西安市高新第一中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(含答案解析)

一、选择题
1．已知,x y 满足2240x x y -+=，则2x y -的最大值为( )
A ．25
B ．252+
C ．352+
D ．45
2．已知半圆()()()2
2
x-1+y-2=4y 2≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．55,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．53,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ D ．3553,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦
3．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）
A ．30x y +=
B ．30x y -=
C ．390x y --=
D ．390x y ++=
4．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2 B ．6 C ．4 D ．2
5．在⊙O 外，切⊙O 于，
交⊙O 于、，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．设集合(){},|A x y y x a =
=+，集合(){}
2,|34B x y y x x ==-， 若A B ∅
⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（ ）
A ．122,122⎡-+⎣
B ．12,3⎡⎤⎣⎦
C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦
D ．122,3⎡⎤-⎣⎦
7．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x+y=m 的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（ ）
A ．(2,32)
B ．(32,2)(2,32)--⋃
C ．(32,32)-
D ．(2,2)-
8．如下图,已知,AB AC 是圆的两条弦,过B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与AB 相交于点E ,3=AE ,1=BE ,则BC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
2
3 9．已知圆()()()0412
2
>=-+-a a y x 被直线01=--y x 截得的弦长为32，则a 的值为
A ．2
B ．3
C ．21-
D ．31-
10．已知P 是直线01143:=+-y x l 上的动点,PA 、PB 是圆1)1()1(:22=-+-y x C 的两条切线, 圆心为C ,那么四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．32
11．直线:1l y kx =-与圆
22
1x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（ ） A ．
14 B ．12 C ．1 D ．32
12．过)1,2
1(M 的直线l 与圆22
:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，
直线的方程为（ ）
A ．0342=+-y x
B ．2450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．20x y -=
二、填空题
13．若点在圆
上，点在圆
上，则
的最小值是__________．
14．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为__________．
15．（几何证明选讲选做题）如图2所示AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是
AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连
交AB 于点，若，则
．
16．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且
60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．
17．（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC 上，且
2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，210PA =，4PB =，则线段AB 的长为________．
18．（几何证明选做题）如图，从圆
外一点引圆的切线
和割线，已知，
，圆心
到
的距离为
，则点
与圆
上的点的最短距离
为_______．
19．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为_______ ．
20．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是__
三、解答题
21．已知以点C
（t ∈R ，t≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，
B ，其中O 为原点．
（1）求证：△AOB 的面积为定值；
（2）设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若，求圆C 的方程；
（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求
的最小值及此时点P 的坐标． 22． 已知圆
和圆外一点
.
（1）过作圆的切线，切点为，圆心为，求切线长及
所在的直线方程； （2）过作圆的割线交圆于两点，若
，求直线
的方程. 23．[选修4-1：几何证明选讲]
如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于B 点，过B 作圆O 的切线交CD 于点1
,2
E DE EC =． 求证：3CA CD =．
24．已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆Ｏ相切与点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB=10，AC=12．
M
G B
A
O C
D
（1）求证： BA ⋅DC=GC ⋅AD ； （2）求BM ．
25．（本小题8分）已知点P （-4，0）及圆C ：2
2
6440x
y x y
（1）当直线 l 过点P 且与圆心C 的距离为l 时，求直线 l 的方程：
（2）设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当 AB 取得最小值时，求以线段AB 为直径的圆的方程，
26．已知圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0。

