2017_2018学年高中数学第二章平面解析几何初步2_3_4圆与圆的位置关系学案新人教B版必修2
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答案 A
解析 直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线.
4.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，那么r的值是( )
A. B.
C.5D.
答案 D
解析 由题意可知 ＝2r，
∴r＝ .
5.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，那么直线AB的方程是________.
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B两点坐标是方程组 的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都知足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝ ＝ .
∴|AB|＝2 ＝2 ＝ .
(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)假设两圆内切，那么有 ＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，因此，所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
要点二 与两圆相交有关的问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
2.3.4
[学习目标] 1.把握圆与圆的位置关系及判定方式.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方式处置几何问题的思想.
[知识链接]
1.判定直线与圆的位置关系的两种方式为代数法、几何法.
2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.
[预习导引]
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：假设两圆的半径别离为r1、r2，两圆的圆心距为d，那么两圆的位置关系的判定方式如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判定.
消元一元二次方程
要点一 与两圆相切有关的问题
例1 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ y＝0相切于点M(3，－ )的圆的方;0)，
则 ＝r＋1，①
＝ ，②
＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4 ，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 )2＝36.
规律方式 两圆相切时经常使用的性质有：
(1)设两圆的圆心别离为O1、O2，半径别离为r1、r2，
即两圆的公共弦长为 .
规律方式 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
假设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴成立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
那么受台风阻碍的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
口岸所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
那么轮船航线所在直线l的方程为 ＋ ＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
答案x＋3y＝0
解析 ⇒2x＋6y＝0，
即x＋3y＝0.
1.判定圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践和数学中有着普遍的应用，要擅长利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要成心识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维进程：
A.0.5小时B.1小时
C.1.5小时D.2小时
答案 B
解析 以台风中心A为坐标原点成立平面直角坐标系，如图，
那么台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝20 ，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时刻为t＝ ＝1小时.应选B.
d＝ ＝ ，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆相离，因此轮船可不能受到台风的阻碍.
规律方式 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
跟踪演练3 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地域为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时刻为( )
A.(1,0)和(0,1)B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1)D.(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得 或
3.圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，那么线段AB的垂直平分线方程为( )
A.x＋y－1＝0B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0D.x－y＋1＝0
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A.相离B.相交
C.外切D.内切
答案 B
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝ <r1＋r2＝3，即两圆相交.
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，依照勾股定理求解.
跟踪演练2 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
解 联立两圆的方程得方程组
，两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程.
方式一 设两圆相交于点A，B，
则A，B两点知足方程组 ，
解得 或 .
因此|AB|＝ ＝2 ，
即公共弦长为2 .
方式二 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5 ，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝ ＝3 .
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3 )2＋l2，解得l＝ ，故公共弦长2l＝2 .
要点三 直线与圆的方程的应用
例3 一艘轮船沿直线返回口岸的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受阻碍的范围是半径为30 km的圆形区域，已知口岸位于台风中心正北40 km处，若是这艘轮船不改变航线，那么它是不是会受到台风的阻碍？
那么两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆假设相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).
跟踪演练1 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.
解 设所求圆的圆心为P(a，b)，那么
＝1.①
(1)假设两圆外切，那么有 ＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，因此，所求圆的方程为
解析 直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线.
4.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，那么r的值是( )
A. B.
C.5D.
答案 D
解析 由题意可知 ＝2r，
∴r＝ .
5.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，那么直线AB的方程是________.
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B两点坐标是方程组 的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都知足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝ ＝ .
∴|AB|＝2 ＝2 ＝ .
(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)假设两圆内切，那么有 ＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，因此，所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
要点二 与两圆相交有关的问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
2.3.4
[学习目标] 1.把握圆与圆的位置关系及判定方式.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方式处置几何问题的思想.
[知识链接]
1.判定直线与圆的位置关系的两种方式为代数法、几何法.
2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.
[预习导引]
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：假设两圆的半径别离为r1、r2，两圆的圆心距为d，那么两圆的位置关系的判定方式如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判定.
消元一元二次方程
要点一 与两圆相切有关的问题
例1 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ y＝0相切于点M(3，－ )的圆的方;0)，
则 ＝r＋1，①
＝ ，②
＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4 ，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 )2＝36.
规律方式 两圆相切时经常使用的性质有：
(1)设两圆的圆心别离为O1、O2，半径别离为r1、r2，
即两圆的公共弦长为 .
规律方式 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
假设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴成立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
那么受台风阻碍的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
口岸所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
那么轮船航线所在直线l的方程为 ＋ ＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
答案x＋3y＝0
解析 ⇒2x＋6y＝0，
即x＋3y＝0.
1.判定圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践和数学中有着普遍的应用，要擅长利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要成心识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维进程：
A.0.5小时B.1小时
C.1.5小时D.2小时
答案 B
解析 以台风中心A为坐标原点成立平面直角坐标系，如图，
那么台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝20 ，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时刻为t＝ ＝1小时.应选B.
d＝ ＝ ，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆相离，因此轮船可不能受到台风的阻碍.
规律方式 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
跟踪演练3 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地域为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时刻为( )
A.(1,0)和(0,1)B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1)D.(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得 或
3.圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，那么线段AB的垂直平分线方程为( )
A.x＋y－1＝0B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0D.x－y＋1＝0
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A.相离B.相交
C.外切D.内切
答案 B
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝ <r1＋r2＝3，即两圆相交.
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，依照勾股定理求解.
跟踪演练2 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
解 联立两圆的方程得方程组
，两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程.
方式一 设两圆相交于点A，B，
则A，B两点知足方程组 ，
解得 或 .
因此|AB|＝ ＝2 ，
即公共弦长为2 .
方式二 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5 ，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝ ＝3 .
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3 )2＋l2，解得l＝ ，故公共弦长2l＝2 .
要点三 直线与圆的方程的应用
例3 一艘轮船沿直线返回口岸的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受阻碍的范围是半径为30 km的圆形区域，已知口岸位于台风中心正北40 km处，若是这艘轮船不改变航线，那么它是不是会受到台风的阻碍？
那么两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆假设相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).
跟踪演练1 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.
解 设所求圆的圆心为P(a，b)，那么
＝1.①
(1)假设两圆外切，那么有 ＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，因此，所求圆的方程为