用列举法计算概率
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
计算概率常用的方法
计算概率的常用方法掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。
1、列举法（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。
现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。
解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。
（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。
评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
2、列表法（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。
（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。
（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。
解析：（1）列表法分析如下：（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。
P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。
评注：当一次实验涉及两个因素（例如投掷两个骰子），并且出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析随机事件发生的概率。
3、树状图法（2009年安徽芜湖）“六一”儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立地从A区（时代辉煌）、B区（科学启迪）、C区（智慧之光）、D区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务。
用列举法求概率
用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。
对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。
以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。
这些结果应该是互不相同
且穷尽的。
2.计算感兴趣事件发生的次数。
根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。
3.计算总的可能性数目。
确定随机试验的总结果数目。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。
其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。
例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。
1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。
2.感兴趣事件是正面向上。
3.总的可能性数目是2。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。
P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。
使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。
然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
用列举法求概率讲解
第第二一个个
A
B
C DE C DE
H IH IH I H IH IH I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
当一次试验涉及两个因素时，且可能
出现的结果较多时，为不重复不遗漏地
列出所有可能的结果，通常用列表法
当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，
通常用树形图
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？
1、从盒子中取出一个小球，小球是红球
直接列举
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球
用列举法求概率
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右
的颜色相同
列表法或树形图
3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三
次，三个小球的颜色都相同
树形图
用列举法求概率
复习
求概率的方法有哪些种？
应怎样进行选择？ 1、当一次试验涉及两个因素时，且可能出
现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有 可能的结果，通常用列表法
用列举法计算概率
• 解（1）只有一个元音字母的结果有５个， • 有两个元音字母的结果有４个， • 全部为元音字母的结果有１个， • （２）全是辅音元音字母的结果有２个，
课时小结：
• 1、用列表法或树形图法求概率时要注意些什么？ • 2、什么时候用列表法方便？什么时候用树形图法 方便？
• 1、用列表法或树形图法求概率时应注意各种出现的可能 性务必相同。 • 2、当试验包含两步时，列表法比较方便，当然也可以用 树形图法，当试验在三步或三步以上时用树形图法方便， 此时难以用列表法。
用列举法计算概率（树状图）
教者 李红妮
情景导入
• 如果有两组牌，它们牌面数字分别为1、2、3，那么从 每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和等于4的牌 概率是多少？
• 方法1：所有产生的结果全部列举出来共九种： • （1，1）（1，2）（1，3）（2，1） • （2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）
1 3
牌面数字和等于4的概率为：
方法2
1 2 3
1
2
3
方法3
• 开始
• 第一张
1
21 2 3 1 2 3源自3• 第二张 1 2 3
• •
（2）（3）（4） （3）（4）（5） （4）（5）（6）
