江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试数学试题

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结束
输出S
Y
N
n < a （第6题）
2018届高三阶段检测（四）
数学试卷
一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）
1. ?函数()
π()sin 24f x x =-的最小正周期为 ▲ ．
2. ?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表
示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这
7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. ?已知复数1252i 69i z z =+=-，（i 是虚数单位），12i z z z =⋅+，则
复数z 的摸为 ▲ ．
4. ? 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中
各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．
5. 已知曲线4(0)y x x
=<的一条切线斜率为4-，则切点的横坐标
为 ▲ ． 6． 如图是计算10
1
121k k =-∑
的值的一个流程图，则常数a 的取
值范围是 ▲ ．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，?设点的集合
{}
222()(1)(1)A x y x y a =-+-=，，
3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪
=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪
-+⎩⎩⎭
≤，
≤，≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220ln ln ln a a a +++L 的值为 ▲ ．
9. ? 设π02
βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，
，则tan β的值为 ▲ ． 10. ?在平面直角坐标系xOy 中，若点(m ，n )在圆2
2
4x y +=外，则直线4mx ny +=与椭圆22154
y x +=
的公共点的个数为 ▲ ．
6 7 8 5 5 6 3 4 0 1
（第2题）
A Q
P
C
N
B
M D
（第16题）
11．在等腰梯形ABCD 中，已知
AB 2AB =1BC =60ABC ∠=︒23BE BC =u u u r u u u r 16
DF DC =u u u r u u u r AE AF ⋅u u u r u u u r
0021
m n m n >>+=，，224m n mn ++?设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，
时，2()1f x x =-；已知
函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，
，
． 则函数()()y f x g x =-在区间[]510-，
内零点的个数为 ▲ ． 14. ?设函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，都有()f x '≤()f x 成立．若对满足题设条件的
任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，则实数M 的最小值为 ▲ ．
二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c
+=．
（1）证明：sin sin sin A B C =；
（2）若22265
b c a bc +-=，求tan B 的值．
16．如图，一个平面与四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点M ，N ，P ，Q ，
且截面四边形MNPQ 是正方形．
（1）求证：AC AC BD ⊥12
l l ，3
π
3km 规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12 l l ，分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12 l l ，上．
（1）设km km OA a OB b ==，，，试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，
求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；
（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB
的长度最短．
18.???在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，椭圆T 上的
点到右焦点的距离的最小值为23-． （1）求椭圆T 的方程；
（2）设点A ，B 分别是椭圆T 的左右顶点，点Q 是x 轴上且在椭圆T 外的一点，过Q 作直线
?交椭圆T 于C ，D 两点（异于A ，B ），设直线AC 与BD 相交于点P ，记直线PA ，PB ， ?PQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 3是k 1，k 2的等差中项．
O
x
y Q
B
A
C
D
P
（第18题）
19．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足
()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令
()
19()ln (0)28
f x
g x m x m x =+++∈>R ，．
（1）求 g (x )的表达式；
（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；
（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.
H x H x -<
20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij ．
1 4 7 10 13 … 4 8 1
2 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 1
3 20 27 3
4 41 …
… … … …
（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i ，j ，ij A C +总是合数；
（2）设?S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，
使得1k m b b b ，，成等比数列；
（3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r?(1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若
存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
数学附加题
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．
域内．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵1
1A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦.求A 的特征值和特征向量.
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π
4
θ=（ρ∈R ），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.
22. 在1 2 3 9L ，，，，这9个自然数中，任取3个不同的数． （1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率； （2）求这3个数的和为18的概率；
（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1 2 3，，，则有两组相邻的数1 2，和2 3，，
此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ．
23．设数列{}n a 是等比数列，31123
2
C
A
m
m m a +-=⋅，公比q 是()
4
2
1
4x x
+的展开式中的第二项（按x 的降幂
排列）．
（1）用n ，x 表示数列的通项n a 及前n 项和n S ；
（2）若1212C C C n n n n n n A S S S =+++L ，用n ，x 表示n A ．。