专题4 圆锥曲线的面积问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

，
令 t 1 4k 0 ，则 k 1 (1 t) ，故 SABCD 4 4
1
t
8 9
5
4
t
1 2
8 4 t9 6
t
3
，
当且仅当
t
9 t
，即
t
3
，
k
1 2
时，四边形
ABCD
的面积取得最大值
4
3.
6．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的左，右焦点分别为 F1 ，
F2 ，离心率为
2 ，且 F1F2 2
【答案】（1） x2 y2 1 x
2
4
；（2） .
2
3
（1）设点
P
x,
y
，则依题意有
x
y
y 2 x
2
1 ，整理得 x2
2
2
y2 1 ，由于 x
2，
所以所求动点 P 的轨迹 C 的方程为： x2 y2 1 x 2 . 2
（2）直线 l 的斜率 k tan 45 1，故直线 l 的方程为： y x 1，与椭圆方程联立，消去 x 得： 3y2 2 y 1 0 ，
2．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 B ，过右焦点 F2 作与直线 BF2 关于 x 轴对称的直线 l ，且直线 l 与椭圆分别交于点 M ，N ，O
为坐标原点，求 OMN 的面积．
【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 2 .
2
3
c
解：（1）由题得， a
2c
2 2 2
所以点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 同时满足直线方程 x x0 y y0 1 ，即直线 AB 方程为： x x0 y y0 1 .
令
x
0,
得Q
点坐标为
(0,
1 y0
)
，令
y
0,
得
E
点坐标为
(
1 x0
, 0)
，
所以 S△EOQ
1 2
1 x0 y0
，因为 P 在椭圆上，有 x02 4
2
16m2 8m2 32 ， 4
9
3
3
12 m2 ，
S△ABM
1| 2
AB | d ，
2 3
12 m2 | m | ，
2 3
12 m2 m2 ， 2 12 m2 m2 2 2 ，，
3
2
当且仅当 m 6 时取得等号.即当 ABM 面积最大时，m 的值为 6 .
5．已知椭圆
36m2 4 3m2
2
4
4
9 3m2
12 1 m2 4 3m2
，
令t
1 m2
t
1 ，则 S△BPM
4 m2 1 3m2 4
4t 3t 2 1
4 3t 1
，
3
因为 f t 3t 1 在1, 上是增函数，所以 f t f 1 4 ，
t
4
所以△BPM 面积的取值范围为 0,1 .
设 P m.n ,由 PF 6 得 n 2 6 ，所以 n 4 ，所以 m 4
2
，则 SPFQ
1 2
FQ
m
1 44 2
2 8
2.
二、解答题
3．已知动点 P 与平面上两定点 A 2, 0 、 B 2, 0 连线的斜率的积为定值 1 . 2
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）若 F1 1, 0 ， F2 (1,0)过 F1 的直线 l 交轨迹 C 于 M 、 N 两点，且直线 l 倾斜角为 45 ，求 MF2N 的面积.
1 3
．
MN
0
4 2 3
1
1 2 3
42 3
．
3
设原点 O 到直线 l 的距离为 d ，则 d
1 2
，所以 S△OMN
1 2
MN
d
14 2 23
1 2． 23
7．已知椭圆 C :
x2 4
y2 3
1 左，右焦点分别为 F1 ， F2 ， S
为椭圆上任意一点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于
a ，解得
c
1
2
，因为 a2
b2
c2
，所以 b
1，所以椭圆
E
的方程为
x2 2
y2
1．
（2）由题可知，直线 l 与直线 BF2 关于 x 轴对称，所以 kl
kBF2
0 ．由（1）知，椭圆 E 的方程为
x2 2
y2
1，
所以
F2
1, 0 ，B 0, 1 ，所以 kBF2
1 0 0 1
1 ，从而 kl
x 轴，所以
AB
2b2 a
6 2
3，
所以 SA SB
SF2 F2 A
SF2 F2B
2 SF2
2 F2 A
32
3 2
2
27 4
，当点 S
在椭圆的左顶点时，等号成立，
27
故 SA SB 的最大值为 4 .
