《数学分析论》习题解答

《数学分析选论》习题解答
第 四 章 积 分 学
１．设∈f R ],[b a ，f g 与仅在有限个点取值不同．试用可积定义证明
∈g R ],[b a ，且
=
⎰b
a
x x g d )(⎰b
a
x x f d )(．
证 显然，只要对g 与f 只有一点处取值不同的情形作出证明即可．为叙述方便起见，不妨设)()(b f b g ≠，而当),[b a x ∈时)()(x f x g =．
因∈f R ],[b a ，故11||||,0,0δ<>δ∃>ε∀T 当时，对一切{}n
i 1ξ，恒有
,2)(1
ε
<
-∆ξ∑
=n
i i i J x f 其中 x x f J b a
⎰=d )(． 令⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-ε
δ=δ|)()(|2,
m in 1b f b g ，则当δ<||||T 时，有
,2
)()()()()()(1
1
11
ε+
∆ξ-ξ<
-∆ξ+
∆ξ-∆ξ≤-∆ξ∑
∑∑
∑====n n n n
i i i n i n
i i i i i n
i i i x f g J
x f x f x g J
x g
而上式最末第二项又为
⎪⎩⎪
⎨⎧=ξε
<-≤≠ξ=∆ξ-ξ..b T b f b g b x f g n n n n n ,2
||||)()(,,
0)()(
所以，无论b n =ξ或b n ≠ξ，只要δ<||||T ，便有
ε=ε
+ε<
-∆ξ∑=2
2)(1
n
i i i J x g ． 这就证得∈g R ],[b a ，且x x f J x x g b
a
b a
⎰⎰
=
=d d )()(． □
２．通过化为定积分求下列极限： （１）∑-=∞
→+1
2
2
2lim
n k n k
n n ； （２）n
n n n n n
)12()1(1
lim
-+∞
→Λ．
解 （１）由于
∑
∑
-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=
1
210
2
21122n k n k n n n k k n n I .， 因此
2
arctan 212lim 0
110
2
π=
=+=⎰
∞
→x
x x I n n d ． （２）记n
n
n n n n n n n n
J ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
-+=
11111)12()1(1
ΛΛ.，
∑-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=
=1
11
n k n n n k n
J I n l n l ． 则有
122)
()lim 1
22
1
1
-=-==+=⎰⎰∞
→n l n l d n l d 1n(l x x x x x x x I n n ，
e
e e
4
lim 12ln 2lim =
==-∞
→∞
→n
n I n n J ． □ ３．证明：若∈f R ],[b a ，则],[],[b a ⊂βα∀，∈f R ],[βα． 证 由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使
ε<∆ω∑)
(T i
i x ．
T 中添加βα,两点作为新的分点后，
得到新的分割],[b a T '，并记T '落在],[βα上的部分为T ''],[βα．则对上述],[,0βα''∃>εT ，使得
ε<∆ω≤
∆ω≤
∆ω∑∑∑''
''''
''')
()
()
(T i
i T i i T i i x x x ，
所以证得∈f R ],[βα． □ *
４．用可积第二充要条件重新证明第１题中的∈g R ],[b a ．
证 设g 与f 仅有一点处的值不同，记此点为],[b a ∈τ． 由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使得
2
)
(ε
<
∆ω∑T i i f
x ． 若τ落在T 的第k 个小区间中，则有
k k g
k k g
T i k
i i
f
T i i g x x x x ∆ω+ε<
∆ω+∆ω=∆ω∑∑≠2
)()
(． 由于∈f R ],[b a ，因此f 在],[b a 上有界，而g 与f 仅有)()(τ≠τf g ，故g 在
],[b a 上亦有界，设∈≤x M x g ,|)(|],[b a ．于是，只要M
T 4||||ε
<
，便能使 2
||||2ε
<
≤∆ωT M x k k g
．这样就可证得 ε=ε+ε<
∆ω∑2
2)
(T i i
g
x ， 即∈g R ],[βα．（ 注：如果原来的分割T 尚不能满足M
T 4||||ε
<
的要求，那么只需将此分割足够加细，直到能满足如上要求 ．） □
５．设f 在],[b a 上有界，{}],[b a a n ⊂，且有c a n n =∞
→lim ．证明：若f 在]
,[b a 上只有),2,1(Λ=n a n 为其间断点，则∈f R ],[b a ．
证 设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．为叙述方便起见，不妨设a c =．于是，0>ε∀，
0>∃N ，当M
a a a N n n 4,ε
+
<≤>时． 由于f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ε
+
b M a ,4上至多只有N 个间断点，因此可积．故对上述0>ε，存在1T ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ε
+b M a ,4，使得
2
)
(1ε
<
∆ω∑T i i x ． 而f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+
M a a 4,上的振幅M 20≤ω，所以把1T 与⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ε+M a a 4,合并成
],[b a T 后，必使
ε=ε+ε<∆ω+ε
ω≤∆ω∑∑224)
(0)
(1T i i T i i x M x .
