人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章
§2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计
算
【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空
1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征
⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）.
⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 .
⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，
②两底面是平行且相似的多边形。

2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征
⑴圆柱：
.
⑵圆锥：
.
⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆，
②过轴的截面都是全等的等腰梯形，
③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点.
(4)球： .
3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是
①若干个小矩形拼成的一个，
②若干个，
③若干个 .
（2）表面积及体积公式：
4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式
5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．下列命题正确的是（）
(A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

(C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：
（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。

（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。

3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是
6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。

4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5
．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的
是（）（图在教材P8 T1 (3)）
6．已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。

7．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求长方体的体积与剩下的几何体的体积的比。

8．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm，求球的体积与表面积。

强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1.填空题：
（1）正方形边长扩大n倍，其面积扩大倍；长方体棱长扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。

（2）圆半径扩大n倍，其面积扩大倍；球半径扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。

（3）圆柱的底面不变，体积扩大到原来的n倍，则高扩大到原来的倍；反之，高不变，底面半径扩大到原来的倍。

2．已知各面均为等边三角形的四面体S-ABC的棱长为1，求它的表面积与体积。

3．直角三角形三边长分别是3cm,4cm,5cm，绕着三边旋转一周分别形成三个几何体，求出它们的表面积和体积。

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必修2 第一章
§2-2 投影与三视图
【课前预习】阅读教材P11-18完成下面填空
1.中心投影、平行投影
⑴叫中心投影,
⑵
叫平行投影，投
影线正对着投影面时，叫，否则叫斜投影.
2.空间几何体的三视图、直观图
平行投影下的正投影包括斜二测法和三视图: (1)三视图的正视图、左视图、俯视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线即正投影（被遮挡的轮廓线要画虚线）。

(2)直观图的斜二测画法
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于O′,且使∠x′O′y′= ,它们确定的平面表示水平面；
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，画成
；
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度
，平行于y轴的线段，长度 .
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．下列三视图对应的几何体中，可以看作不是简单组合体的是（）.
A B C D
2．根据下列描述，说出几何体的结构特征，并画出它的三视图：由五个面围成，其中一个面是正四边形，其余四个面是全等的等腰三角形的几何体。

3．下列结论正确的有
（1）角的水平放置的直观图一定是角；
（2）相等的角在直观图中仍然相等；
（3）相等的线段在直观图中仍然相等；
（4）若两条线段平行，则在直观图中对应线段仍然平行4．利用斜二测画法得到的结论正确的是（1）三角形的直观图是三角形；
（2）平行四边形的直观图是平行四边形；（3）正方形的直观图是正方形；
（4）菱形的直观图是菱形
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．画出下列几何体的三视图：
6．根据下列三视图，画出对应的几何体：
7．用斜二测画法画出水平放置的一角为60°，边长为4cm的菱形的直观图。