• 归纳总结：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果 数目较多的时候，为丌重丌漏的列出所有的可能结果，通 常采用列表法或树状图法。
探究
• 1、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色“的游 戏；下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘可以分成 几个相等的扇形，游戏者同时可以转动两个转盘，如果转 盘Ａ转出了红色，转盘Ｂ转出了蓝色，那么他就赢了。因 为红色和蓝色在一起配成了紫色。 • A盘 2红2白 B盘 3蓝2白 • （1）利用树状图法或列表法表示游戏所有可能出现的结 果。 • （2）游戏者获胜的概率是多少？
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
初二数学下册：概率类问题3大解题方法
初二数学下册：概率类问题3大解题方法
概率计算
概率计算是全国中考的高频考点，三大题型都会考查，且在解答题中多数会涉及游戏公平性问题，下面王老师带大家聊聊一般情形下的概率计算方法（如下图所示）：
方法一：列举法
1.列表：适用于一步概率计算
例1一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为____．
1/4【解析】由于袋子不透明,且小球都是相同的,因此每次摸球摸到每一个球的概率均相同，列表如下:
从表格中发现,共有16种等可能的结果且其中两次白色一共出现了4次，所以两次摸出的小球都是白色的概率为
2.画树状（形）图：适用于两步及以上概率计算
例2在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）
方法二：频率估计概率
例3林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．
方法三：几何面积概型
例4如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为____．
应用：游戏公平性问题
例5一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，
规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
end。
5.2用列举法计算概率1
2、列表法：
硬币A
正面
反面
正面
（正，正）
（正，反）
反面
（反，正）
（反，反）
∴P（一正一反）=
课时一、二
一、探究活动
议一议：
对于上一节所做的抛掷两枚硬币的实验，我们可以把两枚硬币分别看作硬币A、硬币B，抛掷后所有可能出现的结果有4种，即A正B正，A正B反，A反B正，A反B反。为了既不重复、又不遗漏地列举出所有这些等可能出现的结果，还有比较简单的方法吗？
课题
用列举法计算概率
课时
3
教学目标
1．能运用数状图和列表法计算简单事件。
教学准备
每人准备质地均匀、大小相同的硬币，多媒体课件。
教法
引导——讨论——发现法
重点难点
重点：利用数状图和列表法算事件的概率是本节的重点内容，也是本章的重要考点。
板书：
10．2用列举法计算2
B盒1 2 1 2
列表法：
硬币A
正面
反面
正面
（正，正）
（正，反）
反面
（反，正）
（反，反）
∴P（一正一反）=
三、典例分析
例1：在A、B两个盒子中都装入分别写有数字1，2的两张卡片，分别从每个盒子中任意取一张卡片，两张卡片上的数字之和为3的概率是多少？
开始
A盒1 2
B盒1 2 1 2
∴P（和为3）=
你能用用列表的方法分析吗？
五．课后延伸
基础训练P94，4，5，6。
二、合作交流
对于硬币A，落定后，朝上的一面有两种可能，即正面和反面；对于硬币B来说也是这样。
由于每枚硬币出现正面或反面的可能性相同，因此我们可以用下图来列举出所有等可能出现的结果：
列举法计算概率
学生的性别 ，
从 图 看 到 ， 能 出现 的结 果 有 ３× 所 ４种 ， 些 结 果 出 这
例 ３ 你喜欢玩 游戏 吗？现请 你玩一个 转盘游 戏． 如图 １ 所示 的两个转 盘 中指 针落在 每一个 数字上 的机 会均等 ， 同时 自由转 动 甲、 现 乙两个 转盘 ， 转盘停 止 后 ， 指针各指向一个数字 ， 用所指的两个数 字作乘积． 你 ： 请
所 以 Ｐ（ 字之 积为奇数 ）＝ ６ ＝ １ 数
四 、 排 人 员 安
．
摸到红桃是不 可能 的， 但摸 到梅花 的可能 性最 大 ， 据 依
是什 么？
解析
（） １ 梅花在第 １ 中的频率最大 ， 份 频率为 ：
０
例 ４ 在一次全年级数学竞赛 中 ， １班有 １名男生 ， ２名女生获奖 ， ２班有 ２名男生 ， ２名女生获奖 ， 两班 获 从 奖学生 中各任选 １ 人去领奖 ， 他们正好 是一男生一女 生
其 中的一部分 ， 即随机事 件 Ａ所 包含 的基本 事件 数 ， 也 可 用同样的数量特征来表示 ， 设为 ｓ则随机事件 Ａ的概 ，
因此 ， 事件 的概率 为 ：（ ） ＝ １ Ｐ Ａ ＝３ 丁
率为 ：（ ） ÷ ． ＰＡ ＝
例如 ： 任意抛掷 一枚 钱币 ， 徽花 向上” 字 向上 ” “ 与“
拳 法 计 算概 率
当试 验 中 所 有 可 能 的 基 本 试 验 结 果 只 有 有 限 个 ，
黪 列
红
－ ）
…
璺茎 垒塑墨寥熊 学…． 垒鏖壹
这些结果 又具有等可能性时 ， 我们 可用“ 列举法 ” 来计算
随机 事件的概率． 列举 （ 列表 ， 画树状 图） 事件 所有 可能 出现 的结果 ，
用列举法求概率
用列举法求概率
用列举法求概率指的是通过对事件包含的所有可能情况进行数量计算，从而得出该事件发生的概率。
它可以用来计算单个或多个独立事件的概率。
一般步骤如下：
（1）首先确定所要求的概率事件；
（2）然后将该事件分解成一个或多个独立事件；
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来；
（4）统计满足条件的可能性的数量；
（5）最后计算出概率值。
例如：在一副有52张牌的扑克牌中抽出一张，问抽到的是黑桃的概率。
（1）首先确定所要求的概率事件：抽到的是黑桃
（2）将该事件分解成一个独立事件：抽到的是黑色；抽到的是桃子
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来：抽到的是黑桃、黑红桃、黑方块、红桃、红红桃、红方块、梅花、梅红桃、梅方块；
（4）统计满足条件的可能性的数量：抽到的是黑桃的可能性有1种；
（5）最后计算出概率值：P(抽到的是黑桃)=1/9=0.11。
5.2用列举法计算概率
动脑筋
掷一枚硬币两次,可能出现的结果有几种？
正
正
正
反
反
正
反
反
(正,正),
(正,反),
(反,正),
(反,反).