（2）由题可知 F2 1, 0 ，设 l : x my 1， A x1, y1 ， B x2, y2 ，则 P x2, y2 ，
值.
【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 6 . 84
（1）由题意可得 e c a
2 2
，且
6 a2
1 b2
1， a2
b2
c2 ，解得 a
2
2，b c 2，
则椭圆的方程为 x2 y2 1 ； 84
（2）由直线 l 的方程为 y x m ，则 (0, 2m) 到直线 l 的距离 d | m | ， 2
解：（1）设 A
x1, y1
， C x2 , y2 ，可得
x12 a2
y12 b2
1，
x22 a2
y22 b2
2 ，两式相减得
y12 x12
y22 x22
b2 a2
，
将
x1
x2
43 3
，
y1
y2
23 3
代入上式，即 kAC
1 2
b2 a2
， a2
2b2
，
又 c 3 ，即有 a2 b2 c2 3 ， a2 6,b2 3 ，则椭圆 E 的方程为 x3 y2 1 ； 63
（1）求椭圆的方程；
（2）求 △EOQ 面积的最小值.
【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 1 .
4
2
5
（1）依题意， 2a 4, 得 a 2, e c 3 ，c 3,b 1. 椭圆方程为 x2 y2 1 ；
a2
4
（2）设点椭圆上点 P 坐标为 (x0 , y0 ) ，切点坐标为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， 直线 AP, BP 为圆 O 的两切线，
6 ，b2
5，
所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ． 65
（2）设 A x1, y1 ， B x2, y2 ，直线 l 的方程为 x my 1 ．代入椭圆 C 的方程消去 x ，
得
5m2 6
y2
10my
25
0
，
，解得 m R
，由韦达定理得
y1
y2
10m 5m2 6
A，B
两
点.
（1）当 AF2 F2B 时，求 SA SB 的最大值；
（2）点 M 在线段 AB 上，且 AM 2MB ，点 B 关于原点对称的点为点 P ，求 △BPM 面积的取值范围.
【答案】（1） 27 ；（2） 0,1 .
4
（1）当 AF2
F2B 时， F2 为线段 AB
的中点，根据椭圆的对称性，可知 AB
8．已知椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为
6 6
，过点
F2
且斜率不为
0
的直
线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，当点 F1 到直线 l 的距离取最大值时，
AF2
5 6． 6
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若
BF2
2F2 A
∴
y
1或
y
1 3
.∴
MF2
N
1
的面积为
2
F1F2
y1 y2
4
.
3
4．已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) ，点 P(
6, 1) 是椭圆 C 上一点，离心率为
2. 2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
1
（2）直线 l： y x m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且在 y 轴上有一点 M (0, 2m) ，当 ABM 面积最大时，求 m 的
，求
F1
AB
的面积．
【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 15 2 .
65
8
解：（1）设椭圆 C 的半焦距为 c ，当点 F1 到直线 l 的距离取最大值时， l x 轴，此时
AF2
b2 a
5 6， 6
又椭圆 C 的离心率 e
6 6
，所以 e2
c2 a2
1
b2 a2
6 6
2 ，解得 a2
专题 4：圆锥曲线的面积问题（解析版）
一、单选题
1．已知
F1,
F2
是椭圆
x2 24
y2 49
1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
PF1
:
PF2
4 : 3 ，则 △PF1F2 的面积等于（
）
A．24
B．26
C． 22 2
D． 24 2
【答案】A 由题意，椭圆 a2 49 ，所以 a 7 ，所以 PF1 PF2 2a 14 ， 又 PF1 : PF2 4 : 3 ，所以 PF1 8, PF2 6 ，因为 F1F2 2 49 24 10 ，所以 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 ，
圆 O 方程为：
x2
y2
1 .