8．已知正三角形ABC的边长为a，求出正三角形的直观图三角形'''
A B C的面积。

强调（笔记）：
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）. A.
4
8
3
π
+ B.
4
4
3
π
+ C. 84π
+ D.
10
3
π2．已知几何体的三视图如下，画出它们的直观图：
3．下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.
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必修2 第二章
§2-3平面概念、公理
【课前预习】阅读教材P40-43完成下面填空1.平面及画法
2.三个公理：
公理1：文字语言： 符号语言： 图形语言：
公理2：文字语言： 符号语言： 图形语言：
公理3：文字语言： 符号语言： 图形语言：
注意：公理1的作用：直线在平面上的判定依据； 公理2的作用：确定一个平面的依据，用其证明点、线共面；
公理3的作用：判定两个平面相交的依据，用其证明点在直线上——两平面的公共点一定在交线上.
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．下列推断中，错误的是（ ）. A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=
C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉
D ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合 2．下列结论中，错误的是（ ）
A ．经过三点确定一个平面
B ．经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面
C ．经过两条相交直线确定一个平面
D ．经过两条平行直线确定一个平面 3．用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）直线a 经过平面α外的一点M;
（2）直线a 既在平面α内，又在平面β内;
4．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为
虚线：
（1）AB 没有被平面α遮挡；
（2）AB 被平面α遮挡
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？
6．在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？
（2）点1,,B C D 是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线.
7．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、
BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：
EF 、GH 、AC 三线共点.
8． ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，
AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点共线.
强调（笔记）：
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.
2.
3.
4. 【课后15分钟】 自主落实，未懂则问 1．下列说法中正确的是（ ）. A. 空间不同的三点确定一个平面
B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面
C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
2．给出下列说法，其中说法正确的序号依次是 .
① 梯形的四个顶点共面； ② 三条平行直线共面；
③ 有三个公共点的两个平面重合；
④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.
3．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 .
4．下面四个叙述语（其中A,B 表示点，a 表示直线，α表示平面）
① ,,A B AB ααα⊂⊂∴⊂； ②,,A B AB ααα∈∈∴∈； ③,,A a a A αα∉⊂∴∉； ④
,,A a A a αα∉⊂∴∉.
其中叙述方式和推理都正确的序号是 5．在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M,N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过点D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， （1）画出直线l ； （2）设11l
A B P =，求PB 1的长；
（3）求D 1到l 的距离.
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必修2 第二章
§2-4 空间直线位置关系
【课前预习】阅读教材P44-50完成下面填空
1．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法 (1)
⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩
相交直线： ；共面直线平行直线：
；异面直线：
. （注意：常用平面衬托法画两条异面直线）
（2）已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 ，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）.
注意：①,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；
②异面直线所成的角的范围为 ，
③如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥.
2．空间直线和平面的位置关系
（1）直线与平面相交： ； 直线在平面内： ； 直线与平面平行： .
（2）直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作a ⊄α包括a ∩α=A 和a ∥α
3．空间平面与平面的位置关系
平面与平面平行: ； 平面与平面相交: .
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）.
A. 异面
B. 平行
C. 相交
D. 以上都有可能
2．直线l 与平面α不平行，则（ ）.
A. l 与α相交
B. l ⊂α
C. l 与α相交或l ⊂α
D. 以上结论都不对
3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）. A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个
4．如果OA ∥''
O A ,OB ∥''
O B ，那么AOB ∠与
'''AO B ∠ （大小关系）.
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，
3AB = , 3AD =，'1AA =.
（1）BC 和''
AC 所成的角是多少度？ （2）'
AA 和'BC 所成的角是多少度？
6．下图是正方体平面展开图，在这个正方体中： ① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.
以上四个说法中，正确说法的序号依次
是 .
7．已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小.
E A
F B C M N D
8．三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直底面，
∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点.若BC=CA=CC1，求BD1 与AF1 所成的角的余弦值.
强调（笔记）：
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1．两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（）.
A. 一定是异面直线
B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线
D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
2．E、F、G、H 是空间四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，
（1）EFGH 是形；
（2）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直，则EFGH 是形；
