微积分讲义1

微积分讲义1
微积分讲义
基础内容：函数
⼀．集合
1.集合的相关概念
1.满⾜共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.
例：军训前学校通知:8⽉15⽇8点,⾼⼀年级学⽣到操场集合进⾏军训.试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？每个学⽣与全体⾼⼀学⽣之间的关系？
问题：
世界上最⾼的⼭能不能构成⼀个集合？
世界上的⾼⼭能不能构成⼀个集合？
我们把研究的对象统称为“元素”,那么把⼀些元素组成的总体叫“集合”.
2.元素与集合的关系有两种：属于∈，不属于?
元素的特性（判断是否为集合的依据）：
（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何⼀个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
（2）⽆序性：即集合中的元素是没有顺序的.
（3）互异性：⼀个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.
结论：
1、⼀般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A
3.有限集、⽆限集、空集、单元素集
N，整数集记作Z, 4.常⽤数集及其记法:⾃然数集记作N,正整数集记作*
N或
+
有理数集记作Q,实数集记作R.
注意：（1）)}
{b
a都是单元素集
a
},
,
{(
（2）}
0{φ的区别
},
{},
{
例1 判断以下元素的全体是否组成集合：
（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流； ( )
（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）
（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）
例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )
A.⼤于6的所有整数
B.⾼中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y=图象上所有的点
练习
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分⼩的负数全体
B.爱好⾜球的⼈
C.中国的富翁
D.某公司的全体员⼯
2．下列结论中，不正确的是( )
A.若a ∈N ，则-a N
B.若a ∈Z ，则a 2∈Z
C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q
D.若a ∈R ，则
4、
（1） -3 N ；（2） 3.14 Q ；（3） Q ；（4）0 Φ；（5） Q ；（6） R ；（7）1 N +；（8） R 。

2.集合的表⽰⽅法
1.列举法：即把集合的元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“{ }”括起来，基本形式为 },,,{4321a a a a ，适⽤于有限集或元素间存在规律的⽆限集.
如“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
由“maths 中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}
由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}
注：
（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2） a 与{a}不同：a 表⽰⼀个元素，{a}表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素.
（3）集合中的元素具有⽆序性，所以⽤列举法表⽰集合时不必考虑元素的顺序.
2.描述法：⽤集合所含元素的共同特征来表⽰，即⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法，如}|{P x x ∈
“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x |为中国的直辖市}；
“⽅程x 2+5x-6=0的实数解” {x ∈R| x 2
+5x-6=0}={-6，1}
3.图⽰法（Venn 图或数轴）
4.区间法：设R b a ∈, ,且b a <，规定
),(),,(),,(),,[],,(],,[a a b a b a b a b a -∞+∞表⽰
例1.⽤列举法表⽰下列集合:
x 1
R a ∈3填空：或⽤符号?∈3
132
1-π
(1)⼩于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且⼤于4⼩于15的⾃然数组成的集合;
(3)⽅程x 2-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5){x|∈Z ,x ∈Z }. 例2 已知,,且,求实数的值.
例3 下列关系错误的是（）
A.},,,{C B A φφ∈
B.}0{0∈
C.φ∈0
D.}{0φ?
练习
1．下列说法正确的是（）
（A ）所有著名的作家可以形成⼀个集合
（B ）0与}0{的意义相同
（C ）集合?
∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）⽅程0122=++x x 的解集只有⼀个元素
2．下列四个集合中，是空集的是
（）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2≤x x
D ．}01|{2=+-x x x
3．⽅程组=-=+02y x y x 的解构成的集合是（）
A ．)}1,1{(
B ．}1,1{
C ．)1,1(
D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|||{A x x y y B ∈==，则B ＝
5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，⽤列举法表⽰B= .
⼆．函数
1.函数的相关概念
1、映射
x
-36{}2,,M a b ={}22,2,N a b =M N =,a b
映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

