九年级数学上册全册期末复习试卷测试题(Word版 含解析)

九年级数学上册全册期末复习试卷测试题（Word 版 含解析）
一、选择题
1．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3
B ．6
C ．5
D ．7
2．当函数2(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a = B ．1a =-
C ．1a ≠-
D ．1a ≠
3．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误
的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a
AO β
=
C ．tan BC a β=
D ．cos a
BD β
=
4．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则
:CD BD =（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:4
D ．1:3
5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
6．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A．（－2，1）B．（－2，－1）C．（2，1）D．（2，－1）
7．若x=2y，则x
y
的值为（）
A．2 B．1 C．1
2
D．
1
3
8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BC的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．50°
9．已知
5
2
x
y
=，则
x y
y
-
的值是（）
A．1
2
B．2 C．
3
2
D．
2
3
10．已知反比例函数
k
y
x
=的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限11．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为()
A．10πB．10 3
C．10
3
πD．π
12．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若70
ADB︒
∠=，则ABC
∠的度数是（）
A ．20︒
B ．70︒
C ．30︒
D ．90︒
13．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角
14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
15．已知函数2
y x bx c =-++的部分图像如图所示，若0y >，则的取值范围是（ ）
A ．41x -<<
B ．21x -<<
C ．31x -<<
D ．31x x <->或
二、填空题
16．一元二次方程2
9
0x 的解是__．
17．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.
18．二次函数y=x 2−4x+5的图象的顶点坐标为 ．
19．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．
20．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2
(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
21．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长
10m ，则旗杆高为______．
22．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=
45
，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；
23．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
24．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．
25．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．
26．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
27．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2
(2)x n +=，则n 的值为______.
28．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝3：4：5，⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，若
⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，则△ABC 的周长为_____．
29．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.
30．若关于x 的一元二次方程22
(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.
三、解答题
31．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组． （1）甲分到A 组的概率为 ； （2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．
32．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ． （1）求证：∠D ＝∠F ；
（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）
33．某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y （件）与单价x （元/件）之间存在一次函数关系y ＝﹣2x +800（200＜x ＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？ （2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ 34．如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是
O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．
（1）求证：AC 是
O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标
注后用数字表示）； （2）若
O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．
35．数学概念
若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是
ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念
（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足
180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的
边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =
深入思考
（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点
Q .（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
四、压轴题
36．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
37．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．
（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，
T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围，
（3）已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭
+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 38．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：
（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．
39．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
40．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝
4
5
，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，
设运动时间为t （秒）．请解答下列问题： （1）当CP⊥OA 时，求t 的值；
（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；
（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据众数的概念求解． 【详解】
这组数据中5出现的次数最多，出现了2次， 则众数为5． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】
解：∵2
(1)y a x bx c =-++是二次函数,
∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】
本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、BDC DCAβ
∠=∠=∠,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=DC
AC
, ∴cosβ=
2
a
AO
,∴AO=
2cos
a
，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC
DC
, ∴ tanβ=
BC
a
∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=DC
DB
, ∴ cosβ=
a
BD
∴
cos
a
BD
β
=，故D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴
1
2 CD CA
CA CB
,
∴CA=2CD,CB=2CA,∴CB=4CD,
∴BD=3CD,
∴
1
3 CD
BD
.
故选：D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．6．D
解析：D
【解析】
【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．7．A
解析：A
【解析】
【分析】
将x=2y代入x
y
中化简后即可得到答案.
【详解】
将x=2y代入x
y
得：
2
2
x y
y y
==，
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式代入求值，正确计算即可.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=
AC BC，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【详解】
∵BC的度数为50°，
∴∠BOC=50°，
∵半径OC⊥AB，
∴=
AC BC，
∴∠ADC=1
2
∠BOC=25°．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．
【详解】
解：∵
5
2 x
y
=
∴x=5k（k≠0），y=2k（k≠0）
∴
523
22 x y k k
y k
--
==
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：将点（m ，3m ）代入反比例函数k y x
=
得， k=m•3m=3m 2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选B ． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +=
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， 则顶点A 所经过的路径长为601010π⨯=． 故选C.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．
【详解】
连接AC ，如图，
∵BC 是O 的直径，
∴90BAC ︒∠=，
∵70ACB ADB ︒∠=∠=， ∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．
故答案为20︒．
故选A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
13．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D 给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 故选C.
14．D
解析：D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象． 故选D ．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
15．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），然后观察函数图象，找出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝−1，与x 轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），
∴当−3＜x ＜1时，y ＞0．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x轴的交点.
二、填空题
16．x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一
解析：x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
x-=
∵290
∴2x=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 17．【解析】
【分析】
通过延长MN交DA延长线于点E，DF⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM长，根
1
【解析】
通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.
【详解】
如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD,
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,
∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,
∵AN=BN,
∴△EAN ≌BMN,
∴AE=BM,EN=MN,
∵90DNM ∠=︒,
∴DN ⊥EM,
∴DE=DM,
∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF
∴△ABM ≌△DCF,
∴BM=CF,
设BM=x,则DE=DM=4+x,
在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,
在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,
∴(4+x)2-42=4 2-x 2,
解得，x 1=2,x 2=23
2（不符合题意，舍去）
∴DM=2，
∴90DNM ∠=︒
∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM, ∴其外接圆的半径长为1312DM .
31.
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X 字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.