（3）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相等，则EFGH 是形.
3．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 . 4．正方体各面所在平面将空间分成（）个部分.
A. 7
B. 15
C. 21
D.
27
5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（）.
A. 平行
B. 相交
C. 平行或垂合
D. 平行或相交
6．正方体AC1中，E,F分别是A1B1,B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
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必修2 第二章
§2-5空间平行关系（1）
【课前预习】阅读教材P54-57完成下面填空1．直线与平面平行判定定理：
（1）定义：，则直线和平面平行. （2）判定定理：，则该直线与此平面平行.
图形语言：
符号语言为： .
2．平面与平面平行判定定理：
（1）定义： ，则平面和平面平行. （2）判定定理： ，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言为： .
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）.
A. 1l ∥α
B. 2l ⊂α
C. 2l ∥α或2l ⊂α
D. 2l 与α相交
2．以下说法（其中,a b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b
其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3．下列说法正确的是（ ）.
A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行
B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.
A. α、β都平行于直线l
B. α内存在不共线的三点到β的距离相等
C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β
D. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D.
6．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点 （1）求证：MN //平面PAD ；
（2）若4MN BC ==，43PA =，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 7．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .
8．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2,侧棱13A A =，M 、N 分别为A 1B 1、
A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN与平面EFDB的距离.
强调（笔记）：
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1．已知a，b是两条相交直线，a ∥α，则b与α的位置关系是（）.
A. b∥α
B. b与α相交
C. b⊂α
D. b∥α或b与α相交
2．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）.
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. AB⊂α
3．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a，b都平行的平面（）.
A. 只有一个
B. 恰有两个
C. 或没有，或只有一个
D. 有无数个
4．已知a、b、c是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中：
⑴a∥c，b∥c⇒a∥b；⑵a∥γ，b∥γ⇒a∥b；⑶c∥α，c∥β⇒α∥β；⑷γ∥α，β∥α⇒α∥β；
⑸a∥c，α∥c⇒a∥α；⑹a∥γ，α∥γ⇒a∥α.
其中正确的说法依次是 .
5．P是平行四边形ABCD所在
平面外一点，E为PB的中点，
O为AC，BD的交点.
（1）求证：EO‖平面PCD；
（2）图中EO还与哪个平面平
行？
6．已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边
形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：
ND=PQ：QD.
求证：面MNQ∥面PBC.
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必修2 第二章
§2-6空间平行关系（2）
【课前预习】阅读教材P58-61完成下面填空
1．直线与平面平行性质定理：
性质定理：一条直线与一个平面平行，
.
图形语言：
符号语言为： .
2．平面与平面平行性质定理：
（1）性质定
理： .
图形语言：
N
M
P
D
C
Q
B A
符号语言为： .
（2）其它性质：
①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；
③夹在平行平面间的平行线段相等.
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面
2．下列说法错误的是（ ）
A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.
B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面
C. 若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 平行
D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等
3．下列说法正确的是（ ）.
A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
4．下列说法正确的是（ ）.
A. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行
C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平
面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B
6．已知正三棱柱的棱长都是a ， 过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积..
7．如图，设平面α//平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN//α.
8．已知平面//αβ，直线AB ，CA 交于点S ，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β内，且线段AS=2cm ，BS=4cm ，CD=8cm ，求线段CS 的长度.
β α
_ N _ M _ D
_
B _
C _ A
强调（笔记）：
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1．梯形ABCD中AB//CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）.
A. 平行
B. 平行和异面
C. 平行和相交
D. 异面和相交
2．如图：已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平
面的交线，下列结论错误的是
（）.
A. D1B1∥l
B. BD//平面AD1B1
C. l∥平面A1D1B1
D. l⊥B1 C1
3．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：
①a∥α，b∥α，则a∥b；
②a∥α, a∥β, 则α∥β；
③α∥γ，β∥γ，则α∥β；
④a∥b,b⊂α,则a∥α.
其中说法正确的序号依次是 . 4．在正方体''''
ABCD A B C D
-中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）.
A. '''
BDC B D C
与 B. '''
A BC ACD
与
C. '''
B D D BDA
与 D. '''
A DC AD C
与
5．已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E、F在PC上，且PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在一点M，使平面AEM∥平面BFD，并请说明理由。