．
故证得∈f R ],[b a ． □
*
６．设∈g f ,R ],[b a ．证明：],[b a T ∀，若在T 所属的每个小区间i ∆上任取
两点),,2,1(,n i i i Λ=ηξ，则有
=
∆ηξ∑
=→n
i i i i T x g f 1
0||||)()(lim
x x g x f b
a
⎰d )()(．
证 由条件易知∈)(g f .R ],[b a ，记x x g x f I b
a
⎰=d )()(．
故0,01>δ∃>ε∀， 当1||||δ<T 时，对一切{}n
i 1ξ，有
2
)()(1
ε
<
-∆ξξ∑
=n
i i i i I x g f ． 因∈f R ],[b a ，故f 有界，设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．又由∈g R ],[b a ，
22||||,0δ<>δ∃T 当时，有
M
x T i i
g
2)
(ε
<
∆ω∑． 记{}21,m in δδ=δ，则当δ<||||T 时，有
..
.22|)()(||)(|)()()()()
()
()
()
(ε
=ε<∆ω≤∆ξ-ηξ≤∆ξξ-∆ηξ∑∑∑∑M
M x M x g g f x g f x g f T i i g
T i
i i i T i i i T i i i
所以证得δ<||||T 时满足
.ε=ε
+ε<
-∆ξξ+
∆ξξ-∆ηξ≤
-∆ηξ∑
∑∑∑
==2
2)()()()()()()()(1
)
()(1
n
i i i i T i
i i T i i i n
i i i i I x g f x g f x g f I x g f
此即
=
=∆ηξ∑
=→I x g f n
i i i i T 1
0||||)()(lim
x x g x f b
a
⎰d )()( 成立． □
７．证明：若∈f R ],[b a ，且0)(≥x f ，则必有∈f R ],[b a ．
证 根据复合可积性命题（教材p.99例５）,外函数
u 在),0[∞+上连续，内函数
)(x f u =在],[b a 上可积，则复合函数)(x f 在],[b a 上可积． □
８．设∈f R ],[b a ．证明：若任给∈g R ],[b a ，总有0)()(=⎰x x g x f b a
d ，则f
在其连续点处的值恒为零．
证 由g 的任意性，特别当取f g =时，同样有
0)()()(2==⎰⎰x x f x x g x f b
a
b
a
d d ．
把教材 p.103 例１（３）中的)(x f 换成)(2x f ，则得)(2
x f 在其连续点处恒为零，亦即
)(x f 在其连续点处恒为零． □
*
９．证明：若f 在],[b a 上连续，且
0)()(==
⎰⎰x x f x x x f b
a
b
a
d d ，
则至少存在两点),(,21b a x x ∈，使得0)()(21==x f x f ．
证 若在),(b a 内0)(≠x f ，则由f 连续，恒使0)(0)(<>x f x f 或．于是又使
)0(0)(<>⎰或x x f b
a
d ，这与
)(=⎰x x f b
a d 相矛盾．所以),(1
b a x ∈∃，使得
0)(1=x f ．
倘若f 在),(b a 内只有一个零点1x ，不妨设
⎩⎨
⎧∈<∈>.
