2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷(理科)

2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷（理科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集U =R ，集合A ={y|y =x 2+2,x ∈R}，集合B ={x|y =lg(3−x)}，则A ∩B =( )
A. [2,3]
B. (2,3)
C. (2,3]
D. [2,3)
2. 已知i 是虚数单位，z =1+i −3i 2020，且z 的共轭复数为z −，则z ⋅z −
=( )
A. √3
B. √5
C. 5
D. 3
3. 已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的
侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是( ) A. p ∧q B. ￢p ∧q C. p ∧￢q D. ￢p ∧￢q 4. 在△ABC 中，若acosA =bcosB ，则△ABC 的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形 5. 若(1−2x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯…+a 8x 8，则|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯…+|a 8|=( )
A. 38−1
B. 28
C. 28−1
D. 38
6. 体育品牌Kappa 的LOGO 为可抽象为如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中
大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是( )
A. f(x)=sin6x
2−x −2x B. f(x)=cosx
2x −2−x C. f(x)=cos6x
|2x −2−x |
D. f(x)=sin6x
|2x −2−x |
7. 已知定义在R 上的函数满足f(x +2)=−f(x)，x ∈(0,2]时，f(x)=x −sinπx ，则∑f 2020i=1(i)=( )
A. 6
B. 4
C. 2
D. 0 8. 若tan2α=−3
4，则
sin2α+cos 2α1+2sin 2α
=( )
A. −14或1
4
B. 34或1
4
C. 3
4
D. 1
4
9. 已知点P 为双曲线
x 2a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△
PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S △IPF 1−S △IPF 2≤√2
2S △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率取值范
围是( )
A. (1,√2)
B. [√2,+∞)
C. (1,√2]
D. (√2,+∞)
10. 2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕
业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率( )
A. 0.99%
B. 99%
C. 49.5%
D. 36.5%
11. 已知函数f(x)=xlnx −1
2(m +1)x 2−x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )
A. (−1
e ,0)
B. (−1,1
e −1)
C. (−∞,1
e −1)
D. (−1,+∞)
12. 设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+μ=1，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的
取值范围( )
A. (−2√5
5
,2]
B. (2√5
5
,2]
C. (−4√5
5
,2]
D. (4√5
5
,2]
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 若x 1=π
4，x 2=
3π4
是函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)两个相邻的零点，则ω=______．
14. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，O 是原点，则OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长
为______．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 牛顿迭代法(Newton′smetℎod)又称牛顿−拉夫逊方法(Newton −Rapℎsonmetℎod)，是牛顿在17世纪
提出的一种近似求方程根的方法．如图，设r 是f(x)=0的根，选取x 0作为r 初始近似值，过点(x 0,f(x 0))
作曲线y =f(x)的切线1，1与x 轴的交点的横坐标x 1=x 0−f(x 0
)
f′(x 0
)(f′(x 0)≠0)，称x 1与是r 的一次近
似值、过点(x 1,f(x 1))作曲线y =f(x)的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2=x 1−
f(x 1)f′(x 1)
(f′(x 1)≠0)，称x 2是r 的二次近似值．重复以上过程，得到r 的近似值序列．请你写出r 的n +1次
近似值与r 的n 次近似值的关系式 (1) ，若f(x)=x 2−2，取x 0=1作为r 的初始近似值，试求f(x)=0的一个根√2的三次近似值 (2) (请用分数作答)
四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
a n．
17.已知数列{a n}的前n项和为S n，n∈N∗，且a1=1，a n+1=n+2
