山东省淄博一中高三数学上学期期末检测 文

-第一学期期末考试高三数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
1． 已知全集,R U =集合{}{}
0107,732<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂ 等于( )
()()(]()(][)()[)
+∞⋃∞-+∞⋃∞-∞+⋃∞-+∞⋃∞-,53,.,53,.C .53,.,53,.D B A 2.命题“对任意的01,2
3≤+-∈x x R x ”的否定是（ ）
.A 不存在01,23≤+-∈x x R x .B 存在01,23≤+-∈x x R x
.C 存在01,23>+-∈x x R x .D 对任意的01,23>+-∈x x R x 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,62118a a +=则=9S （ ） 54.A 45.B 36.C 27.D
4
32.A
21616.+B
48.C 23216.+D
5．已知,是非零向量，且满足,)2(,)2(⊥-⊥-则与的夹角是（ ）
6.
π
A 3.
π
B 32.
πC 65.πD 6．设,y x z +=其中y x ,满足⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）
2.-A
3.-B
4.-C
5.-D
7．设向量),25sin ,25(cos ),55sin ,55(cos ︒︒=︒︒=若t 是实数，则-的最小值为（ ）
22.
A 2
1
.B 1.C 2.D
8．已知直线,,n m 平面βα,，给出下列命题： ①若,,βα⊥⊥n m 且,n m ⊥则;βα⊥ ②若,//,//βαn m 且,//n m 则;//βα ③若,//,βαn m ⊥且,//n m 则;βα⊥
④若,//,βαn m ⊥且,//n m 则.//βα 其中正确的命题是（ ） .A ①③ .B ②④
.C ③④ .D ①④
9．函数B x A x f ++=)sin()(φω的图象如下图所示，则)(x f 的解析式与
()3()2()1()0(f f f f f S +++++= 的值分别为（ ）
2009,12sin 21)(.=+=S x x f A π
24021
,12sin 21)(.=
+=S x x f B π 24023,12sin 21)(.=+=S x x f C π 2010,12
sin 21)(.=+=S x x f D π
10．在ABC ∆中，A
C A
C A A sin sin 2cos cos 2cos sin -+=
是角C B A ,,成等差数列的（ ） .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件
.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
11．已知M 是ABC ∆内的一点，且,30,32︒=∠=∙BAC 若
MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为y x ,,2
1
，则y x 41+的最小值是（ ）
20.A 18.B 16.C 19.D 12．函数)1,0()(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21内单调递增，则a 的取值范
围（ ）
⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41.A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,49.C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛49,1.D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

将答案填写在答题卷 指定的位置。

13. 不等式02
<--b ax x 的解集是()3,2，则不等式012
>--ax bx 的解集
是 。

14．已知在平面直角坐标系中，)1,2(),1,1(),2,1(),0,0(--C B A O ，动点),(y x M 满足条件
⎪⎩⎪⎨
⎧≤⋅≤≤⋅≤-,
212
2, 则OM z ⋅=的最大值为 。

15．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若其面积)(4
1222
a c
b S -+=
，则=∠A .
16．已知下列命题：①;0=++CA BC AB ②函数)1(-=x f y 的图象向左平移1个单位后得到的函数图象解析式为)(x f y =；③函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，则函数
)(x f y =的图象关于直线1=x 对称；④满足条件1,60,3=︒=∠=AB B AC 的三角形
ABC ∆有两个，其中正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知全集,R U =集合{}
2)3(lo g 2≤-=x x A ，集合
.125⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥+=x x B
（1）求集合.,B A （2）求.)(B A C u ⋂
18．（本小题满分12分）A B C ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且
,c o s c o s c o s 2C a A c A b ⋅+⋅=
（1）求角A 的大小； （2）若,4,7=+=
c b a 求ABC ∆的面积。

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的
等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知,73=S 且1,,321-a a a 成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若,3,2,1,log 124 ==+n a b n n 求和：
n
n b b b b b b b b 14332211111-++++ 。

21．（本小题满分12分）热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层。

经测算要覆盖可使用保温层，每厘米厚的保温层材料成本为2万元，小区每年的气量损耗用ω（单位：万元）与保温层厚度x （单位：cm ）满足关系：
).100(1
2)(≤≤+=
x x k
x ω若不加保温层，每年热量损耗费用为5万元。

设保温费用与热量损耗费用之和为).(x f
（1）求k 的值及)(x f 的表达式；
(2)问保温层多厚时，总费用)(x f 最小，并求最小值。

22．（本小题满分14分）
已知关于x 的函数3
21()3
f x x bx cx bc =-
+++，其导函数()f x '. （1）如果函数4
(),3
f x 在x=1处有极值-试确定b 、c 的值；
（2）设当(0,1)x ∈时，函数()()y f x c x b =-+的图象上任一点P 处的切线斜率为k ，若
1k ≤，求实数b 的取值范围。

