广西壮族自治区桂林市第五中学高三数学理联考试题含解析

广西壮族自治区桂林市第五中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）
A． 0 B． 1 C． 4 D． 8
参考答案：
B
【考点】：简单线性规划．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件作出可行域如图，
由z=x+2y，得y=，
由图可知，当直线y=过点A（﹣1，1）时，目标函数取得最小值为﹣1+2×1=1．
故选：B．
【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．2. 函数的零点个数为
A．个 B．个C．个D．个
参考答案：
C
略
3. 设，则“”是“（）
A．充分而不必要条件 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
4. 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为
A. 2
B. －1
C. －1或2
D. 0
参考答案：
B
因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.选B.
5. 某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
A
略
6. log|x﹣|≥log的解集为（）
A．{x|﹣≤x≤π}B．{x|x≤﹣，或x≥π}
C．{x|﹣≤x≤π且x≠} D．{x|﹣≤x≤且x≠}
参考答案：
C
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由题意可得∴|x﹣|≤，且x﹣≠0，由此求得x的范围．
【解答】解：∵log|x﹣|≥log，∴|x﹣|≤，且x﹣≠0，
即﹣≤x﹣≤，且x﹣≠0，求得﹣≤x≤π，且x≠，
故选：C．
7. 已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是
①，②，③，④，⑤
A. ①③⑤
B. ③④
C. ②③④
D. ②⑤
参考答案：
A
①中的函数，。

要使，则，解得，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使，则，由对，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使，则，由函数与的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，要使，则，即，显然无解，原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使
，则，即，设函数，
且，，显然函数在上有零点，原函数有巧值点。

8. 函数,若在区间上是单调函数,且
，则的值为（）
A．B．或2 C. D．1或
参考答案：
B
因为在单调，∴，即，而；若
，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以
，∴.
9. 若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|
2
|＝（ ）
A. 2
B. 14
C. 2
D. 8
参考答案：
A 【分析】 由已知可得||
，根据数量积公式求解即可．
【详解】||．
故选：A ．
【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题． 10. 全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A.
B. C.
D.
参考答案：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知
是递增的等差数列，
，
为其前
项和，若
成等比数列，则
▲ .
参考答案：
70
12. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=1，则四面
体A —EFB 的体积V 等于 。

参考答案：
连结BD 交AC 与O ,则OA 为四面体A —EFB 的高且
,,所以。

13. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 万元．
参考答案：
10
【考点】频率分布直方图．
【分析】由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，利用9时至10时的销售额即可求出11时至12时的销售额
【解答】解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，
因为9时至10时的销售额为2.5万元，
故11时至12时的销售额应为2.5×4=10，
故答案为：10．
14. 已知为实数，若，则
参考答案：
15. 若对一切，复数的模不超过2，则实数a 的取范围
是
.
参考答案：
解析：依题意，得
（）（对任意实数成立）
. 故的取值范围为
16. 设则
参考答案：
略
17. .直线与圆：交于两点A，B，当最大时，
的最小值为．
参考答案：
解：由已知，圆方程化为,所以圆心为，
当最大时，直线经过圆心，所以，即，即
所以
当且仅当且时取等号，所以的最小值为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数.
(Ⅰ) 讨论的单调性；
(Ⅱ) 设，当时，，求的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）,……1分
当时，，；当时，；
所以f(x)在单调递减，在单调递增……3分
当时，令得x=1 ，x=
（1）当时，，；当时，；
当时，；
所以f(x)在，单调递增，在单调递减……4分（2）当时，，所以f(x)在R单调递增……5分(3) 当时，，；
当时，；
当时，；
所以f(x)在，单调递增，在单调递减……6分
（Ⅱ）令
有……7分令，有
当时，，单调递增，
所以，即
……9分
（1）当时，，在单调递增，
，不等式恒成立……10分
（2）当时，有一个解，设为根
所以有，，单调递减；当时，；单调递增，所以有，故当时，不恒成立；
综上所述，的取值范围是……12分
19. 已知函数．
（Ⅰ）当时，试判断f(x)零点的个数；
（Ⅱ）若时，，求m的取值范围．
参考答案：（Ⅰ）f(x)有且只有一个零点；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及即可确定函数的零点；
（Ⅱ）分和两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值，由求解即可．
【详解】（Ⅰ）当时，，
．
所以，在上单调递减，
又，
∴有且只有一个零点．
（Ⅱ）∵，．
（1）当时，在上恒成立，
∴在上单调递增，
∴，不符合题意．
（2）当时，设，
当即时，恒成立，
所以在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴，符合题意，
∴．
当即时，有两不等实根，设为
因为，可知，
所以时，时
即在区间上单调递增，单调递减
所以，不符合题意．
综上，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.
20. （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点.（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）若直线与平面成角为，求的值；
（Ⅲ）写出点到直线距离的最大值及此时点的位置（结论不要求证明）
参考答案：
以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），
B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）
（Ⅰ）证明：，
所以DA1⊥ED1. ----4分
（Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为,则
，而，
所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.
因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以
所以，所以，解得m=.-----10分
（Ⅲ）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.------12分
21. 设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；
（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，解出即可．
（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令
g（x）=f′（x），g′（x）=﹣．对a分类讨论，研究函数g（x）的单调性极值与最值，进而得出函数f（x）的极值与最值．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，
根据条件知f′（0）=0，
∴1﹣b=0，解得b=1．
（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．
f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，
令g（x）=f′（x），
g′（x）=+=﹣．
①当a≤时，由于0≤x≤1，有g′（x）=﹣≥0，于是f′（x）在[0，1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，
即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0；
②当a≥0时，由于0≤x≤1，有g′（x）=＜0，于是f′（x）在[0，1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减．
即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；
③当时，令m=min，当0≤x≤m时，g′（x）≤0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，
即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0．
综上可知，所求实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. 已知二次函数f（ x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求函数在x∈（0，3]的值域．
参考答案：【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由已知条件列方程，即可得解
（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，确定原函数在（0，3]上的单调性，由单调性求值域【解答】解：（1）二次函数f（x）关于x=1对称
∴
∴a=﹣2
又f（x）的图象经过原点
∴b=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x
（2）∵对称轴x=1落在区间（0，3]内，且抛物线开口向上
∴函数在（0，1]上单调递减，在上单调递增
∴x=1时，f（x）有最小值，最小值为f（1）=1﹣2=﹣1；x=3时，f（x）有最大值，最大值为f （3）=9﹣6=3
∴f（x）的值域是
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．属简单题。