2n+2
}是等比数列；
(1)证明：数列{a n
n+1
(2)求数列{a n}的通项公式与前n项和S n．
18.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=45°，AB=2，
BG=√2，BC=1．
(1)求证：AG⊥平面ADF；
(2)求二面角D−CA−G的正切值．
19.在新冠病毒肆虐全球的大灾难面前，中国全民抗疫，众志成城，取得了阶段性胜利，为世界彰显了榜
样力量．为庆祝战疫成功并且尽快恢复经济，某网络平台的商家进行有奖促销活动，顾客购物消费每满600元，可选择直接返回60元现金或参加一次答题返现，答题返现规则如下：电脑从题库中随机选出一题目让顾客限时作答，假设顾客答对的概率都是0.4，若答对题目就可获得120元返现奖励，若答错，则没有返现．假设顾客答题的结果相互独立．
(1)若某顾客购物消费1800元，作为网络平台的商家，通过返现的期望进行判断，是希望顾客直接选择
返回180元现金，还是选择参加3次答题返现？
(2)若某顾客购物消费7200元并且都选择参加答题返现，请计算该顾客答对多少次概率最大，最有可能
返回多少现金？
20. 已知椭圆C ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，左、右顶点分别为M 、N ，点G 是椭圆上异于左、右顶点的动点，直线GM 、GN 的斜率分别为k GM 和k GN ，且k GM ⋅k GN =−1
2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线1：y =k(x −√2)与椭圆相交于A ，B 两点，点P(m,0)，若x 轴是∠APB 的角平分线，求P 点坐标．
21. 设函数f(x)=e x +3x ，g(x)=x 2−7x −e x +tlnx ．
(1)求曲线y =f(x)过原点的切线方程；
(2)设F(x)=f(x)+g(x)，若函数F(x)的导函数F′(x)存在两个不同的零点m ，n(m <n)，求实数t 的范围；
(3)在(2)的条件下证明：F(m)+3n >0． 22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：xy =1
2，曲线C 2：{
x =√6
2−√3cosθ
y =√6
2−√3sinθ
(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程：
(2)曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π
2)，C 3分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，1
|OA|2−|OB|取得最小值．
23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x +2
a |(a >2)．
(1)当a =2时，求不等式f (x)>5的解集；
≥2(√2+1)．(2)证明：f(x)+4
a(a−2)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵全集U=R，集合A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，
集合B={x|y=lg(3−x)}={x|x<3}，
∴A∩B={x|2≤x<3}=[2,3)．
故选：D．
利用函数的值域求出集合A，利用对数函数的定义域求出集合B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、函数的值域、定义域等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】C
【解析】解：∵z=1+i−3i2020=1+i−3i4×505=−2+i，
∴|z|=√(−2)2+12=√5．
则z⋅z−=|z|2=(√5)2=5．
故选：C．
利用虚数单位i的运算性质化简z，再由z⋅z−=|z|2求解．
本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，对于命题p，正六边形内心与各个顶点连线，构成6个等边三角形，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，p是假命题；
命题q：棱柱的所有的侧面都是平行四边形，不一定是长方形或正方形，q是假命题；
故￢p∧￢q为真命题，p∧q、p∧￢q、￢p∧q都是假命题；
故选：D．
根据题意，分析命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析可得答案．
本题考查复合命题的真假判断，注意分析两个命题的真假，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：已知：acosA=bcosB
利用正弦定理：a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R
解得：sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
所以：2A=2B或2A=180°−2B
解得：A=B或A+B=90°
所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形
故选：D．
首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．5.【答案】A
【解析】解：∵(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯…+a8x8，则令x=0，可得a0=1．|a1|+|a2|+|a3|+⋯…+|a8|即(1+2x)8−1展开式的各项系数和，为38−1，
先求得a 0的值，再根据|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯…+|a 8|即(1+2x)8−1展开式的各项系数和，从而得出结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6.【答案】C
