2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲 指数与指数函数

第11讲 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子n
a 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．
②a 的n 次方根的表示：
x n
＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *
，n >1时，
x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *
时.
(2)根式的性质
①(n
a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②
n
a n
＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，
|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0，
n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a m
n ＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －
m
n ＝1a m n
＝1
n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s
(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)
a >1
0<a <1
图象
定义域 值域
性质
过定点
当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数
在R 上是减函数
➢
考点1 指数幂的运算
[名师点睛]
1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算1
20.75013
11
0.027()81()369
-
----++-；
（2）若11
226x x -+22x x -+的值．
2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．
（1）(
)
2
11
3
02
270.002
10
52
8π---
⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
； （23232
111133
42a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭
（3）2
2.5
3
1
05
330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦； （4）1
211
2
13
3265
a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）
计算：1
00.256361.5()87-⨯-+
2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：11
1
12
00.253
4
73(0.0081)
3()81(3)88-
-----⨯⨯⎡⎤⎡
⎤⎢⎣
+⎥
⎢⎥⎣⎦⎦；
（2
2
1111
3
3
2
2
a b ---
3．（2022·全国·高三专题练习）已知1
1
223a a -+=，求下列各式的值．
（1）1
1
a a -+；（2）22
a a -+；（3）
2211
1
a a a a --++++.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知1
122
3x x -+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值．
5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()
1
1
034
0.06416
π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求22112
2
x x x x
---+.
6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （
1
）12
6016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪
⎝⎭
（2
1
11332
ab a b -⎫⎪⎭
a >0，
b >0). （3）3
12
2
1112
2
2
111
1
1
a a a
a a a a a -+--
+
+++-.
➢
考点2 指数函数的图象及应用
[名师点睛]
1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]
1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x k
f x a
-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）
A ．1,1k a >>
B ．1,1k a ><
C ．01,1k a <<<
D ．01,1k a <<>
2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()1
1x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，
则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，
则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3
B ．()3,1--
C ．()(),31,-∞-⋃+∞
D ．()3,1-
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则
()x g x a b =-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
➢
考点3 指数函数的性质及其应用
[名师点睛]
1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<
D ．c b a <<
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为10
3
，则a 的值可能是（ ） A ．1
2
B ．13
C ．3
D ．2
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,2
31,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩
，则不等式
()()10f x f x +-<的解集为___________.
4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2x
f x -=，
若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2
f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）
A ．m 1≥
B ．1m
C ．01m <<
D ．01m <≤
5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2
x x a
g x -=是奇函数，
()()lg 101x f x bx =++是偶函数.
（1）求a 和b 的值； （2）设1
()()2
h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.
[举一反三]
1．（2022·天津·一模）设3
ln 2
a =，0.80.5
b =，0.50.8-=
c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
2．（2022·山西吕梁·二模）已知3
433
44333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2
1
2,022
()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最
小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3)
B ．[1,3)
C ．[1,2)
D ．(1,3)
4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2x
f x =，若存在[]0,4x ∈使不等式
()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.
5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130
f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0
f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的
偶函数，且17
(1)4
f =
. （1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()()22x
x
m
g x f x m =-⋅+
在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4
()1(0,1)2x f x a a a a
=->≠+且(0)0f =．
（1）求a 的值；
（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．
9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的
上界.已知()422x x
f x a =+⋅-.
（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()
f x 在(
)
,0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围
第12讲 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
②a 的n 次方根的表示：
x n
＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *
，n >1时，
x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *
时.
(2)根式的性质
①(n
a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②
n
a n
＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，
|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0，
n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a m
n ＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －
m
n ＝1a m n
＝1
n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s
(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)
a >1
0<a <1
图象
定义域 R 值域
(0，＋∞) 性质
过定点(0，1)
当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数
在R 上是减函数
➢
考点1 指数幂的运算
[名师点睛]
1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算1
20.75013
11
0.027()81()369
-
----++-；
（2）若11
226x x -+22x x -+的值． 【解】
（1）1
20.75013
11
0.027
()81()369
-
----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．
（2）若11226x x -+∴x 1
x ++2＝6，x 1x
+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．
2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．
（1）(
)
2
11
3
02
270.002
10
52
8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
； （23232
1
1113342
a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭
（3）22.53
105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）
1
211
2
13
3265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式(
)(
)
2
1
210
52
35001252
52
-⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
-+
416710*********
=
++=-；
（2）原式1122
3233
31111
11226333
11
2
33
a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===； （3）原式25
3
112
536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭
15213
3
523
3
4353
11010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦；
（4）原式111111111533
2
2
326
236
156
6
a b a b
a
b
a b
-
----+-⋅=
=⋅1a
=
. [举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）
计算：100.2563
61.5()87-
⨯-+
【解】1
00.2563
61.5()87-⨯-+
1111
3233344
32()1(2)223()23
-=⨯+⨯+⨯-， 11
3
322()2427()33=++⨯-， 110=.