),(,
0,),(,0)(11a x x x a x x f
（ 若除1x 外)(x f 恒正或恒负，则将导致与上面相同的矛盾．）现令
],[,
)()()(1b a x x f x x x g ∈-=．
易知)(x g 在),(b a 内除1x 外处处为负，从而
>
00)()()(1=-=
⎰⎰⎰x x f x x x f x x x g b
a
b
a
b
a
d d d ，
又得矛盾．所以f 在),(b a 内除1x 外至少另有一个零点2x ． □
１０．证明以下不等式：
（１）π+π<⎰
π22sin 0
x x x d ； （２）144
sin 20320π<-π<⎰π
x x x d ； （３）6ln 3<<
⎰e
4e
d e x x
x ．
证 （１）设
⎪⎩⎪
⎨⎧π∈==,
],0(,sin ,0,
1)(x x
x
x x f
它在],0[π上连续．由于],0(π∈x 时
⎪⎭⎫
⎝⎛=-=
'22)()sin cos (1
)(x x g x x x x x f ， x x x x g sin cos )(-=在],0[π上连续，且
0sin )sin cos ()(<-='-='x x x x x x g ，
因此)(0)(,0)0()(x f x f g x g ⇒<'=< 递减．于是
.
π+π≤ξ
+π=
ξ
+
<⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ππ
∈ξ∃+=⎰⎰
⎰⎰
⎰π
ππππππ
2212sin 1,
2sin sin sin 2
20
2
20
x x x x x
x x x x
x x
x
d d d d d
（２）由（１）已知
2
sin 20
π
<⎰
πx x x d ，于是 0sin 220
>-π⎰π
x x x
d ； 再由⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π∈-
≥2,0,!31sin 3x x x x ，又可推得 144261sin 320
220
π-π=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛->⎰
⎰
ππ
x x x x
x
d d ． （３）设]4
e ,e [,ln )(∈=
x x
x
x f ．由于
)4e ,e e 2(02ln 2)(∈=⇒=-=
'x x
x x x f ，
且
e
1e)e
e ]
4e ,e 2]
4e ,e =
==
=∈∈()(min ,2)()(max [[f x f f x f x x ，
因此有
62
ln 13=<<
=⎰
⎰⎰
e
4e
e
4e
e
4e
d e
d d e
e x x x
x x ． □ １１．设f 在]1,0[上连续可微，1)0()1(=-f f ．证明：1)(1
02
≥'
⎰x x f d ．
证 应用施瓦茨不等式，容易证得
[]1)0()1()()(22
101
2
=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰f f x x f x x f d d ． □ １２． 设f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ．证明：
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-≤-⎰⎰x x f a
b x x f a
b b
a
b
a
d d )(1
ln )(ln 1
．
证 应用复合平均不等式（ 参见教材 p .105 例3及其注（ⅱ），（ⅳ）），注意到这里的外函数u ln 是个可微的凹函数（01)ln (2
<-=
''u
u ），立即可得本题结论． □
１３．借助定积分证明： （１）n n
n ln 11
211)1ln(+<+++<+Λ； （２）11211ln 1lim
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++∞
→n n n Λ． 证 （１）利用
x
1
的递减性，有 k
k k
k
x x
x
k x k k k
k k
k k ln )1ln(|
|111
1
111-+=
<<
+=+⎰
⎰⎰+++.d d d
依此对),(1,,2,1n n k -=Λ所得)(1n n -个不等式进行相加，即得本题所要证明的不等式．
（２）由以上不等式（１），当∞→n 时，有
11ln 1
ln ln 11211ln 1ln )1ln(1→+=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<+←
n
n n n n n n Λ，
于是结论11211ln 1lim
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++∞
→n n
n Λ 成立．
□ １４．设f 在],[b a 上有0)(≥''x f ．证明：
2
)
()()(12b f a f x x f a b b a f b
a
+≤
-≤
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎰d ． （Ｆ）
证 因0)(≥''x f ，故f 为一凸函数．取切点为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2b
a f
b a 则必有 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f ．
对上式两边各取],[b a 上的定积分，利用积分不等式性质即得
.