利用”树状图”来表示所有可能出现的结果: 第一次 第二次 正面 正面
反面
开始 正面 反面 反面
动脑筋
(1)掷一枚硬币两次,出现上述每一种结果的概率是多少?
1 答;可能性大小相等,概率都是 . 4
2.利用列举法计算概率.
概率计算中有哪些规律可寻?
在随机现象中,出现的各种可能的结果共有n种,
如果出现其中每一种结果的可能性大小是一样的,
1 那么出现每一种结果的概率都是 .在随机现象 n
中,如果事件A包含m种可能的结果,那么出现这个 事件的概率记作P(A).
1 1 1 m P( A) . n n n n
m个
(2) 掷一枚硬币两次,至少有一次出现正面的概率是多少? 答: 至少有一次出现正面包含(正,正),(正,反),(反,正)3种
3 可能结果,因此至少有一次出现正面的概率是 . 4
在随机现象中,出现的各种可能的结果共有n种,
如果出现其中每一种结果的可能性大小是一样的,
1 那么出现每一种结果的概率都是 .在随机现象 n
圆盘被分成8个全等的小扇形,分别写上数字 1,2,3,4,5,6,7,8.自由转动圆盘,试问: (1)可能出现的结果有几种?
8 7 6 5 4 1 8 7 6 5 4 1 2 3
2
3
有8种:指针指向数字1,指向数字2,· · · · · · ,指向数字8.
(2) 指针指向1~8的每一个数字的概率是多少?
《用列举法求概率》九年级初三数学上册PPT课件
6
36
1.满足条件的可能有6种，P(两次结果点数相同)=
2.满足条件的可能有4种，P(两次结果点数和为9)=
3.至少有一次结果的点数为2。
=
4
36
=
3.满足条件的可能有11种，P(至少一次结果点数为2)=
解：通过题意可以画出如下树状图，可能出现的36种结果，并且它们出现的概率是相同的。
时间：20XX
3.满足条件的可能有2种，即“正反”“反正”
P(两枚硬币正面和反面朝上各一枚)=
2 1
=
4 2
观察这两个问题，抛掷方法改变后，
试验产生的结果一样吗？
情景引入
观察这两个问题，抛掷方法改变后，得到的结果一样吗？为什么？
把一枚质地均匀的骰子投两次,观察向上一面的点数,求下列事件的概率.
1.两次结果的点数相同，
时间：20XX
前言
学习目标
1.用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。
2.能画“两级”树状图求简单事件概率。
3.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏。
重点难点
重点：能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率。
难点：不重复不遗漏的列出所有可能的情况。
情景引入
【分析】在一次试验中，如果可能出现的结果
I H
I
H
I H
I H
I
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
① ② ① ② ② ③ 辅 ① 辅 ① ① ②
1
2)全是辅音有2种可能，P(1个元音)=6
25.2用列举法求概率
这9种情况,所以
P(A)=
总结经验:
9 36
1 4
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出
现的结果数目较多时,为了不重不漏的列
出所有可能的结果,通常采用列表的办法
在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地 抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么 第二次取出的数字能够整除第一取出的数字 的概率是多少？
课堂练习：
甲
A
B
乙C DE
C DE
丙H I H I H I H I H I H I
从树形图看出，所有可能出现的结果共有12个 A A A AA A B B B B B B C C D DE E C C D D E E H I H IH I H I H I H I
• （1）只有一个元音的字母的结果（红色）有5个
1.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放 回,洗匀后再抽一张牌.这样先后 抽得的两张牌有哪几种不同的可 能?他们至少抽到一张黑牌的概率 是多少?
