高考数学提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题及答案

高考数学提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题
及答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是
（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则1
42
k <<-4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx
x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04222=2k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k 的取值范围为：
1
4222
k <<-； 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得0224
2=k x ⎧=-⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
2．已知21,1,()ln ,
1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当5
8k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12
t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当58k =时，此时1
2t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
3．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
4．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<<
所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
5．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨
∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足
()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐
标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2
[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
7．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
8．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22
,2()
23
22,02x f x x x x x ⎧>⎪
=-⎨⎪-+<≤⎩
，下列叙述正确的是（ ）
A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根
B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >
C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2
a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32
m =- 【答案】AC 【分析】
根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】
函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：
2
22
,22322,20()0,022,022
,223
x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪
==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩
绘制该函数的图象如所示：
对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；
对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2
， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2
a ∈，故C 正确
对D ：3()2f x =
时，函数的零点有136x =、21x =+、2
1x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32
m =-
或3
8m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误
故选：AC 【点睛】
本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
9．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．
121x y z
+= C ．4x y z +> D ．24xy z <
【答案】AC 【分析】
令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：
111
log 3log 4log 12m m m x y z
===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】
由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111
x y z
+=，故选项B 错误； 对于选项A ，
124
log 12log 9log 03
m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064
m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；
对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xy
z x y =+，所以()
()
()
()
2
2
2222
2
440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--=
=-
<++，
所以2
4xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；
故选：AC. 【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本
题解题的关键在于令34121x
y
z
m ===>，进而得
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===，再根据题意求解.
10．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判
断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 在定义域上单调递增
C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >
D ．
()()()()()()()()()()()
()
2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算
(2)
(21)
f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．
【详解】
令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；
对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则
0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，
∴对于任意x ∈R ，2
()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，
11111111121n
n n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭
个
个，∴11f n ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 同理()(111)(1)(1)
(1)21n f n f f f f =++
+==>，
对任意正有理数p ，显然有m p n
=
（,m n
是互质的正整数），则1()1m
m f p f f
n n ⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,
p p p 的极限，而()1i f p >，
i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，
设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则
21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；
由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)
2(21)
f n f n =-，
∴
()()()()()()()()()()()
()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．
11．一般地，若函数()f x 的定义域为[]
,a b ，值域为[]
,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结
论正确的是（ ）
A ．若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间，则2b =
B ．函数()1
1f x x
=+
存在跟随区间 C ．若函数(
)f x m =1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
D ．二次函数()2
12
f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】
根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间,因为()2
22f x x x =-+在区间[]
1,b 为增
函数,故其值域为2
1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2
22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1
b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+
在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1
1f x x
=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,
解得：12
12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
故存在, B正确.
对C, 若函数(
)
f x m
=[],a b,因为(
)
f x m
=,故由
跟随区间的定义可知
b m
a b
a m
⎧=-
⎪
⇒-=
⎨
=
⎪⎩
a b
<
即(
)()()
11
a b a b a b
-=+-+=-,因为a b
<,
1
=.
易得01
≤<.
所以(1
a m m
=-=--,
令t=20
t t m
--=,
同理
t=20
t t m
--=,即20
t t m
--=在区间[]
0,1上有两根不相等的实数根.
故
140
m
m
+>
⎧
⎨
-≥
⎩
,解得
1
,0
4
m
⎛⎤
∈- ⎥
⎝⎦
,故C正确.
对D,若()2
1
2
f x x x
=-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b,值域为[]
3,3
a b.当
1
a b
<≤时,易得()2
1
2
f x x x
=-+在区间上单调递增,此时易得,a b为方程2
1
3
2
x x x
-+=的两根,求解得0
x=或4
x=-.故存在定义域[]
4,0
-,使得值域为[]
12,0
-.故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
12．已知函数
1
(),
f x x
x
=+2
2
1
()
g x x
x
=+则下列结论中正确的是（）
A．()()
f x
g x
+是奇函数B．()()
f x
g x
⋅是偶函数
C．()()
f x
g x
+的最小值为4D．()()
f x
g x
⋅的最小值为2
【答案】BC
【分析】
利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.【详解】
2
2
11
()()
f x
g x x x
x x
+=+++
()
22
22
1111
()()()
f x
g x x x x x
x x x
x
∴-+-=-++-+=+++
--
()()()()
f x
g x f x g x
∴+=-+-
()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->
，得3t >
或3
t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
13．已知函数21,01()(1)1,1
x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n
⎡⎤⎣⎦
(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21
12
2n n n b --=+
D ．(1)
2
n n n b +=
【答案】BC 【分析】
先推导出()f x 在[)(
)*
,1n n n N
+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出
()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .
【详解】
因为当[)0,1x ∈时，()21x
f x =-，所以当[)1,2x ∈
时，[)10,1x -∈，
则()1
12
1x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，
即[
)10,1x -∈时，[
)10,1x -∈，()1
2x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()2
1121x f x f x -=-+=+；
当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()3
1122x f x f x -=-+=+；
………
故当[
),1x n n ∈+时，()()2
1x n
f x n -=+-，
当21,2n n
x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()212
22n x n f x --=+-. 所以()20202020f =，故B 正确；
作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n
⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：
0,1,2,3,4,5,6,
,2n
则
()()121122101222221222
n n n n n n n n b ---+=+++++=
=+=+，故C 正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）
A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-
B ．函数在定义域R 上为增函数
C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞
D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立
【答案】BC 【分析】
对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】
对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，
又()f x 是奇函数，所以2
()()2f x f x x x =--=+，
即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+，故A 错；
对于B ，2
()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由
奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；
对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2
()23f x x x =+=，解得11x =，
23x =-（舍去），即(1)3f =，
所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<， 又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <， 所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2
()2f x x x =-+
2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，
当(0,)x ∈+∞时，2
()2f x x x =+
222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；
故选：BC 【点睛】
方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
15．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[]
,m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．(
)f x =B ．()222f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD 【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区
间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，
可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()2
2
2222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩
，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010
m
n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧
=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 21111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+，
即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，
单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， 不妨令122
m n ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
16．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
17．设函数2,0()1
2,0
2x e x
f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A ．当223b =-+时，方程有1个实根
B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()132,01,0
22x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为2
20b bt t +-=-，即2
22()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
310t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当
()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（
1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，2
2
2
()2422b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
18．已知函数()22,1
,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩
，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()2
2,1
,1
a a f a a a -≥⎧=⎨
<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =；
综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
19．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈
B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1
C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4
D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；
对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；
对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4，故选项C 正确；
对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点
()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当
1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，
故选：BC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.。