-第一学期期末考试
高三数学（文科）试题参考答案
一、选择题：
DCABB BBACC BB 二、填空题：（每小题4分，共16分）。

13．;3121⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-<<-x x 14.4； 15.;4π 16.③.
三、解答题：
17．解：（1）由已知得⎩⎨⎧>-≤-∴≤-034
3,4log )3(log 22x x x ，
解得{}.31,31<≤-=∴<≤-x x A x …………………………4分 由
,125≥+x 得0125≥-+x ，即02
3≥+-x x
，所以,0)3)(2(≤-+x x 且,
02≠+x 解得.32≤<-x
{}.32≤<-=∴x x B …………………………8分。

（2）由（1）可得{}.31≥-<=x x x A C U 或…………………………10分
故{}.312)(=-<<-=⋂x x x B A C U 或………………………12分。

18．解：（1） ,cos cos cos 2C a A c A b ⋅+⋅=
)
sin(sin cos 22,sin cos cos sin sin cos 2C A B A A C A C B A +=∴+=∴分
B B A sin sin cos 2=∴
21
cos ,0sin =∴≠A B ，………………………4分
又,0π<<A
.3
π
=
∴A ………………………6分 （2）由余弦定理得：
3
cos 2222π
bc c b a -+=………………………8分
bc c b -+=∴227
73)(2=-+∴bc c b 代入4=+c b 得.3=bc …………10分
所以.4
3
3sin 21=
=∆A bc S ABC …………………12分 19．解（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO ……………3分 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，
所以，PA // 平面EDB …………………………6分
（2）证明：
∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，
∴PC DE ⊥。

①………………………8分 同理由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。

而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。

②
由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

………………10分
o
而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又∵EF ⊥PB ，E DE EF =⋂∴PB ⊥平面EFD ………………………12分
：（1）由已知得：1231327
12a a a a a a ++=⎧⎨+-=⎩，解得22a =.…… …………2分
设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132
,2a a q q
=
=， 又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得121
2,2
q q ==.……4分
由题意得11,2,1q q a >∴=∴=，
故数列{}n a 的通项公式为12n n a -=. …… ………… 6分 （2）由（1）得2212=4n n n a +=,由于421log ,1,2,n n b a n +==⋯，
4log 4n n b n ∴==. …… ……………… …………8分 n
n b b b b b b b b n n )1(1
32121111111433221-+
+⨯+⨯=++++- 1111111111223341n n n
=-+-+-++-=-- …… ………… 12分
21．解：（1）由题意知.5,5)0(=∴=k ω…… …………2分
).100(1
2100
2201252)(≤≤++=⨯++
=∴x x x x x x f …… …………6分。

（2）.19120112100
)12(121002)(=-≥-+++=++=x x x x x f …………9分
当且仅当,1210012+=+x x 即2
9
=x 时，等号成立。

………………11分
所以保温层的厚底为2
9
厘米时，总费用最小，最小为19万元。

…………12分。

22．解：（1）2'()2f x x bx c =-++
因为函数()f x 在1x =处有极值43
-
所以'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩
……………………3分
解得11b c =⎧⎨=-⎩或13b c =-⎧⎨=⎩………………………………4分
（i ）当1,1b c ==-时，2'()(1)0f x x =--≤ 所以()f x 在R 上单调递减，不存在极值
（ii ）当1,3b c =-=时，'()(3)(1)f x x x =-+-
(3,1)x ∈-时，'()0f x >，()f x 单调递增 (1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减
所以()f x 在1x =处存在极大值，符合题意 综上所述，满足条件的值为1,3b c =-=
…………7分
（2）当(0,1)x ∈时，函数321
()()3
y f x c x b x bx =-+=-+
设图象上任意一点00(,)P x y ，则02
000'|2,(0,1)x x k y x bx x ===-+∈
因为1k ≤，
所以对任意0(0,1)x ∈，2
021x bx -+≤恒成立…………9分 所以对任意0(0,1)x ∈，不等式2
00
1
2x b x +≤恒成立
设21()2x g x x +=，则2
(1)(1)
'()2x x g x x -+=
当(0,1)x ∈时，'()0g x < 故()g x 在区间(0,1)上单调递减
所以对任意0(0,1)x ∈，0()(1)1g x g >=……………………12分 所以1b ≤
………………………………14分。