武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
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武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 设集合
,,则( )
A B
C
D
2. 已知A={﹣4,2a ﹣1,a 2},B={a ﹣5,1﹣a ,9},且A ∩B={9},则a 的值是( )
A .a=3
B .a=﹣3
C .a=±3
D .a=5或a=±3
3. 已知集合{}|5A x N x =∈<,则下列关系式错误的是( )
A .5A ∈
B .1.5A ∉
C .1A -∉
D .0A ∈ 4. 执行如图所示的程序框图,若输入的
分别为0,1,则输出的
( )
A .4
B .16
C .27
D .36
5. 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=,其中为实数,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时,的取值范围是( )
A . ()0,1
B .3⎛
⎝ C .()1,33⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D .(
6. S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若3a 8-2a 7=4,则下列结论正确的是( )
A .S 18=72
B .S 19=76
C .S 20=80
D .S 21=84
7. sin45°sin105°+sin45°sin15°=( )
A .0
B
.
C
.
D .1
8. 集合{}1,2,3的真子集共有( )
A .个
B .个
C .个
D .个 9. 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( ) A
. B
.
C
.
D
.
10.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩(n N ∈),若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈,数列{}m a 的前m 项和为m S ,则10596S S -=( ) A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
11.已知直线x+ay ﹣1=0是圆C :x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴,过点A (﹣4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|=( ) A .2
B .6
C .
4
D .
2
12
.函数的定义域是( )
A .(﹣∞,2)
B .[2,+∞)
C .(﹣∞,2]
D .(2,+∞)
二、填空题
13
.计算:
×5﹣1
= .
14.已知两个单位向量,a b 满足:1
2
a b ∙=-
,向量2a b -与的夹角为,则cos θ= . 15.圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x ﹣y+1=0
相交所得的弦长为,则
圆的方程为 . 16.已知tan()3αβ+=,tan()24
π
α+
=,那么tan β= .
三、解答题
17.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](Ⅰ)求图中x的值,并估计该班期中考试数学成绩的众数;
(Ⅱ)从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人,求这2人成绩均不低于90分的概率.
18.已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.
19.已知f(x)=|﹣x|﹣|+x|
(Ⅰ)关于x的不等式f(x)≥a2﹣3a恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n的取值范围.
20.【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形(如图)区域,在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米,设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍,三角形ABC 的面积为S (千米2). 试用θ和a 表示S ;
(2)若恰好当60θ=时,S 取得最大值,求a 的值.
21.(本题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,2
3
3-=n n a S (+∈N n ). (1)求数列}{n a 的通项公式;
(2)若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ,记n n b b b b T ++++= 321,求证:2
7
<n T (+∈N n ). 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧,同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重
点突出运算、论证、化归能力的考查,属于中档难度.
22.我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000(单位:元)十个档次,某社区随机抽取了50名村民,按缴费在100:500元,600:1000元,以及年龄在20:39岁,4059
(2)在缴费100:500元之间抽取的5人中,随机选取2人进行到户走访,求这2人的年龄都在40:59岁之间的概率.
武川县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。
2. 【答案】B
【解析】解:∵A={﹣4,2a ﹣1,a 2
},B={a ﹣5,1﹣a ,9},且A ∩B={9},
∴2a ﹣1=9或a 2
=9,
当2a ﹣1=9时,a=5,A ∩B={4,9},不符合题意;
当a 2
=9时,a=±3,若a=3,集合B 违背互异性;
∴a=﹣3. 故选:B .
【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题.
3. 【答案】A 【解析】
试题分析:因为{}|5A x N x =∈< ,而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉,即B 、C 正确,又因为0N ∈且
05<,所以0A ∈,即D 正确,故选A. 1
考点:集合与元素的关系. 4. 【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0,S=1,k=1,A=1,S=1,否;k=3,A=4,S=4,否;k=5,A=9,S=36,是, 则输出的36。
故答案为:D 5. 【答案】C 【解析】1111]
试题分析:由直线方程1:L y x =,可得直线的倾斜角为0
45α=,又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
,所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是003060α<<且0
45α≠,所以直线的斜率为
00tan 30tan 60a <<且0tan 45α≠,即
13
a <<或1a << C. 考点:直线的倾斜角与斜率. 6. 【答案】
【解析】选B.∵3a 8-2a 7=4, ∴3(a 1+7d )-2(a 1+6d )=4,
即a 1+9d =4,S 18=18a 1+18×17d 2=18(a 1+17
2d )不恒为常数.
S 19=19a 1+19×18d
2=19(a 1+9d )=76,
同理S 20,S 21均不恒为常数,故选B. 7. 【答案】C
【解析】解:sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos (45°﹣15°) =cos30°
=
.
故选:C .
【点评】本题主要考查了诱导公式,两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
8. 【答案】C 【解析】
考点:真子集的概念. 9. 【答案】C
【解析】解:正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上,在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有4×6=24个,
而在8个点中选3个点的有C 83
=56,
所以所求概率为=
故选:C
【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.