【解析】 【分析】
由图象的对称性可排除BD 选项，由x →0时，函数图象中的值大于0排除A ． 本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题． 【解答】
解：由图象观察可知，函数图象关于y 轴对称，而选项BD 为奇函数，其图象关于原点对称，故不合题意； 对选项A 而言，当x →0时，f(x)<0，故排除A ． 故选：C ． 7.【答案】D
【解析】解：因为x ∈(0,2]时，f(x)=x −sinπx ，所以f(1)=1−sinπ=1，f(2)=2−sin2π=2， 因为f(x +2)=−f(x)，所以f(0)=−f(2)=−2，f(−1)=−f(1)=−1， 所以f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=0．
因为f(x +2)=−f(x)，将x 换为x +2，则f(x +4)=−f(x +2)，所以f(x)=f(x +4)，即函数的周期为4，
所以∑f 2020i=1(i)=505×[f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)]=0． 故选：D ．
根据题意，先求出f(1)=1，f(2)=2，再利用f(x +2)=−f(x)，求出f(0)=−2，f(−1)=−1，以及函数的周期为4，从而∑f 2020i=1(i)=505×[f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)]，即可得解． 本题考查函数的周期性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 8.【答案】D
【解析】解：tan2α=2tanα
1−tan α=−3
4，解得tanα=3或tanα=−1
3． 故：
sin2α+cos 2α1+2sin 2α
=
2sinαcosα+cos 2α3sin 2α+cos 2α
=2tanα+1
3tan 2α+1．
当tanα=3时，原式得1
4． 当tanα=−1
3时，原式得1
4．
故选：D ．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.【答案】B
【解析】 【试题解析】
根据条件和面积公式得出a ，c 的关系，从而得出离心率的范围． 本题考查了双曲线的定义及性质，考查计算能力，是中档题． 【解答】
解：设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，则S △IPF 1=1
2⋅|PF 1|⋅r ，S △IPF 2=1
2⋅|PF 2|⋅r ， S △IF 1F 2=1
2⋅|F 1F 2|⋅r ，
∵S △IPF 1−S △IPF 2≤√2
2S △IF 1F 2
成立， ∴|PF 1|−|PF 2|≤
√2
2
|F 1F 2|， 由双曲线的定义可知：|PF 1|−|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴a ≤
√2
2
c ，即c a ≥√2，
∴双曲线的离心率的范围是：[√2,+∞)． 故选B ．
10.【答案】C
【解析】解：设事件A 为：“某人检验呈阳性”，事件B 为：”某人为疾病患者“， 由题意可知P(A)=0.2%，P(B)=0.1%，P(A|B)=99%， ∴P(AB)=P(A|B)⋅P(B)=0.1%×99%， ∴P(B|A)=
P(AB)P(A)
=
0.1%×99%0.2%
=49.5%．
故选：C ．
根据条件概率公式计算某人检验呈阳性且患病的概率，再计算某人检验呈阳性的条件下患病的概率． 本题考查了条件概率的计算，属于基础题． 11.【答案】B
【解析】解：由f(x)=xlnx −1
2(m +1)x 2−x ， 得f′(x)=lnx −(m +1)x ，x >0．
要使f(x)=xlnx −1
2(m +1)x 2−x 有两个极值点， 只需f′(x)=lnx −(m +1)x =0有两个变号根，即m +1=lnx x
有两个变号根．
令g(x)=
lnx x
，(x >0)，则g′(x)=
1−lnx x 2
，
由g′(x)=0得x =e ，易知当x ∈(0,e)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增； 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减． 所以g(x)max =g(e)=1
e ，
而g(1
e )=−e <0，x →+∞lim
lnx x =x →+∞lim
1
x 1
=0，
作出y =g(x)，y =m +1的图象，可知：
0<m +1<1e ，解得−1<m <−1+1
e ．
故选：B ．
只需f′(x)=0在(0,+∞)上有两个变号根即可，通过分离参数，研究函数y =
lnx x
的单调性、极值、端点处函
数值的变化趋势即可求解．
本题考查极值点的个数的判断，一般是转化为导数零点个数的判断问题，然后利用导数的单调性、极值、端点处的函数值的符号求解．属于中档题． 12.【答案】C
【解析】解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOP =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|OP
| =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2λμOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
√4λ2
+μ2
,
λ+μ=1，故μ=1−λ,
设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影=f (λ)， 则f (λ)=√4λ2+(1−λ)2=√5λ2−2λ+1λ∈R. (1)当λ=0时，f (λ)=0.
(2)当λ>0时，f (λ)
=√5−λ+λ2
=√(λ
−1)2+4
,由于λ>0，故(1λ−1)2
+4⩾4,
此时f (λ)∈(0,2].
(3)当λ<0时，f (λ)
=−4
√(1λ
−1)2+4
, 由于λ<0，故(1λ
−1)2
+4>5,
此时f (λ)∈(−
4√55
,0).
