm )为定值，则体积最大值为____________3cm ． 18．已知函数()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的单调递增区间为______. 19．若函数()2
122
f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.
20．已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，
(()2)0x f x -'>，则下列命题正确的有________.
①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数； ③(2)(sin12cos12)f f >︒+︒； ④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <.
三、解答题
21．已知函数)(
2
1ln 2
f x x ax x =
-+有两个极值点)(1212,x x x x <． （1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(
213
2
f x x <-
． 22．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系
式:24(6),26,,2
a
y x x a R a x =
+-<<∈-为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件.
（1）求实数a 的值；
（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）
23．已知函数()ln f x x ax =-，()2
g x x =，a R ∈.
（1）求函数()f x 的极值点；
（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 24．设函数()ln 1
x f x x
+=
， （1）求曲线()y f x =在点()()
,e f e 处的切线方程；
（2）当1≥x 时，不等式()()
211a x f x x x
--≥恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()2x
f x e
ax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在2
3
x =
处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]
01，最小值为－1，求a .
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及3
1
log 2
转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.
【详解】
令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，
()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，
当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<
，0.50.5-=()331
2log 2log 22,32
-=+∈， ∴0.523
1
4log 92log 0.512
->>->>， ∴()()0.5
23
1log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝
⎭
， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭，
∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛
⎫>> ⎪⎝
⎭
. 故选：A 【点睛】
思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数
()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判
断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称
性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
2．A
解析：A 【分析】
求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
等价于()'
211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a
时，()'0f x <，不合题意，
0a >时，只需211ax -，
即1
a
x
在[1，)+∞恒成立， 故max 1
()1a x
=，
故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
由此考虑利用导数进行求解.
3．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()231
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
4．A
解析：A 【分析】
f （x ）＝kx 可变形为k lnx
x
=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnx
x
=
的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1
e
=
，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx x
x
==
， 又g ′（x ）2
1lnx
x
-=
， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e
=
， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1
e
）， 故选A ．
【点睛】
本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】
∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．
又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．
∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当
'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调
递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
6．D
解析：D 【分析】
利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】
()()1
ln 20f x f x x x
x
++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，
()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，
()2
ln 0f x x x ∴+=，()2
ln x f x x
∴=-()1x >，
不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
∴2
ln x ax x
-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
即ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()
21ln ln x g x x -=′， 令()()
2
1ln 0ln x
g x x -=
=′，解得x e =，
∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；
x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，
∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，
()()max ln e
g x g e e e
==-=-， a e ∴≥-，
∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；
()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 7．B
解析：B 【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：2
0,()()()x x
e e x
f x f x f x x
--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;
243
()()2(2)(2)()2,()0x x x x x x
e e x e e x x e x e
f x x f x x x
---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．D
解析：D 【分析】
求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]1
2，上是增函数，则()0f x '≥在[]
1
2，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】
由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]1
2，上是增函数，则()0f x '≥在[]
12，上恒成立，即2
40x mx -+≥，则244
x m x x x
+≤=+在[]1
2，上恒成立，又
44x x +
≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤， 故答案选D 【点睛】
本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．
9．B
解析：B 【分析】
由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】
函数211()x f x x x x
-==-，可得21()1f x x '=+，
0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，
∵12100x x e e -->>，，
故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣
的解集． 121x x ->-．
∴23
x <
． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】
由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，
根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，
当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<
所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32a
a <<<， 所以2(log )(3)(2)a
f a f f <<， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.