0)(222)(2)(+-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎰⎰a b b a f x
b a x b a f a b b a f x x f b a b
a
d d
这时证得（Ｆ）的左部不等式成立．
再由凸函数的一般充要条件，有
.;
;
)(2
)
()()()
()())(()(],[,)()
()()()(],(,
)
()()()(a b b f a f x
a x a
b a f b f a b a f x x f b a x a x a
b a f b f a f x f b a x a
b a f b f a x a f x f b
a b
a
-+=
---+
-≤⇒
∈---+≤⇒∈--≤--⎰⎰d d
这时证得（Ｆ）的右部不等式也成立．
后者还可由凸函数的性质与分部积分而得：
;
;
;x x f a b b f a b a f x
a x x f a
b a f x x f b a x a x x f a f x f b a x x a x f x f a f b a
b a
b
a
⎰
⎰
⎰--+-=-'+-≤⇒
∈-'+≤⇒∈-'+≥d d d )())(())(()()())(()(],[,))(()()(],[,))(()()(
这就得到
)]()()([)(2a b b f a f x x f b a
-+≤⎰
d ． □
１５． 应用施瓦茨不等式证明: （１）若∈f R ],[b a ，则
x x f a b x x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d d )()()(22
；
（２）若∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，则
2)()
(1
)(a b x x f x x f b a
b
a
-≥⎰
⎰d d ； （３）若∈g f ,R ],[b a ，则
[]x x g x x f x x g x f b a b a b
a ⎰⎰⎰+≤+d d d )()()()(222
； （４）若f 在],[b a 上非负、连续，且1)(=⎰
x x f b a
d ，则
1sin )(cos )(2
2
≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰x kx x f x kx x f b a b a d d ． 证 （１）x x f a b x x f x
x x f b a
b
a
b
a
b
a ⎰
⎰⎰⎰-=≤
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d d d d )()()(1)(2222
．
（２）条件∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，保证了
∈f
1
R ],[b a ，于是有 (
)..
22
2
2
)()(1
)()(1)
()(1
)(a b x x f x f x x f x x f x x f x
x f b a b
a
b a
b
a
b
a
-=⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡≥⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d
（３）
[].
.2
2
2
2222222
)()()()(2
)()()()(2)()()()(⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=++≤
++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x g x x f x
x g x x f x x g x x f x
x g x f x x g x x f x x g x f b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b a
b a b a b
a d d d d d d d d d d （４）由于
,
cos )()(cos )()
(cos )(22
2
x kx x f x x f x kx x f x f x kx x f b a
b
a
b
a
b a ⎰
⎰⎰⎰≤
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d d d d .
和
1)(=⎰x x f b
a
d ，便得
x kx x f x kx x f b
a
b a ⎰⎰≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d d 22
cos )(cos )(，
同理又有
x kx x f x kx x f b
a
b a ⎰⎰≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d d 22
sin )(sin )(，
因此两式相加后得到
1)(sin )(cos )(2
2=≤
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰x x f x kx x f x kx x f b
a
b a b a d d d ． □
１６．用积分中值定理证明：若f 为]1,0[上的递减函数，则)1,0(∈∀a ，恒有
x x f x x f a a
⎰⎰≤0
10
)()(d d ； （Ｆ１）
并说明其几何意义．
证 把欲证的不等式（Ｆ１）改写为
)
2()(1)(11)()()()(0
1
10
10
F .x x f a
x x f a
x
x f x x f a x x f a x x f a a
a
a
a
a ⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
≤
-⇔
≤+=d d d d d d
由积分中值定理，))0()((11f a f ≤μ≤μ∃，使
110
1)(1μ=μ=
⎰a a
x x f a
a
.
d ； 又))()1((22a f f ≤μ≤μ∃，使
221
)1(11)(11μ=-μ-=
-⎰a a
x x f a
a
.
