2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习理

【2019最新】精选高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线
的基本问题练习理
一、选择题
1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是
圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5－4
B.5－4
C.5－3
D.5－3
解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min＝5－4.
答案B
2.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A.m＞n且e1e2＞1
B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1
D.m＜n且e1e2＜1
解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
答案A
3.(2013·全国Ⅰ卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x2－a2x ＋a2－a2b2＝0，所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b ＝c ＝3，选D.
答案 D
4.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )
A.
B. C. D.1
解析 如图，由题可知F ，设P 点坐标为,2p)，y0))，显然，当y0<0
时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM 最大值，不妨设y0>0.则＝
＋＝＋＝＋(－)＝＋＝,6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，kOM ＝,6p)＋
\f(p,3))＝≤＝，当且仅当y ＝2p2等号成立.故选C.
答案 C
5.(2015·福建)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
A.
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34
C.
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1
解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a ＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e ＝＝＝＝∈，故选A.
答案 A
二、填空题
6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0与圆x2＋y2＝12交于A ，B 两点，
过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m ＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.
答案4
7.(2016·江西七校第二次联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________.
解析如图，∵＝(＋)，∴E为FP的中点，
又O为FF′的中点，∴OE为△PFF′的中位线，
∴OE∥PF′，|OE|＝|PF′|，
∵OE＝a，∴|PF′|＝a，
∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，
∵|FF′|＝2c，|PF|－|PF′|＝2a，
∴|PF|＝2a＋a＝3a，∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2，
∴10a2＝4c2，∴e＝＝.
答案10
2
8.(2016·深圳第二次调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________.解析由题意知直线AB的方程为y＝x－，
垂直线平分线方程为y＝－x＋2，
联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，
即AB的中点坐标为，
设A,2p)，y1))，B,2p)，y2))，则,2p)－\f(y,2p))＝，
∴1－＝p，∴p＝.
答案4
5
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得<k<.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
→·＝x1x2＋y1y2
OM
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
10.(2014·全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M
是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x1）＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c.y1＝－1. 代入C 的方程，得＋＝1.②
将①及c ＝代入②得＋＝1.
解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 .
11.已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝的一条直径，若椭圆E
经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.
解 (1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，
则原点O 到该直线的距离d ＝＝，
由d ＝c ，得a ＝2b ＝2，解得离心率＝.
(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝.
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k ＝，
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E 的方程为＋＝1.
法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝，
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝ |x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.。