趣味数学-幻方

三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
49 2 35 7 8 16
276+951+438= 1665 672+159+834= 1665
2762+9512+4382= 1172421 6722+1592+8342= 1172421
4）每列看成的三位数和 =它逆转之后的三位数。
5）每列看成的三位数的平方和 =它逆转之后的三位数平方和
行也成立
3、探究幻方的规律（3）：
24-8-7=9
10 9 5
24-9-5=10 24-10-8=6
本课小结
每行、每列、对角线上的三个数的和都相 等方格，叫“幻方”。 所有行、列、对角线上的数之和均为15。 偶数位于角上；奇数在中间。
5位于中心点，相对的两个端点数和为10。
49 2 35 7 8 16
357+753= 1100 951+159= 1100
456+654= 1100 852+258= 11700
6）每列每行每一条对角线上看成的三位数 和它逆转之后的三位数之和相等。
（7）幻和=九个数之和÷3， （8）中间数=幻和÷3. （9）C=(A+B)÷2 （如右图）
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
对角线和=34
=40 =36 =32 =28
少6 少2 多2 多6
根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
同学们
你们真的好棒哦!不要骄傲, 继续加油哦!
请你们把1,3,5,7,…..29,31这16个数字编成一个四阶幻方.
数字依次先排好,
1
3
5
7
①1,3,5…29,31 64 中间的数你们
上下中间两两换, 左右中间两两换, 其他地方不要变!
9 11 13 15
64
17 19 21 23
64
25 27 29 31
4+5+6=15
每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫 “幻方”。这个相等的和叫三阶幻方的幻和。
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
20 2 6 7 15 8 4 3 15
15 8 1 6 15 3 5 7 15
9 1 5 15
4 9 2 15
19 11 15 11 不是
15 15 15 15 是
数学广场——幻方
教学目标:
1、初步认识1〜9的幻方。 2、通过尝试、调整数据，探究幻
方的关系。 3、培养学生对中国古代数学文化
的兴趣。
故事引入：
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝 夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一 只大乌龟，背上有奇特的图案。
龟背上的图案是 什么意思呢？
龟背上的图案代表了几个不同的数，人们称它为“书”。
◆例 下图中，a～g 7个字母，各代表7个数字， 要使三阶幻方成立，“a”所代表的数字是多少？
C=(A+B)÷2 a=（12+18）÷2
=30÷2 =15
在下图的每个方格里填上适当的数，使每
行、每列、每条对角线上的三个数的和都
相等。
（3+7）÷2=5
幻和=8×3=24
11
6
24-8-3=13
13
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
41
距 离 幻 方 中 心
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中
的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为
粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
82
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
29 33 3
35+23+3+a 1
幻和
19+b+25+a 3
2
1
一.三阶幻方的编制和补充
二.四阶幻方的编制和补充
幻
三阶幻方有技巧, 和 3数斜着先排好, 上下左右要交换, 然后各自归位了!
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
练习：把1－36中，中间的16个数(11-26)填到四
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个魔中师心, 点 4个我数可和是= 3有4 魔法的
现在我们来指引 24.个数每数字中你列和2心们的和=点去数334与相字把谁对每和关行相于等
3.数字5和9谁关于 中心点相对
1 83
1、利用每一行，每一列，每一条对角线上的 三个数的和相等的特点。
3，如果幻方的和全是15，看谁填得又对又快：
81 6 57 2
83 5
67 2
2、幻方的分类
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
27 6 951 438
8 16 357 492
6 72 159 834
2 94 753 618
4 38 753 276
将幻方围绕中心，向右旋转90度一次、二次、三次
向右旋转90度一次、二次、三次后将幻方上下对换。
5：如何编幻方（幻方的构成）
1）三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
归位
5：如何填幻方（幻方的构成） 2）三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
百子回归碑是一幅 十阶幻方，中央四 数连读 “1999 · 12 · 20 ”， 标示澳门回归日。
百子回归碑是一部 百年澳门简史，可 查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历 史事件以及有关史 地、人文资料等。
中间两列上部（系十九
世纪）：“ 1887 ” 年《中葡条约》正式 签署，从此成为葡人 上百年（距今 100 余 13 年）“永久管理澳 门”的法律依据。又 如中间两列下部（系 二十世纪）：“ 49 ” 年中华人民公和国成 立，从此中国人民站 起来了；“ 97 ”年香 港回归祖国。
化
13 14 15 16
练习：填四阶幻方：
把3,4,5,6,…..18这16个数字编成一个四阶幻方.
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
3 4 5 6 42 7 8 9 10 42 11 12 13 14 42
15 16 17 18 4242 42 42 42所以 幻和=429
9
3
7
1
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
1997年美国佬发射 了两个宇宙飞船， 在飞船上为了向外 星人展示人类的文 明，科学家就选择 了一张四阶幻图--
★下面是一个四阶幻方,求a=＿1＿3
3接跟5+下a23有来+3关你=1的们9+有看b+哪看25些幻行和b=, 17
35 5
能哪幻求些和出列=5来或+2吗哪3+?些15对+2角9=线74?
11 23
17
幻a=和74-不(35能+2求3+出3)=来13 ….
19 1b7 a 25 3 但可以表示出来:
耆那幻方。
耆那幻方：
是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是12 －13世纪的产物。它的任何2×2的方块内的4个数 字和也是34。
5：如何编幻方（幻方的构成）
四阶幻方构成方法
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
原理与步骤：
1 2 34 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16
49 2 35 7 8 16
4、如何改变幻方：
改变数的位置还有可能满足上述规律吗？
4 92 357 816
8 16 357 492
2 94 753 618
6 18 753 294
上下换 左右换 上下左右换
4、探究改变幻方的规律： 共有8种：
4 92 357 816
83
59 72
618 7 53 2 94
每行每列斜着的三个数的和是否都相等，来判断是不是幻方。
2、填幻方：
1）这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮它 找出来吗？
92
4 3
5
7
81 6
1、利用每一行，每一列，每一条对角线上的 三个数的和相等的特点。
4、填幻方： 2）看！又来了一只龟爷爷，背上的图案缺得 更多了，请你帮帮它好吗？
72 9
它就是对称交换法
数字依次先排好, 上下中间交叉换,左对右中间交叉换,其他地方不要变
以前
比
现在
12 3 4
一 下
1 15 14 4
56 7 8
了 12 6 7 9
9 10 11 12
， 哪
8 10 11 5
13 14 15 16 些 13 3 2 16
数
1 2 3 4位
56
置
7 8有
9 10 11 12 变
64
知道是多少吗?
全是单数
②这个四阶幻方 的幻和是多少?
64 64 64 64
64
6、巧填幻方：
例题：给出一个不完整的幻方,请你们认真补充完这个表格
68 2 30 28 8 68 24 12 14 18 68 16 20 22 10 68 26 6 4 32
68 (68 ) 68 68
（1）先求出幻和
（1）先算幻和： 幻和=（1+2+…+16）÷4= 34
三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4
原理与步骤：（1 ）幻和=34 （2）分析列表
1 2 3 4 第一行和=10 少了24
5 6 7 8 第二行和=26 少了8
9 10 11 12 第三行和=42 多了8
探究一
龟背上的这些数填到表格中，你能发现什么？
49 2 35 7 8 16
每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点?
1、幻方的定义（三阶8+5幻+2=方15 ）
49 2
35 7
8 16
49 2 35 7 +8 +1 +6 15 15 15
4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15
阶幻方中：
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
11 25 24 14 22 16 17 19 18 20 21 15 23 13 12 26
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
补充1：左右对开并交换， 也是一个四阶幻方