2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：11
1
1
2
00.253
4
73(0.0081)
3()81(3)88-
--
---⨯⨯⎡⎤⎡
⎤⎢⎣
+⎥
⎢⎥⎣⎦⎦；
（2
2
1111
3
3
2
2
a b ---【解】（1）原式11112
3()4()
4(0.25)34
2
31310112101
()
[3()]31032
333333
-
⨯-⨯--
⨯-⎛⎫
=-⨯+=
-⨯+=
-= ⎪⎝⎭
； （2）原式11111111153
3
2
2
1326
236
1566
1a b a
b
a b
a a
a b
-----+--⋅⋅=
=⋅==
⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知1
1
223a a -+=，求下列各式的值．
（1）1
1
a a -+；（2）22
a a -+；（3）
2211
1
a a a a --++++. 【解】（1）将11
223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．
（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=． （3）由（1）（2）可得221
1471
6.171
a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知1122
3x x -+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值．
【解】设12
x t =，则12
1
x t
-
=，所以13t t +=，
于是，3
3322
2
321111x x
t t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
而2
2
2
4
242112x x t t t t -⎛⎫
+=+=+- ⎪⎝
⎭，
将13t t
+=平方得22129t t ++=，于是2
217t t +=，
所以原式()2
222221272471137131513
t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=
==--⎛⎫⎛⎫
++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()
1
10
3
40.06416
π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求
22112
2
x x x x
---+.
【解】（1）原式(
)
()()
1
10
3
4
3
40.4
2
3ππ-
-=--++-，
()1
10.4123π--=-++-， 1π=-，
（2）∵()()()
221
116x x x x
x x x x -----=+-=-， ∴()()2
2
11432,x x x x ---=+-=
∵01x <<
， ∴1x x --=-
∴()
221
6x x x x ---=-=-
又∵2
1
112
228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭
，
∵01x <<，
∴11
22x x -+= ∴
22112
2
x x x x
---+=12-.
6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1
）12
6016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪
⎝⎭
（2
11133
2ab a b -⎫⎪⎭
a >0，
b >0). （3）3
12
2
1112
2
2
111
1
1
a a a
a a a a a -+--
+
+++-.
【解】
（1
）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082
2
323
3
3
3
543311272723333
33
a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭===.
（3）原式1122313122221
2
11111
a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=-
-++1122111a a a a -=--=-.
➢
考点2 指数函数的图象及应用
1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x k
f x a
-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）
A ．1,1k a >>
B ．1,1k a ><
C ．01,1k a <<<
D ．01,1k a <<>
【答案】D 【解析】
因为(0)f k =-，由图得10k -<-<， 所以01k <<，所以排除AB ，
因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →， 所以1a >，所以排除C ， 故选：D
2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()1
1x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，
则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-
【答案】B 【解析】
因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).
另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度
得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()1
1x f x a -=-过定点(1,0).
故选：B
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2
5x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，
则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-
【答案】D 【解析】
当2x =时，()22
0255154f a
a -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，
解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则
()x g x a b =-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AC
【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、
b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域
上单调递增，且()0
01g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；
②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0
010g a b b =-=-<，所
以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC
➢
考点3 指数函数的性质及其应用
1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<
【答案】D
【解析】由指数函数的性质，可得...030002021<<=，所以01b <<， 根据对数的运算性质，可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，所以1a >， 由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <， 所以c b a <<. 故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为
10
3
，则a 的值可能是（ ）
A ．12
B ．13
C ．3
D ．2
【答案】BC
【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，
当1x =时，max y a =，当1x =-时，1
min y a -=，
所以1
10
3a a -+=
，即231030a a -+=，解得3a =或13
a =， 因为1a >，所以3a =；
当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，
当1x =时，min y a =，当1x =-时，1
max y a -=，
所以1
10
3a a -+=
，即231030a a -+=，解得3a =或13
a =， 因为01a <<，所以1
3a =.
综上可得，实数a 的值为3或1
3
.
故选：BC
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,2
31,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩
，则不等式
()()10f x f x +-<的解集为___________.