（I ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；
（II ）若圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的
方程。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
设2x y t -=，则直线20x y t --=与圆有交点，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可． 【详解】
2240x x y -+=可化为22(2)4x y -+=，
圆心为()20，
,半径为2， 设2x y t -=，
则直线20x y t --=与圆有交点，
2≤
，解得2t 2-≤+B ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定k 的取值范围即可. 【详解】
绘制半圆如图所示，直线()15y k x =-+表示过点()1,5K ，斜率为k 的直线， 如图所示的情形为临界条件，即直线与圆相切，
此时圆心()1,2到直线50kx y k --+=的距离等于圆的半径2，
2=
，解得：1k =
2k =
且523112KA k -=
=+，523
132
KB k -==--，
据此可得：实数k的取值范围是
3553
,,
2222⎡⎫⎛⎤--⋃
⎪
⎢⎥
⎪
⎣⎭⎝⎦
.
本题选择D选项.
【点睛】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
3．A
解析：A
【解析】
22
22
460
{30
60
x y x y
x y
x y x
+-+=
⇒+=
+-=
，故选A.
4．B
解析：B
【解析】
试题分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
考点：直线与圆的位置关系．
5．C
解析：C
【解析】
试题分析：由∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ，知∠PCA=∠B ． 解：如图，PC 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ， ∵∠PCA 是弦切角， 且弦CA 所对的圆周角是∠B ， ∴∠PCA=∠B ， 故选C ．
点评：本题考查弦切角的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求出集合A 、集合B 表示的几何意义，然后结合题意中A B ∅⋂≠的概率为1转化为直线与圆相交，运用直线与圆的位置关系求出结果 【详解】
集合A 表示在直线y x a =+上的点，
化简234y x x =--，可得()()2
2
324y x -+-=
3y ≤，则集合B 表示半圆
A B ∅⋂≠的概率为1，
即直线与半圆有交点 如图：
将（0，3）代入可得：3a =
()
2
2
23d 211a -+=
≤+-，
即122a -≤122221a -≤≤，
综上，13a -≤≤
则a 的取值范围是1⎡⎤-⎣⎦
故选D 【点睛】
本题较为综合考查了集合的运算、直线与圆的位置关系，解题关键是转化为直线与圆的位置关系，然后运用相关知识来求解，需要掌握此类题目解题方法。

