18届高考数学二轮复习第一部分层级二保分专题四三角恒等变换与解三角形课件理1801182163

17 又S△ABC＝2，则ac＝ . 2 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) 17 15 ＝36－2× ×1＋17＝4. 2 所以b＝2.
[类题通法]
三角形面积公式的应用原则
1 1 1 (1)对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般 2 2 2 是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理 进行边和角的转化．
答案：A
2．若tan 20° ＋msin 20° ＝ 3，则m的值为________．
3－tan 20° 解析：由于tan 20° ＋msin 20° ＝ 3，所以m＝ sin 20° 3cos 20° －sin 20° ＝ ＝ sin 20° cos 20° 4sin60° －20° ＝ ＝4. sin 40°
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A －sin2B＝ 3sin Bsin C，sin C＝2 3sin B，则A＝________.
解析：根据正弦定理可得a2－b2＝ 3bc，c＝2 3b， 解得a＝ 7b. b2＋c2－a2 b2＋12b2－7b2 3 根据余弦定理cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2×b×2 3b 得A＝30° .
❷
[解答示范] (一)搭桥——找突破口 (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求 b. 第 ❸ ❹ (1)问：欲求 cos B 的值，要么 求 B 的值，要么找关于 cos B 的关系 (一)搭桥——找突破口 式，即变换已知条件列方程求解；
第(2)问：欲求 b 的值，需列关于 b 的方程，应借助 余弦定理、三角形的面积公式，再找其所需条件求解．
[即学即用·练通]
1．(2018届高三· 广西三市一联)在△ABC中，角A，B，C的对 1 边分别为a，b，c，asin B＝ 2sin C，cos C＝ ，△ABC的 3 面积为4，则c＝________.
17
三角恒等变换及求值
[师生共研·悟通]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β. (2)cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α± tan β (3)tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α (3)tan 2α＝ . 1－tan2α
2 h h 1 2 2 － ， 可得130 ＝3h ＋ －2· 3h· · 3 3 2
解得h＝10 39，故塔的高度为10 39 m.
答案：10 39
三角形面积问题
[师生共研·悟通]
[典例] (2017· 全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
2B
别为 a，b，c，已知sinA＋C＝8sin . 2 ❶ (1)求cos B；
[即学即用·练通]
3 π 1．已知 sin β＝ 2<β<π，且 sin(α＋β)＝cos α，则 tan(α＋β)＝( 5
)
A．－2
B．2
1 C．－ 2
1 D． 2
3 π 解析：∵sin β＝ ，且 <β<π， 5 2 4 3 ∴cos β＝－ ，tan β＝－ . 5 4 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， tan α＋tan β 1 ∴tan α＝－ ，∴tan(α＋β)＝ ＝－2. 2 1－tan αtan β
[解析]
π ∵α∈0，2 ，∴2α∈(0，π)．
1 7 2 ∵cos α＝ ，∴cos 2α＝2cos α－1＝－ ， 3 9 4 2 ∴sin 2α＝ 1－cos 2α＝ ， 9
2
π 又α，β∈0，2 ，∴α＋β∈(0，π)，
2 2 ∴sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝ ， 3
(2)(2017· 贵阳检测)已知△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c，C＝120° ，a＝2b，则tan A＝________.
[解析]
1 － ＝7b2， 2
∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×
b2＋c2－a2 b2＋7b2－4b2 2 7 ∴c＝ 7b，cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 7 2×b× 7b ∴sin A＝ 1－cos A＝ sin A 3 ∴tan A ＝ ＝ . cos A 2
[解析] 理，得
法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定
2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A ＝sin(A＋C)＝sin B＞0， 1 因此cos B＝ . 2 π 又0＜B＜π，所以B＝ . 3
法二：由2bcos B＝acos C＋ccos A及余弦定理，得 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 b2＋c2－a2 2b· ＝a· ＋c· ， 2ac 2ab 2bc 整理得，a2＋c2－b2＝ac， 1 所以2accos B＝ac＞0，cos B＝ . 2 π 又0＜B＜π，所以B＝ . 3 π [答案] 3
[解]
(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin ， 2
2B
即sin B＝4(1－cos B)， 故17cos2B－32cos B＋15＝0， 15 解得cos B＝ ，cos B＝1(舍去)． 17 15 8 (2)由cos B＝ ，得sin B＝ ， 17 17 1 4 故S△ABC＝ acsin B＝ ac. 2 17
2
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
7 1 4 2 2 2 23 ＝－9×－3＋ × ＝ . 9 3 27
[答案]
23 27
[类题通法]
三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
2 2 2 b ＋ c － a 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ . 2bc
[典例]
(1)(2017· 全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对
边分别为 a， b， c， 若 2bcos B＝acos C＋ccos A， 则 B＝________.