11．D
解析：D 【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()
2
f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函
数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()
2
f x 的大
小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大
小，从而求得最后的结果. 【详解】
根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x
-=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，
从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()
()()2
10f x f x f <<=，
而()2
2
2ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
12．C
解析：C 【解析】 函数()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2
22
2f x x bx a c ac +++'=- ，222222
1
0cos 22
a c
b b a
c ac B ac +-=--+≤⇒=≥
()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3
π
．
故答案为C ．
二、填空题
13．【分析】设函数求得求得函数的单调性和极值画出函数的图象结合图象分类讨论即可求解【详解】设函数则令得：当时函数单调递增；当时函数单调递减又故画出函数的图象如图所示：因为存在实数b 使函数恰有三个零点所以
解析：1,1e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】 设函数()x x h x e =
，求得()
1x
x
h x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】 设函数()x x h x e =
，x ∈R ，则()
1x
x
h x e '-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，
又()1
1h e
=，故画出函数()h x 的图象，如图所示：
因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根，
所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，
因为函数(),,x x
x a f x e x x a
⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以
1a <，
①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：
显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：
要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1
a e
-<，解得1a e >-，
所以1
0a e
-
<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故答案为：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
有关函数零点的判定方法及策略：
（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且
()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；
（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数
()f x 的零点个数.
14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33
【分析】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则
224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积
1
(24)(2)2
S x y x y =
+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：
设,OE x CE y ==，则224x y +=， 所以等腰梯形ABCD 的面积1
(24)(2)2
S x y x y =
+=+2(2)4x x =+-
2x =<<
令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<
232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+， (0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，
所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，
max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值
故答案为： 【点睛】
本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.
15．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞
【分析】
对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】
由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，
， 2'()+4ln ()2+4a
f x x x a x f x x x
=+⇒=+
，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.
当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a
x a x x x x
+
≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2
(24)166x x --∈--，
，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a
x a x x x x
+
≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2
(24)166x x --∈-，
，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】
本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.
16．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函
数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以 解析：(),0-∞
【分析】 构造函数()()2+=
x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<x
f x f x
g x e
，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成()2
3+>x
f x e
，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果. 【详解】
设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e
， 因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2
+=
x
f x
g x e
在R 上为减函数， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2
ln
3
+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()0
02
03+==f g e
，所以()()0g x g >，又()()2
+=
x
f x
g x e
在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞ 【点睛】
本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.
17．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛
解析：3
216
l π 【分析】
设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值． 【详解】
设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值， 则42R H l +=
22
l
H R ∴=
-
22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫
∴===-=- ⎪⎝⎭
求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，
(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-=
6
l
R ∴=
当6
l
R >时，(6)0V R l R π'=-< 当6
l
R <
时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：323
22216
l l V R R πππ=-=
故答案为：3
216
l π．
【点睛】
本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
18．【分析】首先求出函数的导函数由再根据三角函数的性质解三角不等式即可；【详解】解：所以令即所以故的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间三角函数的性质的应用属于中档题
解析：06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
首先求出函数的导函数，由()0f x '>，再根据三角函数的性质解三角不等式即可； 【详解】 解：()1cos 2f x x x =+
，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
所以()1sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
令()0f x '>，即1sin 02x -+>，所以06x π<<，故()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
故答案为：06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.
19．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1
【分析】
对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2
122f x x x aInx =
-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x
=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20a
f x x x
=-'+
=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，
也即直线y a =与函数()2
2,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，
在直角坐标系中作图如下：
数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】
本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.
20．①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴以及函数的单调性结合题意对选项进行逐一判断即可【详解】因为故关于对称；又故当时单调递增；时单调递减对①：若根据函数单调性显然则根据零点存在定理和函数单调性在
解析：①②④ 【分析】
根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
因为(4)()f x f x -=，故()f x 关于2x =对称；
又(()2)0x f x -'>，故当2x >时，()f x 单调递增；2x <时，()f x 单调递减. 对①：若(2)(6)0f f <，根据函数单调性，显然()()20,60f f ，则()20f -> 根据零点存在定理和函数单调性，()f x 在()()2,2,2,6-上各有1个零点，故①正确； 对②：因为()f x 关于2x =对称，故()2f x +关于0x =对称，故是偶函数，则②正确；
对③
：121257sin cos ︒+︒=︒<(),2-∞单调递减可知，
()1212f
f sin cos <︒+︒，故③错误；
对④：因为12x x <，故可得1222x x -<-；因为124x x +>，故可得1222x x -<- 故2122x x ->-，又函数关于2x =对称，结合函数单调性， 故可得()()21f x f x >，故④正确. 综上所述：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】
本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.