7．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x+y=m 的距离为1的点有且仅有2个，
则圆心（0，0）到直线l ：x+y+m=0的距离d 满足1＜d ＜3，由于d =
，所以
13<
<，
m <，解得m ∈(-⋃ 考点：直线与圆的位置关系
8．C
解析：C 【解析】 试题分析：由CE
BD 有
3AC AE CD EB
==,设CD t =，则3AC t =，由2DB DC DA =⋅有2DB t =，易证DBC DAB ∆∆,则
1
2
DB BC DA AB ==,所以2BC =,选C ． 考点：1.切割线定理；2.相似三角形．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：由题圆心坐标为(1,),2a r =；由垂径定理可得；
2241,d d a =-====考点：直线与圆的位置关系及垂径定理的运用.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：四边形面积最小时，圆心与点P 的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，
切线长PA ,PB
最小，圆心到直线的距离2d ==
，所以PA PB ==，故
四边形的最小面积为1
222
PAC S PA r ∆=⨯
⨯⨯=C ． 考点：圆的标准方程及其切线性质．
11．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得OAB ∆的面积为1
2
sin OAB ∠，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．
由题意可得1OA OB ==，OAB ∆的面积为111222
OA OB sin AOB sin AOB ⋅⋅∠=∠≤，故选B.
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d>r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d<r ，则直线与圆相交．
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．
如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：圆的圆心为()1,0，半径为2，当ACB ∆面积最大时90C = ()1,0∴到直线的
1111022
y k x kx y k ⎛
⎫-=-
∴-+-= ⎪⎝⎭
=1
2
k ∴=
，所以直线为0342=+-y x 考点：直线与圆相交的位置关系
二、填空题
13．2【解析】试题分析：因为圆C1:(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标C1(22)半径r=1圆C2:(x+2)2+(x+1)2=2圆心(-2-1)半径R=2d=|C1C2|=5>2+1=R+r ∴两
解析：2 【解析】 试题分析：因为圆
的圆心坐标，半径
，圆
圆心
，半径，，
两圆的位置关系是外离，又在圆
上，在圆
上，则
的最小值为，故答案为.
考点：圆的方程及圆与圆的位置关系.
14．【解析】【分析】将切线长的最小值问题转化为圆心到直线的距离来求解列方程求得实数的值【详解】设切点为根据切线的性质可知即当取得最小值时取得最小值原点到直线的距离为依题意可得解得【点睛】本小题主要考查直 解析：32±
【解析】 【分析】
将切线长的最小值问题，转化为圆心到直线的距离来求解，列方程求得实数a 的值. 【详解】
设切点为D ，根据切线的性质可知222OM DM OD =+，即221DM OM =-.当OM 取得最小值时，DM 取得最小值，原点到直线m 的距离为
2
a ，依题意可得
()
2
2
2212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，解得32a =±. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线长问题，考查圆的切线的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.解决本题的突破口在于将切线长的最小值问题，通过切线的几何性质，利用勾股定理，转化为圆心到直线的距离来求解.
15．3【解析】由题设得∽∽所以则所以
解析：3 【解析】 由题设得
∽
∽
，所以
，则
所以
16．【解析】直线过点画图图像如下图所示由于所以为等边三角形故或根据倾斜角和斜率的对应关系可知斜率为 解析：3±
【解析】直线过点()0,1，画图图像如下图所示，由于60AOB ∠=，所以OAB ∆为等边三角形，故30ACO ∠=或30AC O ∠=''，根据倾斜角和斜率的对应关系可知斜率为
33
±
.
17．【解析】试题分析：由切割线定理得因此所以从而又由所以所以考点：切割线定理相似三角形【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点解题时要充分利用性质与定理求解本部分内容中常见的命题点有: 解析：23
【解析】
试题分析：由切割线定理得2
PA PB PC =⋅，因此2
(210)104
PC ==，所以6BC =，
从而2,4BD DC ==，又由C PAB BAD ∠=∠=∠，所以CAB ADB ∆~∆，所以
AB CB
BD AB
=，23AB BD CB =⋅=． 考点：切割线定理，相似三角形．
【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理．
18．【解析】试题分析：设则由切割线定理得得得因此由于到的距离为因此半径因此因此点到圆的最短距离半径考点：切割线定理的应用
解析：．
【解析】 试题分析：设
，则
，由切割线定理得
，得
，得
，因此， 由于到的距离为
，因此半径，因此，因此
点
到圆
的最短距离
半径
．
考点：切割线定理的应用．
19．【解析】试题分析：延长交圆于则是圆的直径∵为的中点∴设长为长为根据相交弦定理得∴∴即；故答案为考点：与圆有关的比例线段 解析：2
【解析】
试题分析：延长CO 交圆O 于E ，则CE 是圆O 的直径，
∵D 为OC 的中点，2CE OC =，∴43CE CD DE CD =⇒=，设CD 长为x ，DE 长为3x ，根据相交弦定理，得AD BD ED CD ⋅=⋅，∴2232332x x x x ⨯=⋅=⇒=，∴2x ，即2CD =2 考点：与圆有关的比例线段．
20．x+y-4=0【解析】【分析】先把圆的方程变为标准形式得到圆心O 坐标和半径根据垂径定理可知OP 与AB 垂直求出OP 的斜率即可得AB 的斜率写出AB 的方程即可【详解】解：由x2+y2﹣4x ﹣5＝0得：（x
解析：x+y-4=0 【解析】 【分析】
先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O 坐标和半径，根据垂径定理可知OP 与AB 垂直，求出OP 的斜率，即可得AB 的斜率，写出AB 的方程即可． 【详解】
解：由x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0得：（x ﹣2）2+y 2＝9，得到圆心O （2，0），所以求出直线OP 的斜率为
10
32
-=-1，根据垂径定理可知OP ⊥AB 所以直线AB 的斜率为﹣1，过P （3，1），所以直线AB 的方程为y ﹣1＝﹣1（x ﹣3）即x +y ﹣4＝0 故答案为x +y ﹣4＝0 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一
般式方程．
三、解答题
21．（Ⅰ）为定值。