【答案】9,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【解析】①当2x ≤时，11x -≤
，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，
()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；
②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；
③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；
()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；
④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，
()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：9
2x <
，942
x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
故答案为：9,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2x
f x -=，
若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2
f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）
A ．m 1≥
B ．1m
C ．01m <<
D ．01m <≤
【答案】A
【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2x
f x -=，
则当0x ≥时，0x -≤，()()2x
f x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2
f x f x m -≥恒成立，
即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，
且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.
5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2
x x a
g x -=是奇函数，
()()lg 101x f x bx =++是偶函数.
（1）求a 和b 的值； （2）设1
()()2
h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.
【解】解：（1）因为函数4()2
x x a
g x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，
则41
()2
x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.
又()()lg 101x
f x bx =++是偶函数，
所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012
x
f x x =+-，
经检验()f x 是偶函数，∴1
12
a b ==-，.
（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)
(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，
则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，
因为411
()222
x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，
∴3
23
lg(1010)lg102
m +<==
∴1010m +<
所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得9
10m >-，
所以9
110
m -<<.
[举一反三]
1．（2022·天津·一模）设3
ln 2
a =，0.80.5
b =，0.50.8-=
c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
【答案】C 【解析】3
ln ln e 12
<=，0.800.50.51<=，0.500.80.81->=，c a ∴>，c b >
；
31ln
22
==，0.81
10.50.52>=，b a ∴>；
a b c ∴<<.
故选：C.
2．（2022·山西吕梁·二模）已知3
433
44333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】B
【解析】因为函数34x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故3
1
43344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a b . 因为3
43
3344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以c b <.
又3
43
31
4
43331444⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.
综上a c b <<， 故选B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2
1
2,022
()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最
小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)
【答案】C
【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002
x a
=
> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以203222a a a >⎧⎪
⎨-≤
⎪⎩
，得1a ≥．
又()03-<f x a ，所以32a
f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，
即
12
332
a a a -+<，整理得
12
2
1a -+>，102
a -+>，解得2a <． 综上，12a ≤<. 故选：C ．
4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2x
f x =，若存在[]0,4x ∈使不等式
()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.
【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ， 即2222a x x -≥+⨯
，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯， 即12
x =
[]0,4∈时取等号,
所以3222a ≥=，所以32a ≥.
故答案为：3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()3
22x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130
f x f -+<
成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-
【解析】函数的定义域为R ，()()3
22x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并
由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-． 故答案为：(),1-∞-
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0
f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】4,)+∞
【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则
22100t mt m ∴-++=有解，即2
(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义
2,2(0)t t y y ∴>-=>令
2(2)1014
44y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y
4,)m ∴∈+∞
故答案为：)
4,∞⎡+⎣.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x
f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的
偶函数，且17
(1)4
f =
. （1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()()22x
x
m
g x f x m =-⋅+
在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，
整理得()()10x x
k a a ---=，所以1k =，
又因为17(1)4f =
，可得117(1)4f a a =+=，
所以4a =或1
4
a =
， 所以()44x x
f x -=+.
（2）由（1）可知()4422x x x
m g x m x
-=+-⋅+
211(2)(2)222x x x x
m =-
--+ 令1
22
x
x u =-
，则2()2h u u mu =-+. 因为函数1
22x
x
u =-
在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥， 因为函数()()2[0,)2x
x
m
g x f x m =-⋅+
+∞上的最小值是1， 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2
min
()()2124
m m h u h ==-+=，
解得2m =或2m =-（舍去）；
当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4
()1(0,1)2x f x a a a a
=->≠+且(0)0f =．
（1）求a 的值；
（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】
解：（1）对于函数4
()1(0,1)2x f x a a a a
=->≠+，由
4(0)102f a =-=+， 解得2a =，故42
()11222
21
x
x
f x =-
=-
++． （2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即2
12221
x x
m ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1
t m t t t t t t t +<
-==++++．
由于121t t +
+ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，7
6m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的
上界.已知()422x x
f x a =+⋅-.
（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔
（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.
【解】（1）当2a =-时，()2
4222(213)x x x f x =-⨯-=--，
令2,x t =由(0,)x ∈+∞， 可得(1,)t ∈+∞，
令()2
)1(3g t t =--，
有()3g t >-，
可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;
（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且4
22
x x a ≤
-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈， 由20x a +≥恒成立，可得0a ≥， 令()()4
01h t t t t
=
-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由4
22
x x a ≤
-恒成立， 可得3,a ≤
故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数， 则实数a 的取值范围为[
]
0,3。