10.【答案】A.
【解
析】
11.【答案】B
【解析】解:∵圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2 =4,
表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆.
由题意可得,直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),
故有2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点A(﹣4,﹣1).
∵AC==2,CB=R=2,
∴切线的长|AB|===6.
故选:B.
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属于基础题.
12.【答案】D
【解析】解:根据函数有意义的条件可知
∴x>2
故选:D
二、填空题
13.【答案】9.
【解析】解:
×5﹣1=
×=×=(﹣5)×(﹣9)×=9,
∴
×5﹣1
=9,
故答案为:9.
14.【答案】7
-. 【解析】
考点:向量的夹角.
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)
求平面向量的数量积有三种方法:一是定义cos a b a b θ⋅=;二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+;
三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 15.【答案】 (x ﹣1)2+(y+1)2=5 .
【解析】解:设所求圆的圆心为(a ,b ),半径为r , ∵点A (2,1)关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上, ∴圆心(a ,b )在直线x+y=0上, ∴a+b=0,①
且(2﹣a )2+(1﹣b )2=r 2
;②
又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为,
且圆心(a ,b )到直线x ﹣y+1=0的距离为d=
=
,
根据垂径定理得:r 2﹣d 2
=
,
即r 2﹣(
)2
=③;
由方程①②③
组成方程组,解得;
∴所求圆的方程为(x ﹣1)2+(y+1)2
=5. 故答案为:(x ﹣1)2+(y+1)2
=5.
16.【答案】43
【解析】
试题分析:由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1
tan 3
α=, tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=
++ 1
34313133-
=
=+⨯
. 考点:两角和与差的正切公式.
三、解答题
17.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由(0.006×3+0.01+0.054+x )×10=1,解得x=0.018,
前三组的人数分别为:(0.006×2+0.01+0.018)×10×50=20,第四组为0.054×10×50=27人,故数学成绩的众数落在第四组,故众数为75分.
(Ⅱ)分数在[40,50)、[90,100]的人数分别是3人,共6人, ∴这2人成绩均不低于90分的概率
P=
=.
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题,前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数;后者往往和计数原理结合起来考查.
18.【答案】
【解析】
【分析】(1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线l 的方程; (2)当弦AB 被点P 平分时,求出直线的斜率,即可写出直线l 的方程;
【解答】解:(1)已知圆C :(x ﹣1)2+y 2
=9的圆心为C (1,0),因为直线l 过点P ,C ,所以直线l 的斜率为2,所以直线l 的方程为y=2(x ﹣1),即2x ﹣y ﹣2=0. (2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC ,直线l 的方程为
,即x+2y ﹣6=0.
19.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)关于x 的不等式f (x )≥a 2﹣3a 恒成立,即
|
﹣x|﹣
|
+x|≥a 2﹣3a 恒成立.
由于f (x )
=|
﹣x|﹣
|
+
x|=,故f (x )的最小值为﹣2,
∴﹣2≥a 2﹣3a ,求得1≤a ≤2.
(Ⅱ)由于f (x )的最大值为2,∴f (m )≤2,f (n )≤2,
若f (m )+f (n )=4,∴m <n ≤
﹣,∴m+n <﹣5.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,求函数的最值,函数的恒成立问题,属于中档题.
20.【答案】(1)21sin 212cos a S a a θ
θ=⋅+- (2
)2a =+【解析】
试题
解析:
(1)设边BC x =,则AC ax =,
在三角形ABC 中,由余弦定理得:
22212cos x ax ax θ=+-, 所以221
12cos x a a θ=+-, 所以21
1sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ=⋅⋅=⋅+-,
(2)因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ+--⋅=+-'⋅,
()()22
2
2cos 121212cos a a a a a θθ+-=⋅+-,
令0S '=,得02
2cos ,1a a θ=
+ 且当0θθ<时,022cos 1a a
θ>+,0S '>, 当0θθ>时,022cos 1a a θ<+,0S '<, 所以当0θθ=时,面积S 最大,此时0060θ=,所以22112
a a =+,
解得2a =±
因为1a >,则2a =+点睛:解三角形的实际应用,首先转化为几何思想,将图形对应到三角形,找到已知条件,本题中对应知道一个角,一条边,及其余两边的比例关系,利用余弦定理得到函数方程;面积最值的处理过程中,若函数比较复杂,则借助导数去求解最值。
21.【答案】
【解析】
22.【答案】
【解析】解:(1)设抽取x人,则,解得x=2,
即年龄在20:39岁之间应抽取2人.
(2)设在缴费100:500元之间抽取的5人中,年龄在20:39岁年龄的两人为A,B,在40:59岁之间为a,
b,c,
随机选取2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,
年龄都在40:59岁之间的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,
则对应的概率P=.
【点评】本题主要考查分层抽样的应用,以及古典概型的计算,利用列举法是解决本题的关键.。