OA AP
0
，
AP
(x0
x1,
y0
y1 ), OA
(x1,
y1 )
，
OA AP x1(x0 x1) y1(y0 y1) 0 ，得到： x1 x0 y1 y0 x12 y12 1 ，
即 x1 x0 y1 y0 1，同理可得 x2 x0 y2 y0 1，
y2 0
1，所以1
x02 4
将直线 y x m 代入椭圆方程可得 3x2 4mx 2m2 8 0 ，由判别式 Δ 16m2 12 2m2 8 0 ，
解得 2
3 m 2
3
，设
A x1，y1
，
B x2，y2 ，则
x1
x2
4m 3
，
x1x2
2m2 8 3
，
由弦长公式可得 | AB |
2
x1 x2 2 4x1x2 ，
x
2
2
y2
，得
6
1 2k2
x2 6 ，则 | x |
6 1 2k 2
，
设 d1 ， d2 分别表示 B，D 到直线 AC 的距离，
所以 S ABCD
S ABC
S ACD
1 2
AC
d1 d2
23 3
1 k
x3 x4
43 3
1 k
x3
4
2
1 k 1 2k2
4
21 k 2
1 2k 2
4
1
1 4k 1 2k 2
15 8
2
，
所以 F1AB 的面积为 S
1 2
F1F2
y1 y2
1 2 15 2
2
8
15 2 8
．
9．已知椭圆 x2 y2 a2 b2
1(a b 0) ，其长轴为 4，离心率为
3 ，过椭圆上一点 P 作圆 O : x2 y2 b2 的两条切线， 2
切点分别为 A、B ，直线 AB 与 x, y 轴的交点分别为 E,Q .
1，所以直线 l
的方程为
y
0
1 x
1
，即
x
y
1
0
．
x y 1 0
联立方程 x2
2
y2
1
3x2 4x 0 ，解得 x 0 或 x
4 3
．设
M
x1,
y1
，
N
x2
,
y2
，不妨取
x1
0 ， x2
4
，
3
所以当 x1
0，
y1
1 ；当 x2
4
，
3
y2
1 ，所以 M 3
0,1
，
N
4 3
,
2
（2）直线 AC 的方程为 x y
3
x
y
0 ，联立 x2 6
y2 3
30
x 3
，解得
1
y
或
x
4
3 3
3
y
3 4
，
AC
46 3
，设 B x3, y3 ， D x4 , y4 ，且直线 BD 的斜率存在，设方程为 y kx ( k
kOC
4
)，
4
y kx
联立
由题意可知， S△BPM
1 3
S△ ABP
2 3
S△ AOB
21 32
OF2
y1 y2
1 3
y1 y2
，
x my 1
联立
x2 4
y2 3
，整理得
1
3m2 4
y2 6my 9 0 ，
由根与系数的关系得
y1
y2
6m 4 3m2
，
y1 y2
9 4 3m2
，
所 y1 y2 y1 y2 2 y1 y2 2 4 y1y2
所以
PF1
PF2
，故
△PF1F2
的面积
S
1 2
PF1
PF2
1 8 6 24 . 2
2．已知抛物线 x2 8y 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，且 PF 6 ，点 Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则 PFQ
的面积为( )
A． 20 2
B．16 2
C．12 2
D． 8 2
【答案】D 因为 x2 8y ，所以其焦点 F 0，2 ，准线为 y 2 ,所以 Q 0, 2
，①
y1 y2
25 5m2 6
，②
若
BF2
2F2 A
，则
1
x2 , y2
2 x1
1,
y1
，所以
y2
2 y1 ，
代入①②得
y1
10m 5m2
6
， 2 y12
25 5m2 6
，消去
y1 ，得
2
10m 5m2
2 6
25 5m2
6
，解得 m
2，
所以
y1 y2
3
y1
3
10 52
2 6
E：
x2 a2
y2 b2
1( a
b 0 )的左焦点为 F