武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合
,,则( )
A B
C
D
2． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
3． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈ 4． 执行如图所示的程序框图，若输入的
分别为0，1，则输出的
（ ）
A ．4
B ．16
C ．27
D ．36
5． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ）
A ． ()0,1
B ．3⎛
⎝ C ．()1,33⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．(
6． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
7． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B
．
C
．
D ．1
8． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 9． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A
． B
．
C
．
D
．
10．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
11．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2
B ．6
C ．
4
D ．
2
12
．函数的定义域是（ ）
A ．（﹣∞，2）
B ．[2，+∞）
C ．（﹣∞，2]
D ．（2，+∞）
二、填空题
13
．计算：
×5﹣1
= ．
14．已知两个单位向量,a b 满足：1
2
a b ∙=-
，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0
相交所得的弦长为，则
圆的方程为 ． 16．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
三、解答题
17．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
19．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
20．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
21．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
3
3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2
7
<n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重
点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
22．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，4059
（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．
武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

2． 【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a ﹣1，a 2
}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，
∴2a ﹣1=9或a 2
=9，
当2a ﹣1=9时，a=5，A ∩B={4，9}，不符合题意；
当a 2
=9时，a=±3，若a=3，集合B 违背互异性；
∴a=﹣3． 故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 4． 【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是， 则输出的36。

故答案为：D 5． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是003060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan 30tan 60a <<且0tan 45α≠，即
13
a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 6． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 7． 【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos （45°﹣15°） =cos30°
=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8． 【答案】C 【解析】
考点：真子集的概念. 9． 【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C 83
=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
10．【答案】A.
【解
析】
11．【答案】B
【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：根据函数有意义的条件可知
∴x＞2
故选：D
二、填空题
13．【答案】9．
【解析】解：
×5﹣1=
×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴
×5﹣1
=9，
故答案为：9．
14．【答案】7
-． 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 15．【答案】 （x ﹣1）2+（y+1）2=5 ．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ， ∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①
且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2
；②
又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为d=
=
，
根据垂径定理得：r 2﹣d 2
=
，
即r 2﹣（
）2
=③；
由方程①②③
组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2
=5． 故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2
=5．
16．【答案】43
【解析】
试题分析：由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1
tan 3
α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=
++ 1
34313133-
=
=+⨯
． 考点：两角和与差的正切公式．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x ）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率
P=
=．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
18．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l 的方程；
【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2
=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0． （2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为
，即x+2y ﹣6=0．
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，即
|
﹣x|﹣
|
+x|≥a 2﹣3a 恒成立．
由于f （x ）
=|
﹣x|﹣
|
+
x|=，故f （x ）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a 2﹣3a ，求得1≤a ≤2．
（Ⅱ）由于f （x ）的最大值为2，∴f （m ）≤2，f （n ）≤2，
若f （m ）+f （n ）=4，∴m ＜n ≤
﹣，∴m+n ＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
20．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θ
θ=⋅+- （2
）2a =+【解析】
试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =，
在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-， 所以221
12cos x a a θ=+-， 所以21
1sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ+--⋅=+-'⋅，
()()22
2
2cos 121212cos a a a a a θθ+-=⋅+-，
令0S '=，得02
2cos ,1a a θ=
+ 且当0θθ<时，022cos 1a a
θ>+，0S '>， 当0θθ>时，022cos 1a a θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以22112
a a =+，
解得2a =±
因为1a >，则2a =+点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

21．【答案】
【解析】
22．【答案】
【解析】解：（1）设抽取x人，则，解得x=2，
即年龄在20：39岁之间应抽取2人．
（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A，B，在40：59岁之间为a，
b，c，
随机选取2人的情况有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，
年龄都在40：59岁之间的有（a，b），（a，c），（b，c），共3种，
则对应的概率P=．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．。