综上，f (λ)∈(−
4√5
5
,2]. 故选：C ．
首先判定OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进一步利用数量积和函数求出向量的投影的范围． 本题考查的知识要点：三点共线的应用，向量数量积的应用，函数值域求法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题． 13.【答案】2
【解析】解：因为x 1=π
4，x 2=3π4
是函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)两个相邻的零点，
所以T =
2πω
=2(3π4−π
4)=π，
解得ω=2． 故答案为：2．
由已知可得函数的最小正周期，利用公式T =
2πω
即可求解．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题． 14.【答案】−3
【解析】解：设直线l ：x =my +1(由于有两个交点，直线l 的斜率必存在)， 联立{y 2=4x x =my +1
得：y 2−4my −4=0，
由韦达定理：y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．
所以x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m 2y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=−4m 2+4m 2+1=1． OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ═(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=−4+1=−3． 故答案为：−3．
由题意设l ：x =my +1，代入抛物线y 2=4x ，消去x 得y 2−4my −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2，把根与系数的关系代入即可得出． 本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力． 15.【答案】4√3
【解析】解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，设底面△ABC 外接圆圆心G ，
即GA =GB =GC =4，从而正三角形ABC 边长4√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =4 F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =4√3⋅sin600⋅1
3=2，
∴DE =2√OE 2−OF 2=2√16−4=4√3， ∴AA 1=4√3． 故答案为：4√3．
由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．
本题考查线段长的求法，考查三棱柱及内切球的性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查计算能力，逻辑推理能力．
16.【答案】x n+1=x n −f(x n )
f′(x n )
577
408
【解析】解：由题意可得r 的n +1次近似值与r 的n 次近似值的关系式为x n+1=x n −f(x n
)
f′(x n
)，
f′(x)=2x ，x n+1=x n −f(x n )
f′(x n
)=x n −
x n
2−22x n
=12
x n +
1x n
，
x 0=1时，x 1=12x 0+1x 0
=3
2，
x 2=12x 1+1x 1
=12×32+23=17
12，
x 3=12
x 2+
1x 2
=12
×
1712
+
1217
=
577408
，
故答案为：x n+1=x n −f(x n
)f′(x n
)；577
408，
根据题意利用归纳推理可得r 的n +1次近似值与r 的n 次近似值的关系式，求导得f′(x)=2x ，化简x n+1，取x 0=1时，分别计算x 1，x 2，x 3，即可得出．
本题考查了导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：∵a n+1=n+2
2n+2a n ，
∴
a n+1n+2
=
n+2
2n+2a n
n+2=1
2
×
a n
n+1
，
又∵a
1
1+1
=1
2， ∴数列{a n n+1}是首项、公比均为12的等比数列，且a n
n+1=(1
2)n ； (2)解：由(1)知：a n
n+1
=(1
2)n ， ∴a n =
n+12n
．
又S n =2×1
2+3×1
22+4×1
23+⋯+
n+12n
，
1
2S n
=2×1
22+3×1
23+⋯+n
2n +n+1
2n+1，
两式相减得：1
2S n=1+1
22
+1
23
+⋯+1
2n
−n+1
2n+1
=1+
1
22
[1−(1
2
)n−1]
1−1
2
−n+1
2n+1
=3
2
−n+3
2n+1
，
∴S n=3−n+3
2n
．
【解析】(1)由题设条件推导出数列{a n
n+1
}相邻两项之间的关系式，即可证明结论；
(2)先利用(1)中求得的数列{a n
n+1
