高中数学知识点精讲精析 椭圆的简单性质

1.2 椭圆的简单性质
1．我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。

当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0
，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆。

可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。

2．．椭圆的顶点：
曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。

同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。

另外我们将a,b 叫半长轴长和半短轴长。

3．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。

4．椭圆的对称性：
椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。

1 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
【解析】
由x y x 63222=+，得
123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭
⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
设m x y x =++222，则
()1122
+=++m y x 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．
∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．
2 已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，
120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使
120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据 120=∠AQB 得到32222-=-+a
y x ay ，将222
22y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
【解析】
（1）设()0，
c F ，()0，a A -，()0，a B ．
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b
a y a x
b
c x 2222222， 于是()a c a b k AP +=2，()
a c a
b k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．
∴()()()
2222242
221tan c a a c a b a c a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a >
∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．
（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，a
x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角． ∴2
222
2221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠ ∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+a
y x ay 整理得()
023222=+-+ay a y x ∵222
2
2y b a a x -= ∴0213222=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-ay y b a ∵0≠y ， ∴22
32c
ab y = ∵b y ≤， ∴b c
ab ≤22
32 232c ab ≤，()
222234c c a a ≤-
∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴13
6<≤e ． 3 已知椭圆19
822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．
【解析】
当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1=
e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=
e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
4 已知椭圆1422
22=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由142222=+b
y b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得
b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11
，1d 为P 到左准线的距离， ∴b e PF d 321
1==，
即P 到左准线的距离为b 32．
解法二：∵e d PF =2
2
，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 3322
2=
=． 又椭圆两准线的距离为b c a 3
3822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 323
32338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
5 设椭圆⎩⎨⎧==.
sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．
分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．
【解析】 设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3
π， ∴α
απ
cos 4sin 323tan =，即2tan =α． 而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =
α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(
．。