【数学】湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高二下学期期中考试(文)

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高二
下学期期中考试（文）
一、选择题（ 本小题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =（ ）
A ．22i --
B ．2i -+
C ．22i -
D ．22i +
2．下列推理是归纳推理的是（ ） A ．由于()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对x R ∀∈都成立，推断()cos f x x x =为奇函
数 B ．由1=1
31n a a n =-，，求出123,,s s s ，猜出数列{}n a 的前n 项和的表达式 C ．由圆2
2
1x y +=的面积2
S r π=，推断：椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=
D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
3．用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θ
θ-，
则s i n 0c o s 0θθ≥≥且”时，下列假设的结论正确的是（ ） A ．sin 0cos 0θθ≥≥或 B ．sin 0cos 0θθ<<且
C ．sin 0cos 0θθ<<或
D ．sin 0cos 0θθ>>且
4．某程序框图如图所示，运行该程序时，若输入x 的值为10，输出x 的值为80，则判断框内应填（ ）
A ．3n ≥?
B ．3n >?
C ．3n ≤?
D ．3n <?
5．无限循环小数为有理数，如：121
0.1,0.2,0.3,
993
===，则可归纳出0.45=（ ）
A ．12
B ．511
C ．120
D ．
5
110
6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆222(0)x y r r +=>内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若(,)OP mOA nOB m n R
=+∈，则1
4
是22,m n 的等差中项，现有一椭圆22
22
1(0)x y a b a b +=>>内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若(,)O P m O A n O B m n R
=
+∈，则2
2,m n 的等差中项为（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C D ．1
7．设函数1,0()1,0x f x x ->⎧=⎨<⎩
，则()()()
()2a b a b f a b a b +---≠的值为（ ）
A ．a
B ．b
C ．,a b 中较小的数
D ．,a b 中较大的数
8．若ln (),0x
f x a b e x
=
<<<，则有（ ） A ．()()f a f b >
B ．()()f a f b =
C ．()()f a f b <
D ．()()1f a f b >
9．已知,x y 的取值如表所示
如果y x 与线性相关，且线性回归方程为13
2
y bx =+，则b 的值为（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．110-
D ．110
10．已知条件:31p x -≤<，条件22:q x x a a +<-，且p q 是的必要不充分条件，则a
的取值范围是（ ） A ．1
[1,]2- B ．[1,2]-
C ．1[,2]2
D ．1
(1,][2,)2
-+∞
11．在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N ++∈的个位数，则2014a 的值是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
12．已知函数3,01
()(1),1x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩
．若()()2g x f x k x k =-
-有5个不同的零点，则实
数k 的取值范围为（ ）
A ．11,76⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11
[,)76
C ．11[,)87
D ．11(,]87
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上）
13．如图是一容量为100的样本的频率分布直方图．则由图可知样本数据的中位数大约是_______．
14．若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为{|12}x x -<<，则a b +=_________． 15．已知,,a b c R ∈，且0bc >．若11bc a b c a ++=
，则11
()()a a b c
++的最小值为__________．
16．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1）， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数()1f x x a x =-+-． （1）当2a =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()2f x a ≤的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知i 是虚数单位，复数1z 满足()()1211z i i -+=-． （1）求复数1z ；
（2）若复数2z 的虚部为2，且2
1
z z 是实数，求2z ．
19．（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝500ml 以上为“常喝”，体重超过50kg 为“肥胖”．
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由； （3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝．．碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 参考数据：
20．（本小题满分12分）如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中6AB =米，4AD =米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米．
（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并确定函数的定义域；
（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积．
21．（本小题满分12分）设正项数列．．．．
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足对333
32
123n n
a a a a S ++++=（*n N ∈）．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）根据（1），猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并证明你的结论； （3）求证：当*n N ∈时，222
2
123511113
n a a a a ++++<．
22．（本小题满分12分）．已知函数()ln a x f x b x =+在点()()1,1f 处的切线方程为
20x y --=．
（1）求,a b 的值；
（2）设0m e <<（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在区间[],2m m 上的最大值； （3）证明：当*n N ∈时，()2ln 2ln n n n n n e ++<+．
答案
一、选择题（ 本小题共12个小题，每个小题5分，共60分.）
1-6：DBCCBA ； 6-12：DCABAC ．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．13； 14．3-； 15． 2； 16．()5,7．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数()1f x x a x =-+-． （1）当2a =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()2f x a ≤的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：（1）当2a =时，不等式为215x x -+-≥． ① 当2x ≥时，不等式的解为4x ≥； ② 当12x ≤<时，不等式无解； ③ 当1x <时，不等式的解为1x ≤-．