}的通项公式求出a n，再利用错位相减求其前n项和即可．
本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，
∵AG⊂平面ABEF，
∴AG⊥AD，
∵∠ABE=45°，AB=2，BG=√2，
∴在△ABG中，由余弦定理可得AG=√22+(√2)2−2×2×√2×√2
2
=√2，
∴AG2+BG2=AB2，
∴△ABG为直角三角形，且AG⊥BG，则AG⊥AF，
∵AD∩AF=A，AD，AF⊂平面ADF，
∴AG⊥平面ADF；
(2)取AB中点H，连接GH，过点H作HM⊥AC交AC于点M，连接GM，如图，
由(1)知△ABG为等腰直角三角形，H为AB中点，
∴GH⊥AB，
∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴GH⊥平面ACD，
又AC⊂平面ACD，
∴GH⊥AC，
又HM⊥AC，GH∩HM=M，GH，HM⊂平面GHM，
∴AC⊥平面GHM，
由三垂线定理及二面角定义可知，∠HMG的补角即为二面角D−CA−G的平面角，
在Rt△HMG中，HG=1,HM
AH =BC
AC
，故HM=
5
1=√5
5
，
∴tan∠HMG=HG
HM
=√5，
∴二面角D−CA−G的正切值为−√5．
【解析】(1)根据面面垂直的性质可知AG⊥AD，根据勾股定理可得AG⊥BG，则AG⊥AF，进而得证；(2)取AB中点H，连接GH，过点H作HM⊥AC交AC于点M，连接GM，易知，∠HMG的补角即为二面角D−CA−G的平面角，转化到△HMG求解即可．
本题考查线面垂直的判定及二面角的定义及求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设X表示顾客参加3次答题中答对的次数，
由于顾客答题的结果相互独立．则X～B(3,0.4)，
所以E(X)=np=3×0.4=1.2，
因为答对题目就可获得120元返现奖励，
所以该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为1.2×120=144，
由于顾客的返现金额的期望144小于180元，所以商家希望顾客参加答题返现；
(2)由已知可得顾客可以参加12次答题，
设答对的题的个数为Y，则Y服从二项分布Y～B(12,0.4)，
P(Y=k)=C12k⋅0.4k(1−0.4)12−k，k=0，1，2，3…，12
假设顾客答对k题的概率最大，
则C12k0.4k(1−0.4)12−k≥C12k−10.4k−1(1−0.4)13−k且C12k0.4k(1−0.4)12−k≥C12k+10.4k+1(1−0.4)11−k，
解得：4.2≤k≤5.2，所以k=5，
所以P(Y=5)最大，
所以该顾客答对5题的概率最大，
最有可能返回5×120=600元现金．
【解析】(1)由题意可得答对题的手机不行服从二项分布，进而可得返回现金的期望，比直接返现要少，可得商家希望顾答题；
(2)假设答对k道题的概率最大，由二项分布的k次答对的概率大于等于k−1次的，且大于等于k+1次的概率，可得答对5次的概率最大，进而答对求出5次的返现金额．
本题考查离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知2a=4，所以a=2，
凤G(x0,y0)，M(−a,0)，N(a,0)，
k GM⋅k GN=y0
x0−a ⋅y0
x0+a
=y02
x02−a2
，
又因为x02
a2+y02
b2
=1，
所以k
GM ⋅k GN=y02
x02−a2
=(1−
x02
a2
)⋅b2
x02−a2
=−b2
a2
=−1
2
，
所以a2=2b2，所以a2=4，b2=2，
故椭圆C的方程为x2
4+y2
2
=1．
(2)l：y=k(x−√2)与椭圆C：x2
4+y2
2
=1联立，得
(1+2k2)x2−4√2k2x+4(k2−1)=0，
所以△>0,x1+x2=4√2k2
2k2+1,x1⋅x2=4(k2−1)
2k2+1
，
因为x轴是∠APB的角平分线，所以有
k PA+k PB=y1
x1−m +y2
x2−m
=y1(x2−m)+y2(x1−m)
(x1−m)(x2−m)
=0，
∴k[(x 1−√2)(x 2−m)+(x 2−√2)(x 1−m)]=0， ∴2x 1x 2−(m +√2)(x 1+x 2)+2√2m =0， ∴
8(k 2−1)−4√2(m+√2)k 2+2√2m(2k 2+1)
2k 2+1
=0，
解得m =2√2，
∴P 点坐标为(2√2,0)．
【解析】(1)利用题中所给的条件，求得a =2，设G(x 0,y 0)，利用斜率坐标公式，结合题中所给的条件，建立等量关系，结合点在隔圆上，整理得出k GM ⋅k GN =−
b 2a 2
=−1
2
，即a 2=2b 2，进而求得椭圆的方程；(2)联
立方程组，消元整理得出(1+2k 2)x 2−4√2k 2x +4(k 2−1)=0，△>0,x 1+x 2=4√2k 2
2k 2+1
，x 1
⋅x 2=
4(k 2−1)2k 2+1
，
根据题意得到k PA +k PB =0，求得m =2√2，从而求得P 点坐标．
该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线关于x 轴对称的条件，属于中档题目．
21.【答案】解：(1)设切点是(x 0,y 0)，