d ．
由于12)(μ≤≤μa f ，因此（Ｆ２）成立，（Ｆ１）亦随之成立．
此结论的几何意义是：如图所示，当f 为
]1,0[上的递减函数时，（Ｆ２）表示)(x f 在
区间],0[a 上的平均值)(1μ必定大于或等于它 在]1,[a 上的平均值)(2μ；而（Ｆ１）又表示
上述1μ亦必大于或等于)(x f 在整个区间]1,0[上的平均值 (x x f ⎰
=μ10
)(d )． □
*
１７．设f 在]1,0[上为严格递减函数．证明（并说明其几何意义）：
（１）)1,0(∈ξ∃，使
)1()1()0()(1
f f x x f ξ-+ξ=⎰d ；
（２）)1,0(,)0(∈η∃>∀f c ，使
)1()1()(1
f c x x f η-+η=⎰d ．
证（１）直接利用积分第二中值定理，当f 为单调函数时，)1,0(∈ξ∃，使
)1()1()0()1()0()(1
1
f f x f x f x x f ξ-+ξ=+=⎰⎰⎰ξ
ξ
d d d ．
（２）设
⎩⎨
⎧∈==.
]1,0(,
)(,0,
)(x x f x c x g
g 在]1,0[上亦为严格递减函数，类似于题（１）
，)1,0(∈η∃，使 .
)1()1()1()1()0()1()0()()(1
1
1
f c
g g x
g x g x x g x x f η-+η=η-+η=+==⎰⎰
⎰⎰η
ηd d d d
本题结论的几何意义如以上二图所示：表现为每图中两个阴影部分的面积相等． □
*
１８．设f 在],[ππ-上为递减函数．证明：
（１）02sin )(≥⎰π
π-x
nx x f d ；
（２）
0)12sin()(≤+⎰π
π-x
x n x f d ．
x 1 O
y
)0(f c η )2(
O y )0(f x 1 ξ )1( )1(f
)1(f
证 令)()()(π-=f x f x g ，则g 在],[ππ-上为非负、递减函数．利用积分第二中值定理，∈ξ∃],[ππ-，使
.
0)2cos 1(2)
(02sin )(2sin )(2sin )(2sin )(≥ξ-π-=+π-=π+=⎰⎰⎰
⎰ξ
π
-π
π
-π
π
-π
π
-n n g x nx g x
nx f x nx x g x nx x f d d d d
又∈η∃],[ππ-，使
.
0])12cos(1[12)
(0)12sin()()12sin()()12sin()()12sin()(≤η+--+π-=++π-=+π++=+⎰⎰⎰
⎰η
π
-π
π
-π
π
-π
π
-n n g x nx g x
x n f x x n x g x x n x f d d d d
□
１９．设f 在],[ππ-上为可微的凸函数，且有界．证明：
0)12cos()(≤+⎰π
π-x
x n x f d ．
证 利用分部积分法得到
x x n x f n x x n x f ⎰⎰π
π-π
π
-+'+-=
+d d )12sin()(1
21
)12cos()(．
由于f 为凸函数，因此f '为递增函数．用f '代替上题（２）中的f ，即证得结论成立． （注意上题中的f 为递减函数，当改为递增函数时，不等号反向．） □
*
２０．设f 是]1,0[上的连续函数，且满足
)1,,1,0(0)(,
1)(1010
-===⎰⎰n k x x f x
x x f x k
n
Λd d ．
证明：)1(2|)(|max 1
0+≥≤≤n x f n
x ．
证 由于
)1(2121212
112
1210
1
+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰⎰
⎰n x x x x x x n
n n
n
d d d ， 因此由条件可得
,
)10()
1(21
)(2
1
)()(21
)(21110
1010
≤ξ≤+ξ=-
ξ=-
≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
⎰
⎰⎰n f x x f x x f x x x f x n
n
n
n .