综上可得，不等式的解集为{}1,x 4x x ≤-≥或．……………………………………………
5分
（2）若不等式12x a x a -+-≤的解集不是空集，则0a ≥，且满足函数()min 2f x a ≤． ∵11x a x a -+-≥-+，∴()min 1f x a =-，∴12a a -≤．
又 0a ≥，∴212a a a -≤-≤，解得13a ≥．
∴实数a 的取值范围是)
1,⎡+∞⎢⎣
．……………………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）已知i 是虚数单位，复数1z 满足()()1211z i i -+=-． （1）求复数1z ；
（2）若复数2z 的虚部为2，且
2
1
z z 是实数，求2z ．
解：（1）11221i z i i -=+=-+． (5)
分
（2）设()22z a i a R =+∈，则
21
2224255z a i a a i i z ++-+==++，∴40,4a a -+=⇒=．
∴242z i =+，∴2z =……………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝500ml 以上为“常喝”，体重超过50kg 为“肥胖”．
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由； （3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝．．碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 参考数据：
解：（1）设全部30人中的肥胖学生共n 名，则4,8n n =⇒=，∴常喝碳酸饮料且肥
胖的学生有6名．列联表如下：
……………………………………………………………………………………………………4分
（2）∵()
2
2
30618248.5237.8791020228
K ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，∴有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………………………………8分
（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为,,,A B C D ，2名女生为,e f ，则从中随机抽取2名的情形有,,,,AB AC AD Ae Af ；,,,BC BD Be Bf ；,,CD Ce Cf ；,De Df ；ef 共15种，其中一名男生 一名女生的情形共有8种，∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为815
．………………12分
20．（本小题满分12分）如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中6AB =米，4AD =米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米．
（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并确定函数的定义域；
（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积． 解：（1）由NDC NAM ∆~∆可得， 466,x x AM -=⇒=，∴264
x S x =-． 由4x >，且2
61504
x S x =<-，解得520x <<， ∴函数的定义域为()5,20．……………………………………………6分
（2）令4x t -=，则()1,16t ∈，()()
2
2
646166868964t x S t x t t +⎛⎫
===++≥= ⎪-⎝⎭
，
当且仅当4t =时，S 取最小值96，故当AN 的长度为8米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米．………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）设正项数列．．．．
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足对333
32
123n n
a a a a S ++++=（*n N ∈）．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）根据（1），猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并证明你的结论； （3）求证：当*n N ∈时，222
2
123
511113
n a a a a ++++<． 解：（1）11a =，22a =，33a =．……………………………………………………………2分 （2）猜想：n a n =（*n N ∈）．………………………………………………………………4分
证明：∵333
32
1
23n n a a a a S ++++=（*n N ∈），……① ∴3333321
2311n n n a a a a a S +++++++=，
……②
②-①得 32211n n n a S S ++=-，即()3
111n n n n a S S a +++=+．
由()
*0n a n N >∈，∴2
11n n n a S S ++=+． ……③ ∴当2n ≥时，2
1n
n n a S S -=+，
④ ③-④得
()()
22
111n n n n n n a a S S S S ++--=-+-，
∴
22
11n n n n
a a a a ++-=+，即
()112n n a a n +-=≥．
又21211a a -=-=，∴()
*11n n a a n N +-=∈，∴{}n a 是等差数列．
∴{}n a 的通项公式为()
*n a n n N =∈．…………………………………………………8分 （3）∵当*k N ∈时，()()()
22221144411221212121441
k k k k k a k k k ==<==--++--，
∴当1n =时，21
511a =<；
当2n ≥时，令k 分别取1,2,3,,n ，并将各不等式相加可得
()()
()2222123
11111111111235572121n
n n a a a a ⎡⎤+++
+<+-+-+
+
-⎢⎥-+⎣⎦
()
511123213
n =+-<+．
综上所述，当*n N ∈时，222
2
123511113
n a a a a ++++<．……………………12分
22．（本小题满分12分）．已知函数()ln a x f x b x =+在点()()1,1f 处的切线方程为
20x y --=．
（1）求,a b 的值；
（2）设0m e <<（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在区间[],2m m 上的最大值； （3）证明：当*n N ∈时，()2ln 2ln n n n n n e ++<+．
解：（1）()f x 的()f x 定义域为()0,+∞．()1f b =，()()2
1ln a x f x x
-'=，()1f a '=．
由已知得，1a =，且120,1b b --=⇒=-． (3)
分
（2）()ln 1x f x x =-，()21ln x f x x -'=． 令()0f x '=，得ln 1,x x e =⇒=．
当0x e <<时，ln 1x <，∴()0f x '>，∴()f x 单调递增；
当x e >时，ln 1x >，∴()0f x '<，∴()f x 单调递减．………………………………5分 因为0m e <<，[],2x m m ∈，所以
① 当2m e ≤，即02e m <≤时，函数()f x 在[],2m m 上的最大值为()ln 2212m f m m =-；
② 当2m e >，即2e m e <<时，函数()f x 在[],2m m 上的最大值为()11f e =-． (7)
分
（3）证明：当*n N ∈时，要证()2ln 2ln n n n n n e ++<+，只需证22ln n n n ne ++<．……①
设()()ln 0x g x x x
=>，则由（2）可知()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
∴()()1g x g e e ≤=，即ln 1x x e ≤，即ln x x e
≤，当且仅当x e =时等号成立．
令2n x +=()
*n N ∈，则(]1,3x ∈，∴①式成立，即不等式()2ln 2ln n n n n n ++<+成
立．…………………………………………………12分
11。