则f′(x)=e x +3x ，f′(x 0)=e x 0+3，y 0=e x 0+3x 0， 故切线的斜率k =e x 0+3，过(x 0,e x 0+3x 0)，
切线方程是：y −(e x 0+3x 0)=(e x 0+3)(x −x 0)，
将(0,0)代入切线方程得：−(e x 0+3x 0)=(e x 0+3)(−x 0)， 整理得：e x 0(x 0−1)=0，解得：x 0=1，故k =e +3， 切线方程是：y =(e +3)x ；
(2)F(x)=f(x)+g(x)=x 2−4x +tlnx ，则x >0， 则F′(x)=2x −4+t
x ，
令F′(x)=0，即2x 2−4x +t =0，
结合题意得：m +n =2，mn =t
2，0<m <1，n >1，则t >0，
而△=16−8t >0，解得：t <2， 故0<t <2；
证明：(3)结合(2)F(m)+3n =m 2−4m +(4m −2m 2)lnm +3(2−m)=m 2−7m +6+(4m −2m 2)lnm ， 令ℎ(x)=x 2−7x +6+(4x −2x 2)lnx ，(0<x <1)， 则ℎ′(x)=−3+(4−4x)lnx <0，
故ℎ(x)在(0,1)递减，ℎ(x)>ℎ(1)=0， 故F (m)+3n >0．
【解析】(1)设出切点坐标，表示出切线方程，代入(0,0)，求出切点坐标，切线斜率，从而求出切线方程即可；
(2)求出F(x)的解析式，令F′(x)=0，结合二次方程的性质求出t 的范围即可； (3)求出F(m)+3n =m 2−7m +6+(4m −2m 2)lnm ，令ℎ(x)=x 2−7x +6+(4x −2x 2)lnx ，(0<x <1)，结合函数的单调性证明即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，不等式的证明以及转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：(1)曲线C 1：xy =1
2根据{
x =ρcosθy =ρsinθ
转换为极坐标方程为ρ2sin2θ=1．
曲线C 2：{
x =√6
2
−√3cosθy =√62−√3sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −√62)2+(y −√62)2=3，整理得x 2+y 2−√6x −√6y =0．
根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ=√6cosθ+√6sinθ．
(2)曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π
2)，与C 3交C 1于A 点， 所以{
ρ2sin2θ=1θ=α
，整理得1
ρ1
2=sin2α，
曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π
2)，与C 3交C 2于B 点， 所以{ρ=√6cosθ+√6sinθ
θ=α
，整理得ρ2=√6cosα+√6sinα，
所以，1
|OA|2−|OB|=sin2α−√6cosα−√6sinα． 设sinα+cosα=t =√2sin(α+π
4)， 由于0<α<π
2，所以π
4<α+π
4<3π4，
所以t ∈(1,√2]
所以sin2α=t 2−1，
所以sin2α−√6cosα−√6sinα=t 2−1−√6t =(t −√6
2
)2−3
2
−1=(t −√6
2
)2−5
2
，
当t =√2时，1|OA|2−|OB|的最小值为11
2−2√3．
【解析】(1)直接利用转换关系，把曲线的直角坐标方程转换为极坐标方程，进一步把圆的参数坐标方程转换为极坐标方程．
(2)利用(1)的结论，进一步利用换元法和三角函数关系式的变换和二次函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，换元法，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x −a|+|x +2
a |=|x −2|+|x +1|={−2x +1,x ≤−1
3,−1<x <22x −1,x ≥2
．
∴不等式f(x)>5等价于{x ≤−1−2x +1>5或{−1<x <23>5或{x ≥2
2x −1>5．
解得x <−2或x >3．
∴不等式f (x)>5的解集为{x|x <−2或x >3}；
(2)f(x)=|x −a|+|x +2
a |=|x −a|+|−x −2
a |≥|(x −a)+(−x −2
a )|=|a +2
a |=a +2
a ． 当且仅当(x −a)(x +2
a )≤0，即x ∈[−2
a ,a]时等号成立． ∵a >2，∴a −2>0，
∴f(x)+
4
a(a−2)
≥a+
2
a
+
4
a(a−2)
=a+
2
a
+
2
a−2
−
2
a
=a+2
a−2=(a−2)+2
a−2
+2≥2√(a−2)⋅2
a−2
+2=2√2+2．
当且仅当a−2=2
a−2
，即a=2+√2且x∈[√2−2,√2+2]时等号成立．
【解析】(1)把a=2代入函数解析式，分段去绝对值，转化为不等式组求解，取并集得答案；
(2)由绝对值不等式的性质求得f(x)的最小值，代入后再由基本不等式证明．
本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能力，是中档题．。