（Ⅱ）圆C的方程为
（Ⅲ）的最小值为，直线的方程为，则直线与直线
x+y+2=0的交点P的坐标为
【解析】
试题分析：（1）第一步，先设圆的标准方程，并分别求出点,的坐标，用坐标表示,,再表示面积，即是定值；（2）根据条件，，所以取的中点,可证,,∴C，H，O三点共线，那么根据直线的斜率求参数，再写出方程；（3）求折线最短距离问题，第一步，先做点关于直线的对称点，将折线距离转化为求与圆上点的最短距离问题，再求直线与直线
的交点．
试题
（1）证明由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．
（2）解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则
CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2．
∴圆心为C（2,1）或（－2，－1），∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5，由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5．
（3）解：点B（0,2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′（－4，－2），则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝
．
所以|PB|＋|PQ|的最小值为，直线B′C 的方程为y ＝x ，则直线B′C 与直线x ＋y ＋2
＝0的交点P 的坐标为
．
考点：1．圆的方程；2．与圆由关的最值，定值问题． 22．（1）切线长为
,
直线方程为
；（2）直线
或
.
【解析】
试题分析：(1)利用切线的性质可以知道,切线长、半径、点到圆心距离满足勾股定理,则切线长可求;再利用切点与点的连线和半径垂直以及切点都在圆上列出方程组,两式相减
即可得到
所在直线的方程;
(2)先将圆的方程化成标准式,求出圆心和半径,再根据弦长为,结合垂径定理得到圆心到直线的距离,则就可以利用点到直线的距离公式求出直线
的斜率,问题获解.
试题 （1）圆方程
，
，切线长为
.
由于四点共圆，则过的圆方程为
由于
为两圆的公共弦，则两圆相减得
直线方程为：
. （如用圆的切线方程求出的相应给分） （2）①若割线斜率存在，设
，即
. 设的中点中点为，则
， 由，得
；直线
.
②若割线斜率不存在，.
代入圆方程得，符合题意.
综上直线或
.
23．见解析 【解析】
试题分析：由直角三角形得等量关系，再利用条件化简可得结果 试题
222,36
CE DE EB ECB OC OD CD OD π
==⇒∠=
⇒==
33CA OD CD ∴==
24．（1）证明见解析；（2）5． 【解析】
试题分析：（1）根据AC OB ⊥，及AD 是圆O 的直径，得到Rt AGB ∆和Rt DCA ∆相似，从而得到
BA AG AD DC =，又GC AG =，所以BA AG
AD DC
=，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG ，在根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可． 试题
（1）证明：因为AC OB ⊥，所以0
90AGB ∠=
又AD 是圆O 的直径，所以0
90DCA ∠=
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt AGB ∆∽Rt DCA ∆，所以
又因为OG AC ⊥，所以GC AG =． ，即BA DC GC AD ⋅=⋅ （2）解：因为12AC =，所以6AG =，因为10AB =，所以
由（1）知：Rt AGB ∆∽Rt DCA ∆，所以
所以15AD =，即圆的直径215r = 又因为
()
22AB BM BM r =⋅+，即2
151000BM BM +-= ，解得5BM =．
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的应用．
25．3x-4y+12=0或4x =-，2
24y +=（x+4）
【解析】
试题分析：解：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为(4)y k x =+，
22(2)9,C y +-=圆的标准方程为（x+3）
C ∴圆心为（-3,2），半径为r=3,
3
1,4
k ==
得 3
(4),4
l y x ∴=
+直线的方程为即3x-4y+12=0 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =-，符合题意， 综上所述，直线l 的方程为3x-4y+12=0或4x =-。

（2）解：依题意，当P （-4，0）为线段AB 的中点时AB 取得最小值，
min 3,4
(7PC r AB ==∴===分）
2
24AB y ∴+=以线段为直径的圆的方程为（x+4）
考点：直线与圆的位置关系，以及直线方程
点评：设直线的方程为点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值，若点P在圆外，则这样的直线有两条，即使方程只有一个解，说明还有斜率不存在时。

半径为定值，当圆心到直线的距离最大时，AB最小，只有圆心与点P连线垂直于AB时，AB最小。

26．（1）圆心坐标为（-5，-5），半径为4.（2）（x+5）2+（y-12）2=169.
【解析】
试题分析：（1）配方，将圆方程一般式化为标准式，即得圆C的圆心坐标和半径；（2）设圆D标准方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，根据垂径定理列弦长与半径关系，解方程组可得结果.
试题
解：（I）将圆的方程改写为（x+5）2+（y+5）2=16，故圆心坐标为（-5，-5），半径为4. （II）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=（r-1）2+52，解得r=13.
此时圆心纵坐标b=r-1=12.
所以圆D的方程为（x+5）2+（y-12）2=169.。