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必修2 第二章
§2-7空间垂直关系（1）
【课前预习】阅读教材P64-69完成下面填空1．直线与平面垂直的判定：
（1）定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作lα
⊥. l是平面α的，α是直线l的，它们的唯一公共点P叫做 .
（2）判定定理：，则这条直线与该平面垂直.（线线垂直→面面垂直）
符号语言表示为： . （3）斜线和平面所成的角是
；直线与平面所成的角的范围是： .
2．平面与平面垂直的判定：
（1）定义：所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做，这两个半平面叫做 .
记作二面角AB
αβ
－－. （简记P AB Q
－－）
（2）二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作 射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围： .
（3）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.
（4）判定： ，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1． 下面四个说法：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.
④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； 其中正确的说法个数是（ ）.
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
2．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于（ ）.
A ．平面OA
B B ．平面OA
C C ．平面OBC
D ．平面ABC
3．在三棱锥A —BCD 中，如果AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么（ ）. A. 平面ABD ⊥平面ADC B. 平面ABD ⊥平面ABC
C. 平面BCD ⊥平面ADC
D. 平面ABC ⊥平面BCD
4．设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法：
①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心； ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆垂心； ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==；
④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心. 其中正确说法的序号依次是 .
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实 5．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，
且EF AC =
，90BDC ∠=，求证：BD ⊥
平面ACD .
6．已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P . （1）求证：AP ⊥EF ；
（2）求证：平面APE ⊥平面APF .
7．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2， AA 1=1，求BC 1 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值.
8．Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB 、AC 与平面α所成的角分别为30º、45º，求平面ABC 与平面α所成的锐二面角的大小.
强调（笔记）：
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.
2. 3.
4. 【课后15分钟】 自主落实，未懂则问 1．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）.
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
2．在直二面角AB αβ--棱AB 上取一点P ，过P 分别在,αβ平面内作与棱成45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是（ ）. A ．45° B ．60°
C ．120°
D ．60°或120° 3．
E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .
4．棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱1B B 的中点. 求证：（1）EF ⊥平面11BB D D ；
（2）平面1EFB ⊥平面11D C M .
5．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且PD=a ，
.
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A-PB-C 的大小；
（3）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径
互助小组长签名：
必修2 第二章
§2-8 空间垂直关系（2）
【课前预习】阅读教材P70-72完成下面填空
1. 线面垂直性质定理： （线面垂直→线线平行） 用符号语言表示为： .
2. 面面垂直性质定理： . （面面垂直→线面垂直） 用符号语言表示为： .
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．在下列说法中，错误的是（ ）.
A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β
B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β
C. 若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ⊥β
D. 若平面α∥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ∥β
2．给出下列说法：
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平
面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连
线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；
④垂直于同一个平面的两条直线平行.
其中正确的两个说法是（）.
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④3．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的
平面，有下列说法：
①若mα，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中正确说法的个数是（）.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的说法的序号依次是 .
强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面α垂直，a是α内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？6．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA ⊥平面ABC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 7．三棱锥P ABC
-中，PA PB PC
==,PO⊥平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.
8．三棱锥P ABC
-中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO⊥平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.
⊂
强调（笔记）：
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】自主落实，未懂则问
1．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）.
A. PA⊥BC
B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB
D. PC⊥BC
2．在ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，AB=8，60
BAC
∠=︒，PC⊥面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM 的最小值为（）.
A. 27
B. 7
C. 19
D. 5 3．已知平面,αβ和直线m，给出条件
①m∥α；②m⊥α；③mα
⊂；④αβ
⊥；⑤//
αβ.
（1）当满足条件时，有m∥β；（2）当满足条件时，有m⊥β .
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. 求证：
（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B 的垂心.
5．已知PCBM 是直角梯形，∠PCB＝ 90°，PM∥BC，PM＝1，PC＝2，点A是平面PCBM外一点，又AC＝1，∠ACB＝ 90°，二面角P-BC-A 的大小为60°. （1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥P-MAC 的体积.
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立体几何检测题
一、选择题：（每小题5分，共35分）
1．若直线上有两个点在平面外，正确结论是（）
A.直线在平面内
B.直线在平面外
C.直线上所有点都在平面外
D.直线与平面相交
2．以下四个正方体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则P、Q、R、S 四点共面的图是（）
3．如图, 过球的一条半径OP 的中点O 1 ，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面面积之比为 ( )
A. 3：16
B. 9：16
C. 3：8
D. 9：32
4. 右上图，水平放置的三角形的直观图，D ＇是A ＇B ＇边上的一点且D ＇A ＇=3
1
A ＇
B ＇，A ＇B ＇∥Y ＇
轴, C ＇D ＇∥X ＇轴，那么C ＇A ＇、C ＇B ＇、C ＇D ＇
三条线段对应原图形中的线段CA 、CB 、CD 中 （ ） A ．最长的是CA ，最短的是CB B ．最长的是CB ，最短的是CA C ．最长的是CB ，最短的是CD D ．最长的是CA ，最短的是CD
5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离=（ ）
A ．1
B ．
2
1
C ．23
D ．33
6．在正四面体P —ABC 中,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是( ) A . BC ∥平面PDF B . DF ⊥平面PAE
C . 平面PDF ⊥平面ABC D. 平面PAE ⊥平面ABC
7．关于直线a 、b 与平面α、β，有下列四个命题： ①若a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b ②若a ⊥α，b ⊥β且α⊥β,则a ⊥b ③若a ⊥α，b ∥β且α∥β，则a ⊥b ④若a ∥α，b ⊥β且α⊥β,则a ∥b 其中真命题的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
二、填空题（每小题5分，共20分）
8．用数学符号语言将“直线l 既经过平面α内的一点A ，也经过平面α外的一点B ”记作 .
9．正六棱台的两底边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积等于 . 10. 给出以下四个命题：
Q
R
D
C
R
Q
Q
R
B A
R Q
第3题图
P ＇
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中正确的命题的是 。

(把正确命题的题号都填上)
11．P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是P 在平面α内的射影. 若P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则
（1）O 是△ABC 的__________心；
（2）若P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC 的_______心； （3）若PA ,PB ,PC 两两垂直，则O 是△ABC 的_______心.
三、解答题： (共45分)
12．（12分）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E 是C 1C 的中点．
⑴求异面直线OE 与BC 所成角的余弦值； ⑵求直线OE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； ⑶求证：对角面AA 1C 1C 与对角面BB 1D 1D 垂直．
13．（10分）一个正三棱锥P —ABC 的三视图如图所示，尺寸单位：cm . 求⑴正三棱锥P —ABC 的表面积； ⑵正三棱锥P —ABC 的体积．
E C 1A C
A
俯视图
侧视图
正视图
1212。