..d d d
)1(2|)(|+≥ξ⇒n f n ，
)1(2|)(||)(|max 1
0+≥ξ≥⇒
≤≤n f x f n x ． □
２１．设f 在],[b a 上有连续的二阶导函数，0)()(==b f a f ．证明：
（１）若
4
1)()(,1)(2222≥
'=⎰⎰⎰x x f x x x f x x f b
a
b
a
b
a
d d d .则
； （２）
x x f b x a x x x f b
a b
a ⎰⎰''--=
d d )()()(21
)(；
*
（３）
)(max )(121
)(]
,[3x f a b x x f b a x b
a
''-≤
∈⎰.d ． 证 （１）利用施瓦茨不等式和分部积分可得
()
.
.4
1
)()(41)(21)()()()(2
222
22
2
2
2
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-=
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰⎰⎰⎰x x f x f x x f x x x f x f x x x f x x x f b
a b a
b a b
a
b a b
a
d d d d d
（２）多次应用分部积分及已知条件可得
[]
[],
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()(x x f x x f b x a x x
x f b x x x f b x a x x x f a x x f b x b x x f a x x
x f a x x f a x a x x f x x f b
a
b a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b a
b
a b
a
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-''--='-+''--=''-+'-=-'--='---=-=d d d d d d d d d
移项后便有
x x f b x a x x x f b
a b
a
⎰⎰''--=
d d )()()(2
1
)(．
（３）设M x f b a x =''∈)(max
]
,[．利用（２）可得
.
3
)
(12)()(2
)()
()(2
1
)())((2
1
)(a b M
x x b a x M x
x f x b a x x x f b x a x x x f b
a b
a b
a
b
a
-=--≤''--≤
''--=
⎰⎰⎰⎰d d d d
□
*
２２．设f 在),(B A 上连续，⊂],[b a ),(B A ．证明：
)()()
()(lim
a f
b f x h
x f h x f b
a
h -=-+⎰→d ．
证 设t t f x F x
a
⎰=
d )()(．由于
)()()(,
0)(a F b F x x f a F b
a
-==⎰d ，
,
)()()()()()(h a F h b F t
t f t t f t t f x h x f h a a
h
b a
h b h
a b
a
+-+=-=
=+⎰
⎰⎰
⎰++++d d d d
因此有
[])()()()(1
lim )()(lim
00
a F
b F h a F h b F h x h
x f h x f h b
a
h +-+-+=-+→→⎰d ．
再由f 连续，从而F 可导，便可证得
.
)()()()()()(lim
)()(lim )()(lim
000
a f
b f a F b F h
a F h a F h
b F h b F x h x f h x f h h b
a
h -='-'=-+--+=-+→→→⎰d
□ ２３．设f 在],[b a 上连续、递增．证明：
x x f b a x x f x b
a
b
a
⎰⎰+≥
d d )(2
)(．
证 作辅助函数
x x f t a x x f x t F t
a
t
a
⎰⎰+-
=d d )(2
)()(．
由于0)(=a F ，因此若能证明)(t F 递增，则0)()(=≥a F b F 即为需证之不等式．为此证明0)(≥'t F 如下：
.