2 3 1 cos 20° － sin 20° 2 2 1 sin 40° 2
答案：4
正、余弦定理解三角形及其应用
[师生共研·悟通] 1．正弦定理及其变形 a b c 在△ABC中， ＝ ＝ ＝2R(R为△ABC的外接圆 sin A sin B sin C 半径)． a 变形：a＝2Rsin A，sin A＝ ，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶ 2R sin C等．
答案：30°
3．如图，为了估测某塔的高度，在同一水 平面的A，B两点处进行测量，在点A处 测得塔顶C在西偏北20° 的方向上，仰角 为60° ；在点B处测得塔顶C在东偏北40° 的方向上，仰角为30° .若A，B两点相距130 m，则塔的高 度CD＝________m.
h 解析：设CD＝h，则AD＝ ，BD＝ 3h， 3 在△ADB中，∠ADB＝180° －20° －40° ＝120° ， ∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos 120° ，
π π αcos ＋sin αsin 4 4
[答案] 3 10 10
2 5 2 5 3 10 ＝ × ＝ . 2 5 ＋5 10
π 1 1 (2)已知cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ ，且α，β∈0，2 ， 3 3
则cos(α－β)＝________.
[答案]
12 2
[类题通法]
正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角” 应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边” 应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一
函数、统一结构”．
[即学即用·练通] 1．设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，若
2
4 21 1－ ＝ ， 7 7
[答案] 3 2
(3)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30° 方向，它向正北方向航 行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75° 方向．则此时货轮到灯 塔S的距离为________海里．
[解析] 根据题意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30° ，
BS 24 12 ∠ASB＝45° ，由正弦定理，得 ＝ ，∴BS＝ sin 30° sin 45° 2 2 ＝12 2，故货轮到灯塔S的距离为12 2海里．
[典例]
(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知α∈
π 0， 2
，tan α＝2，则
π cosα－4 ＝________.
[解析]
∴sin α＝ ，cos α＝ ， 5 5
π ∴cosα－4 ＝cos
tan Atan B ＝1 008tan C，且a2＋b2＝mc2，则m＝( tan A＋tan B A．2 014 C．2 016 B．2 015 )
D．2 017 tan Atan B 1 1 1 解析：由 ＝1 008tan C得 ＋ ＝ tan A tan B 1 008 tan A＋tan B 1 cos A cos B 1 cos C sin2C × ，即 ＋ ＝ × ， ＝ tan C sin A sin B 1 008 sin C sin Asin B a2＋b2－c2 cos C c2 1 ，根据正、余弦定理得 ab ＝ × ，即 1 008 1 008 2ab a2＋b2－c2 a2＋b2 ＝2 016， 2 ＝2 017，所以m＝2 017. 答案：D c2 c
(二)建桥——寻关键点
有什么
想到什么
注意什么
信息①：两角和与半 三 角 形 内 角 和 定 (1) 三 角 形 中 的 三角恒等关系式 角的三角等式关系 理及倍角公式 化已知条件为 cos 化简时，三角形 信息②：求cos B 内角和定理及倍 B的关系式 角公式的正确使 寻找平方后与余 用 2 2 信息③：a＋c＝6 弦定理中 a ＋ c 的 (2) 转 化 与 化 归 关系式 思想、整体代入 信息④：三角形面积 利 用 面 积 公 式 来 思想在解题过程 为2 求ac的值 中的应用
保分专题(四) 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 正、余弦定理、三角形的面积公式及两 卷Ⅰ 角和的余弦公式·T 17
1.高考对此部分的考 2017 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面 查一般以“二小”或“一大” 卷Ⅱ 积公式·T 的命题形式出现． 17 2.若无解答题，一般 卷Ⅲ 余弦定理、三角形的面积公式·T17 在选择题或填空题各有一题， 卷Ⅰ 正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17 主要考查三角恒等变换、解 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问 三角形，难度一般，一般出 现在第4～9或第13～15题位 卷Ⅱ 题·T9 2016 置上． 正弦定理的应用、诱导公式·T13 3.若以解答题命题形 同角三角函数的基本关系·T5 式出现，主要考查三角函数 卷Ⅲ 正、余弦定理解三角形·T8 与解三角形的综合问题，一 般出现在解答题第17题位置 卷Ⅰ 诱导公式、两角和的正弦公式·T2 上，难度中等． 2015 正、余弦定理解三角形、三角形的面积 卷Ⅱ 公式·T