随堂练习 （基础练习） 1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一 球,记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请
你估计两次都摸到红球的概率是______1__。 2、某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白4、蓝三条
(2)这个游戏公平，理由如下：
81
两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P(B)= 16 = 2
81 两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P(C)= 16 = 2 两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.
3.一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它 们除颜色外其余都相同． (1)求摸出1个球是白球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两 次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图）；
求概率的三种方法
.求概率的方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率局部的考察，表达了“学以致用〞这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：〔05济南〕如图1所示，打算了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，假设可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；假设可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？假设不是，有利于谁？ ．分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，全部时机均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为41． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为2142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 此题采纳了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．此题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：〔06临安市〕不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都相同〕，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12．〔1〕试求袋中蓝球的个数．〔2〕第一次任意摸一个球〔不放回〕，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得21122=++x ， 1=x答：蓝球有1个． 〔2〕树状图如下：∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是时机均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关的概率． 此题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比拟直观，把全部可能的结果都一一排列出来，便于计算结果． 三、列表法 例3：〔06晋江市〕如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A 、B 的转盘分别被平均分成三局部，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了外表数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘〔一人转一个〕，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜〔如：假设A 、B 两个转盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，假设箭头恰好停在分界图1 5 4 B768A 3图2.线上，则重新转一次〕，请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？ 解析：〔方法一〕画树状图： 由上图可知，全部等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．由上表可知，全部等可能结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过屡次步骤〔三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．6开始。
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白
红1
红2
白
（白，白） 白，红1） ，红2） （ （白
红1 红2
（ （红1，红2） （红1，白） 红1，红1）
（红2，白） 红2，红1）红2，红2） （ （
4 P (两次摸出 红 球)= 9
一只不透明的袋子中装有1个白 球和2个红球，这些球除颜色外都 相同，搅匀后从中任意摸出一个球， 记录下颜色后不再放回袋中，再从 中任意摸出一个球，两次都摸出红 球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
红1
红2
白
（白，红1） （白，红2）
红1
红2
（红1，白）
（红1,红2）
（红2，白） （红2,红1）
2 1 P (两次摸出 红 球)= 6 3
谈谈你的收获
画树状图和列表时要做到不重复不遗漏 注意对随机事件中 “同时”“先后”与 “放回”“不放回”等关键词的把握。
在阴虚博物馆，老师无意之间走入一神秘 之地，走了不少弯路。走出神秘之地后才发现 其地形图如右下图所示： 出口 假定我在在每个岔口 都会随机地选择一条路径， 哪位同学能够用你所掌 握的概率的知识，帮我 计算一下能顺利的走出 入口 的概率是多少？
用列举法计算概率
学习目标： 用树状图和列表法计算简单 事件发生的概率
1 P(黑球)=_____;P(红球)=______; 6 1 P(黄球)=_______. 6
1 3
（1）请同学们仔细阅读课本125—126页，阅 读完毕后同桌间相互讲一讲，你学到了什么？ 并举例说明什么叫树状图？ （2）完成课本126页想一想：填表 （3）自主互动课堂102页的预习导学和预习检 测部分
白 蓝 甲 红 黄 蓝 乙 绿 红
1.概率:一个事件发生的可能性的大小叫 作这个事件的概率. m P 2.事件A发生的概率：( A) n m 表示事件A发生可能出现的结果数. n 表示一次试验所有可能出现的结果数.
3.抢答：(1)投掷一枚均匀的硬币1次， 1
则P(正面朝上)=____; 2
(2)袋中有6个除颜色外完全相同的小球, 其中2个白球,2个黑球,1个红球,1个黄球, 1 从中任意摸出1个球,则 P(白球)=_____ 试验，那么3次抛掷的结果都是正面朝 上的概率是多少？
开始 第一次 正 反
第二次
第三次 所有可 能出现 的结果
正
反
正
反
正 反 正 反正 反 正 反
正 正 正 正 正 反 正 反 正 正 反 反 反 正 正 反 反 正 反 反 正 反 反 反
1 P (3次都是正面朝上） = 8
真知灼见源于实践
两步以上的试验用树状图比 较方便表示所有可能的结果！
一只不透明的袋子中装有1个白球和 2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀 后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放 回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球， 两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果
第一次 第二次