0)(2
)(2)()
(2)(21)()(2)(21)()(=+---=+--≥+--
='⎰⎰t f t
a t f a t t f t t f t
a x t f t f t t f t
a x x f t f t t F t a t a d d □
２４．设f 在),0[∞+上为递增函数．证明：t t f x
x F x
⎰=0)(1)(d 在),
0(∞+上
亦为递增函数．
证 x x x x ''<'∞+∈'''∀,),0(,，考察
,
0)()()(11)(1)(11)(1)(1)()(1)(1)(1)()(000
00
0=''''-''-''''-''='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-'''≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''-'-''=
'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''='-''=
'-''⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'
'''
''''
''''''
''x f x
x x x f x x x t x f x x t x f x t t f x x t t f x t
t f x t t f t t f x t t f x t t f x x F x F x x x x x x x x x x x x d d d d d d d d d
故)(x F 在),0(∞+上为递增函数． □
*
２５．设f 在],[b a 上为递增函数．证明：),(b a c ∈∀，t t f x g x
c
⎰=d )()(在
],[b a 上为凸函数．
分析 如果f 在],[b a 上更为连续函数，则由)()(x f x g ='为递增函数，立即推知g 为凸函数．但因本题条件只假设f 为递增函数，不能保证g 的可导性，所以只能用凸函数的定义或凸函数的基本充要条件来证明本题结论．
证 321321,],[,,x x x b a x x x <<∈∀，由条件)()()(321x f x f x f ≤≤．考察
)())((1
)(1
)()(21221
21212122
1
x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≤
-=
--⎰d ，
)())((1
)(1
)()(22322
32
323233
2
x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≥
-=
--⎰d ，
2
32321212)()()()
()(x x x g x g x f x x x g x g --≤≤--⇒
．
所以满足g 为凸函数的充要条件． □
２６．设f 在),(∞+∞-上为连续函数．证明：f 是周期函数（周期为π2）的充要
条件为积分⎰
π+20
)(x y x f d 与y 无关．
．
证 令u y x =+，得
⎰⎰
⎰
⎰
-==+=+π+ππy
y y y
u f u f u f x y x f y F 0
20
220
)()()()()(du du du d ，
)()2()(y f y f y F -+π='⇒．
)(y F 与y 无关，即C y F ≡)(，当F 可导时其充要条件为0)(≡'y F ，亦即
)()2(y f y f =+π，
故f 是以π2为周期的周期函数． □
２７．证明：若f 在),[∞+a 上可导，且x x f a
⎰∞
+d )(与
x x f a
⎰∞
+'d )(都收敛，则
必有0)(lim
=∞
+→x f x ．
证 因
x x f a
⎰∞
+'d )(收敛，故极限
)()(lim )(lim
a f u f x x f u u
a
u -='∞
+→∞+→⎰
d
存在．再由
x x f a
⎰∞
+d )(收敛，根据 p.119 例１（５），知道0)(lim =∞
+→x f x ． □
２８．证明：设x x f a
⎰∞
+d )(为条件收敛．证明：
（１）
[
][
]x x f x f x x f x f a a ⎰⎰∞
+∞
+-+d d )()()()(与
都发散；
（２）[
][
]1)()()()(lim
=-+⎰⎰∞
+→u
u f u f u u f u f x
a x
a x d d ．
证 （１）倘若
[]x x f x f a ⎰∞
+±d )()(收敛，则 [
]{}x x f x x f x f x f a
a ⎰
⎰∞+∞
+=+d d )()()()(μ
也收敛，这与
x x f a
⎰∞
+d )(为条件收敛的假设相矛盾．
（２）由于
[][
][
]u
u f u f u
u f u
u f u f u u f u f x
a x
a
x a x
a ⎰⎰⎰⎰-+
=-+d d d d )()()(21)()()()(， （Ｆ）
而由（１）知[]∞+=-⎰∞+→u u f u f x
a
x d )()(lim
，又由条件知A u u f x
a
x =⎰
∞+→d )(lim
，
因此当∞+→x 时，式（Ｆ）右边第二项的极限等于０，故左边的极限等于１． □
