3.2 导数的应用(一)

3.2 导数的应用（一）
一、选择题
1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )． A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x －y －1＝0
解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案 D
2．函数y ＝4x 2＋1
x
的单调增区间为( )． 学科
A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－12
解析 由y ＝4x 2＋1x 得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >1
2，
∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞上递增．
答案 B
3．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所 示，则( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值 C ．f (x )是R 上的增函数
D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
解析：由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数． 答案：C
4．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )．
A ．e
B ．－e C.1e D ．－1
e
Zxxk
解析 设(x 0，ln x 0)是曲线y ＝ln x 与直线y ＝kx 的切点， 由y ′＝1x 知y ′|x ＝x 0＝1
x 0
由已知条件：ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e ，k ＝1
e .
答案 C
5．函数f (x )＝ax 3
＋bx 在x ＝1
a
处有极值，则ab 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析 f ′(x )＝3ax 2
＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D.
答案 D
6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )． A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)
D ．f (0)＋f (2)>2f (1)
解析 不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎨
⎧
x －1≥0，
f
x 或⎩⎨
⎧
x －1≤0，
f
x
可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此
f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案 C
7．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
解析 设g (x )＝f (x )－2x －4，由已知g ′(x )＝f ′(x )－2＞0， 则g (x )在(－∞，＋∞)上递增，又g (－1)＝f (－1)－2＝0， 由g (x )＝f (x )－2x －4＞0，知x ＞－1. 答案 B 二、填空题
8．设函数f (x )＝x (e x
＋1)＋12
x 2
，则函数f (x )的单调增区间为________．
解析：因为f (x )＝x (e x
＋1)＋12
x 2，
所以f ′(x )＝e x ＋1＋x e x ＋x ＝(e x ＋1)·(x ＋1)． 令f ′(x )>0，即(e x ＋1)(x ＋1)>0，解得x >－1. 所以函数f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)
9．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．
解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，
当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值． 答案 2
10．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
解析 ∵f ′(x )＝5ax 4
＋1
x
，x ∈(0，＋∞)，
∴由题意知5ax 4
＋1
x
＝0在(0，＋∞)上有解．
即a ＝－1
5x
5在(0，＋∞)上有解．
∵x ∈(0，＋∞)，∴－1
5x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． Zxxk
答案 (－∞，0)
11．函数f (x )＝x ax －x 2(a >0)的单调递减区间是________．
解析 由ax －x 2≥0(a >0)解得0≤x ≤a ，即函数f (x )的定义域为[0，a ]，f ′(x )＝3ax －4x 22ax －x 2＝－2x ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3a 4ax －x 2，由f ′(x )<0解得x ≥3a 4，因此f (x )的单调递减区间
是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3a 4，a . 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3a 4，a
12．已知函数f (x )＝x 2(x －a )． 学科 若f (x )在(2,3)上单调则实数a 的范围是________；
若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的范围是________． 解析 由f (x )＝x 3－ax 2得f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2a 3.
若f (x )在(2,3)上不单调，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
2a
3≠0，
2<2a 3<3，解得：3<a <9
2
.
答案 (－∞，3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，92 三、解答题 学科 13. 已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2
.
(1)求a ，b 的值；
(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．
解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，
所以f ′(x )＝2ax ＋b
x
.
又函数f (x )在x ＝1处有极值1
2
，
所以⎩⎨⎧
f ＝0，f
＝12
.即⎩⎨⎧
2a ＋b ＝0，a ＝12，
解得⎩⎨
⎧
a ＝12，
b ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1
x
＝
x ＋x －
x
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以函数y ＝f
14．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；
(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .
令f ′(x )>0，得e x >a ，
当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立； 当a >0时，有x ≥ln a .
综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .
∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立， 学#科#网Z#X#X#K]
即a ≤e x
，x ∈R 恒成立．
∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 即a 的取值范围为(－∞，0]． 15．已知函数f (x )＝x 3－ax －1
(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由． 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－a
由Δ≤0，即12a ≤0，解得a ≤0，
因此当f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增时，a 的取值范围是(－∞，0]． (2)若f (x )在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x ∈(－1,1)不等式f ′(x )＝3x 2－a ≤0恒成立 即a ≥3x 2，又x ∈(－1,1)，则3x 2<3因此a ≥3
函数f (x )在(－1,1)上单调递减，实数a 的取值范围是[3，＋∞)． Z+xx+k 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的
t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
f x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求
m 的取值范围．
解析 (1)根据题意知，f ′(x )＝
a －x
x
(x ＞0)，
当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．
(2)∵f ′(2)＝－a
2
＝1，∴a ＝－2，
∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3. Z,xx,k ∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
m 2＋2x 2－2x ，
∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.
∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎨⎧
g t ＜0，g
＞0.
由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，
∴⎩⎨⎧
g ＜0，g ＜0，g
＞0，
∴－
37
3
＜m ＜－9. 【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域； 第二步：求函数f x 的导数f x ；
第三步：求方程f x ＝0的根；
第四步：利用f
x ＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺序将定义域分成
若干个小开区间，并列出表格； Z+xx+k 第五步：由f x 在小开区间内的正、负值判断f x 在小开区间内的单调
性；
第六步：明确规范表述结论.。