注意点：这是判断⼀个对应是映射的⽅法。

⼀对多不是映射，多对⼀是映射。

2.函数
函数：设A 、B 是两个数集，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任⼀个元素x ，在集合B 中都有唯⼀的元素y 和它对应，则这样的对应叫做集合A 到集合B 的⼀个函数，记作y=f(x),x ∈A.
注意点：（1）函数⼀定是⼀对⼀。

（2）在函数y=f(x),x ∈A 中，x 叫做⾃变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x):x ∈A}叫做函数的值域。

（3）构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
（4）两个函数是同⼀个函数的条件：定义域和对应关系都相同
例1、下列各对函数中，相同的是（）
A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
B 、)1lg()1lg()(,11lg
)(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =
例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表⽰从集合M 到集合N 的函数关系的有（）
A 、 0个
B 、 1个
C 、 2个
D 、3个
3.求函数的定义域和值域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次⽅根的被开⽅数要⼤于等于零；
（3）零取零次⽅没有意义；
2.求函数值域的⽅法
①直接法：从⾃变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利⽤换元法将函数转化为⼆次函数求值域，适合根式内外皆为⼀次式；
③判别式法：运⽤⽅程思想，依据⼆次⽅程有根，求出y 的取值范围；适合分母为⼆次且x x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
2 2 2 2
y
y y y 3 O O O O
∈R 的分式；
④分离常数：适合分⼦分母皆为⼀次式（x 有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利⽤函数的单调性求值域；
⑥图象法：⼆次函数必画草图求其值域；
例：先求定义域，再求值域
1．2123y x x =
++ 2．2()2242f x x x =-+-
3．12-+
-=x x y 4. 432+=x x y 5. 11y 22+-=x x 6. 31(24)21x y x x -=
-≤≤+ 7. 3([1,3])2y x x x =-∈- 8.111
y x x =+-- 9.11y x x =+-- 10.232(12)y x x x =+--<≤
4.函数的单调性
⒈增函数与减函数
定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个⾃变量
的值12x x 、
. ⑴若当12x x <时，都有()()12f x f x <，则说()f x
在这个区间上是增函数（如图3）；
⑵若当12x x <时，都有()()12f x f x <，则说()f x
在这个区间上是减函数（如图4）.
[说明]：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间⽽⾔的.有的
函数在⼀些区间上是增函数，⽽在另⼀些区间上不是增函数.例如函数2y x =（图1），当
[)0x ∈+∞，时是增函数，当()0x ∈-∞，
时是减函数. ⒉单调性与单调区间
若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数()y f x =在这⼀区间具
有（严格的）单调性，这⼀区间叫做函数()y f x =的单调区间.此时也说函数是这⼀区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的.
[说明]：⑴函数的单调区间是其定义域的⼦集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，
就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在12x x 、那
样的特定位置上，虽然使得()()12f x f x <，但显然此图像表⽰的函
数不是⼀个单调函数；
（3）在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。

3.归纳：利⽤定义证明函数f (x )在给定的区间I 上的单调性的⼀般步骤：
①任取x 1，x 2∈I ，且x 1
②作差f (x 1)－f (x 2)；
③变形（通常是因式分解和配⽅）；
④定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f (x )在给定的区间I 上的单调性）．
说明：判断函数的单调性，可以⽤图象或单调性的定义；⽽证明函数的单调性，只能⽤单调性的定义．4.例题
1求函数.2()1x f x x =
+的单调增区间是________________.
2.若函数
2()22f x x ax =-+在(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 3.证明函数
x x y 1＋
＝在（1，＋∞）上为增函数．
5.函数的最值
1．函数最⼤（⼩）值定义
最⼤值：⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M （m ）满⾜：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．
那么，称M 是函数()y f x =的最⼤值．
注意：①函数最⼤（⼩）⾸先应该是某⼀个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；
②函数最⼤（⼩）应该是所有函数值中最⼤（⼩）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．
2.例1：求下列函数的最⼩值：
（1）22y x x =-；
（2）1()f x x
= 例2. 求函数2()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最⼩值。