２9．设h g f ,,在任何有限区间⊂],[b a ),[∞+a 上都可积，且满足
)()()(x h x g x f ≤≤．
证明：
（１）若
x x f a
⎰∞
+d )(与x x h a
⎰∞
+d )(都收敛，则x x g a
⎰∞
+d )(也收敛；
（２）又若
=
⎰∞
+x x f a
d )(J x x h a
=⎰∞
+d )(，则
J x x g a
=⎰∞
+d )(．
证 （１）由条件知)()()()(0x f x h x f x g -≤-≤，并[]x x f x h a ⎰∞
+-d )()(收敛，
故由比较法则推知
[]x
x f x g a
⎰∞
+-d )()(收敛．再由
x x f a
⎰∞
+d )(收敛，证得
x x g a
⎰∞
+d )([]{}x x f x f x g a ⎰∞
++
-=
d )()()(也收敛．
（２）又因
x
x h x x g x x f u
a u
a
u
a
⎰⎰⎰≤
≤
d d d )()()(，
J x x h x x f u
a u u
a
u ==⎰⎰∞
+→∞+→d d )(lim
)(lim
， 所以由极限的迫敛性，证得
J x x g x x g u
a
u a
==⎰
⎰∞+→∞
+d d )(lim
)(． □
30．证明：若f 在),0[∞+上为单调有界的连续可微函数，则x x x f ⎰∞
+'0
sin )(d 必
定绝对收敛；
证 因f 单调（不妨设为递增），故0)(≥'x f ；又f 有界，故A x f x =∞
+→)(lim 存在．由
比较法则，因
),0[,)(sin )(∞+∈'≤'x x f x x f ，
而f '连续，故
)0()0()(lim )(0
f A f x f x x f x -=-='∞
+→∞
+⎰d （ 收敛 ）
， 所以
x x x f ⎰∞
+'0
sin )(d 绝对收敛． □
３１．讨论下列反常积分的敛、散性： （１）
x x
x x
⎰∞
++022cos 1d ； （２）
x x
x
x ⎰∞
++0
100cos d ；
（３）
⎰1
ln x
x x
d ； （４）
x x
x ⎰1
21cos d 1．
解 （１）由于
2221cos 1x x
x x x +≥+，而
∞+=+=+∞
+→∞+→⎰
)1(ln lim 21
1lim
20
2
u x x x u u
u d ， 故由比较法则推知
x x
x x
⎰∞
++0
2
2cos 1d 发散． （２）由于
),0[,2cos 0
∞+∈≤⎰u x x u
d ，而当∞+→x 时
x
x
+100单调趋于
０，因此根据狄利克雷判别法推知
x x
x
x ⎰∞
++0
100cos d 收敛．
又因
100,2cos 1412cos 100cos 2≥⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=≥
+x x x
x
x x x x
x
x ， 而
x x
⎰∞
+100
1
d 发散，x x
x
⎰∞
+100
2cos d 收敛，故x x x x ⎰∞
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+100
2cos 14
1d 发散，于是导致
x x
x
x ⎰∞
++0
100cos d 也发散．
所以，
x x
x
x ⎰∞
++0
100cos d 为条件收敛．
（３）因为∞==-
→+
→x
x x
x x x ln 1lim
ln 1lim 10，所以有1,0=x 两个瑕点．为此需
化为两个瑕积分：
J I x
x x
x x x
x x x
+=+=⎰⎰⎰10
1
2
1
2
1
ln ln ln d d d ．
对于I ，由于
)0,12
1
(0ln 1lim
0=λ<=
=+
→p x
x x x .
， 因此为收敛；对于J ，则因
)1,1(1ln 1)1(lim 1=λ==--
→p x
x x x .
，
故为发散．所以瑕积分
⎰1
ln x
x x
d 为发散．
（４）作变换2
1x
u =
，把瑕积分化为无穷积分：
u u u x x
x d ⎰⎰∞+=11
2cos 211cos d 1， 此前已知它是一个条件收敛的反常积分． □
３２．证明下列不等式：
（１）
2
12
21
4
π<
-<
π⎰x x d ； （２）
e
e e 211)11(2
10
2
+
<<-⎰∞
+-x x d ． 证 （１）由于)1,0[∈x 时，有
2
4
2
1111121x
x
x
-≤
-≤
-，
而
20arcsin arcsin lim 111
2
π
=
-=--
→⎰x x x x d ，因此所证不等式 2
12
21
4
π<-<
π⎰x x
d 成立．
（２）由于
,
11
1
10
1
1
2
2
2
2
2
2
x x x x x x x x x x x x x x ⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰∞+-∞+--∞+---+<+=<
≤
d d d d d d e
e e e e e
而
e
e
e e
21,
)11(2
11
1
2
2
=
-=⎰⎰∞
+--x x x x x x d d ， 因此所证不等式
e
e e 21
1)11(2
10
2
+
<<-⎰∞
+-x x d 成立． □。