三、解答题
21．（1）2a >；（2）证明见解析． 【分析】
（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；
（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】
解：（1）)(211
x ax f x x a x x
='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，
即方程1a x x =+
有两相异正根，由1
y x x
=+图象可知2a >． （2）要证)(
2132f x x <-
，只要证2222113
ln 22
x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．
只要证)
(
22
22221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22
x x x x --+<-；
2x 为方程210x ax -+=的较大根，212
a
x >
>． 令)(
)(3
2222221ln 12
g x x x x x x =-
-+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(2
22221301g x x x x =-+<'>'；
)(22223
ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；
)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()23
12
g x g <=-．
【点睛】
：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．(1)10a =；(2) 3.3. 【分析】
(1)将“销售价格为4元/件时,每月可售出21千件”带入关系式中即可得出结果； (2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润2
4(610
2)2
f x x x x ，
然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果． 【详解】
(1)由题意可知，当销售价格为4元/件时,每月可售出21千件， 所以221
4(46)42
a ，解得10a =．
(2)设利润为()f x ，则2f x
y x ，26x <<，带入210
4(6)2
y x x =+--可得： 2
24(6)(6)10
2
10422
f x x
x x x x ，
化简可得32456240278f x
x x x ，
函数()f x 的导函数21211224043106f x
x x x x ，26x <<，
当0f x 时，103
2x ，函数()f x 单调递增；
当0f x
时，103
6x ，函数()f x 单调递减；
当0f
x 时，10
3
x
，函数()f x 取极大值，也是最大值，
所以当103
x
，函数()f x 取最大值，即销售价格约为每件3.3元时，该店每月销售装饰品
所获得的利润最大． 【点睛】
本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的
关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题． 23．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞.
【分析】
（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x
≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x
=
->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】 （1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x '=
-. 当0a ≤时，()10f x a x
'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a
>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以函数()y f x =有极大值点是
1a ，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x
≥-恒成立， 令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x
--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x
'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数.
所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-.
因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.
【点睛】
对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
24．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞
【详解】
试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜
式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2
a <，12
a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题 （1）根据题意可得，()2f e e =
， ()2ln 'x f x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即2
1k e =-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e
-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x
-----=≥在1≥x 恒成立，
令()()
2ln 1g x x a x =--，()1x ≥， 所以()12g x ax x
-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增，
所以()()10g x g ≥=，
所以不等式()()21a x f x x ->
成立，即0a ≤符合题意；
当0a >时，令120ax x
-=，解得x =1=，解得12a =，
当10<2a <1，
所以()g x '在⎛
⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭
上()0g x '<，
所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭
上单调递减，
21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令()1ln h a a a a =--+， ()222111'10a a h a a a a
-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-< ⎪⎝⎭
，
所以存在10g a ⎛⎫<
⎪⎝⎭， 所以102a <<
不符合题意；
②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，
所以()()10g x g ≤= 显然12
a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤
25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
（2）32a e > 【分析】
（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；
（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】
解：（1）因为()2x f x e ax b =-+
所以()()220x f x e a a '=->，
令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，
∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝
⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭
， 即ln 0222
a a a a -+< 所以3ln
02a -< 所以32a e >
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
26．（1）y x =；（2）3a
=-. 【分析】
（1）求出导函数，结合()f x 在23
x =
处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．
（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．
【详解】 解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23
x =处取极值， ∴2()03
f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；
∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==
∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23
a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数
此时min ()(0)11f x f ==>-舍去
若32a ≤-，则213
a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2
a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013
a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3
a -单调递增，
此时3min
24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a
=-
【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。