18．（2，1）
【解析】
【分析】
将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】
将二次函数配方得
则顶点坐标为（2，1）
考点：二次函数的图象和性质．
解析：（2，1）
【解析】
【分析】
将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】
将二次函数245y x x =-+配方得2
2()1y x =-+
则顶点坐标为（2，1）
考点：二次函数的图象和性质． 19．-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点
关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B 两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB 的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
20．【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
解析：12y y >
【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为> 21．20m
【解析】
【分析】
根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设旗杆的高度为xm ，
根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10，
解得．
故答案是：20m ．
解析：20m
【解析】
【分析】
根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设旗杆的高度为xm，
根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80x
=：10，
解得x20
=．
故答案是：20m．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22．3或9 或或
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90，
∵sin∠C
解析：3或9 或2
3或34
3
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90︒，
∵sin∠CAB=4
5
，
∴
4
5 BC
AB
=,
∵AB=10，
∴BC=8，
∴6 AC===,∵点D为BC的中点,
∴CD=4.
∵∠ACB=
∠DCE=90︒,
①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图 ∴1AC BC CE CD =，即1684
CE =， ∴CE 1=3，
∵点E 1在射线AC 上，
∴AE 1=6+3=9，
同理：AE 2=6-3=3.
②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图
∴3AC BC CD CE =，即3
684CE =， ∴CE 3=163
， ∴AE 3=6+
163=343, 同理：AE 4=6-163=23
. 故答案为：3或9 或
23或343. 【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.
23．①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab ＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+b
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-
2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
24．18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19
解析：18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，
∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19，
故答案为：6.18＜x ＜6.19．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．
25．10
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则OA
解析：
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO
=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键．
26．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 27．7
【解析】
【分析】
根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟
解析：7
【解析】
【分析】
根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】
解：∵2430x x +-=，
∴243x x +=，
∴2447x x ++=，
∴2
(2)7x +=，
∴7n =；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.
28．30
【解析】
【分析】
如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ
解析：30
【解析】
【分析】
如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM ，DG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，继而则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，从而可知DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN ，∠PEF ＝90°,根据题意可知四边形CPEQ 是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得△DEF ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可知：DE ∶EF ∶FD ＝AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，进而根据圆心O 运动的路径长列出方程，求解算出DE 、EF 、FD 的长，根据矩形的性质可得：GP 、QN 、MH 的长，根据切线长定理可设：AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长，进而根据AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5列出比例式，继而求出x 、y 的值，进而即可求解△ABC 的周长．
【详解】
∵AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，
设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝5a （a ＞0）
∴()()()222
222=345AC CB a a a BA ++==
∴△ABC 是直角三角形，
设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示，
连接DE 、EF 、DF ，
设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，
连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，
根据切线性质可得：
AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM
DG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，
∴DG ∥EP ，EQ ∥FN ，FM ∥DH ,
∵⊙O 的半径为1
∴DG＝DH＝PE＝QE＝FN＝FM＝1，
则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，
∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN,∠PEF＝90°又∵∠CPE＝∠CQE＝90°, PE＝QE＝1
∴四边形CPEQ是正方形，
∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，
∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，
∴DE+EF+DF＝18，
∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，
∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，
设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，
∵DE+EF+DF＝18，
∴3k+4k+5k＝18，
解得k＝3
2
，
∴DE＝3k＝9
2
，EF＝4k＝6，DF＝5k＝
15
2
，
根据切线长定理，
设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，
则AC＝AG+GP+CP＝x+9
2
+1＝x+5．5，
BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，
AB＝AH+HM+BM＝x+15
2
+y＝x+y+7．5，
∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，
∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，
∴AC+BC+AB＝30．
所以△ABC的周长为30．
故答案为30．
【点睛】
本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O 的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．
29．140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
解析：140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
30．0
【解析】
把x ＝1代入方程得，，
即，
解得.
此方程为一元二次方程，
，
即，
故答案为0.
解析：0
【解析】
把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=，
即20k k -=，
解得120,1k k ==.
此方程为一元二次方程，
10k ∴-≠，
即1k ≠，
0.k ∴=
故答案为0.
三、解答题
31．（1）1
3
；（2）
1
3
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；
（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】
解：（1）1 3
（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)
＝1
3
．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
32．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝
∠DCE，进而可得结论；
（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如图所示：
点P即为所求作的点．
证明：作BC和BF的垂直平分线，交于点O，
作△FBC的外接圆，
连接BO并延长交AD于点P，
∴∠PCB＝90°
∵AD∥BC
∴∠CPD＝∠PCB＝90°
由（1）得∠F＝∠D
∵∠F＝∠BPC
∴∠D＝∠BPC
∴△BPC∽△CDP．
【点睛】
此题主要考查圆的综合应用，解题的关键是熟知平行四边形的性质、外接圆的性质及相似三角形的判定与性质.
33．（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【解析】
【分析】
（1）根据“总利润=每件的利润×销量”列出一元二次方程即可求出结论；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，根据“总利润=每件的利润×销量”即可求出w与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】
（1）根据题意得，（﹣2x+800）（x﹣200）＝15000，
解得：x1＝250，x2＝350，
答要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，
根据题意得，w＝y（x﹣200）＝（﹣2x+800）（x﹣200）＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x ﹣300）2+20000，
∵﹣2＜0，
∴当x ＝300时，获得最大利润为20000元，
答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
34．（1）见解析；（2）1207AC =
【解析】
【分析】
(1)如图连结OC ，先证得4390∠+∠=︒，即可得到OC AC ∴⊥，即可得到AC 是O 的切线；
(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，先证明OBE DBA ∆∆∽得到34AB BE AD OE ==，设3,4AB x AD x AC ===,在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：
2225(4)(53)x x +=+解出方程即可求得答案．
【详解】
证明：(1)如图，
连结OC ，则OB OC =，
∴23∠∠=，
∵12∠=∠，
∴13∠=∠，
∵AC AD =，∴4D ∠=∠，而OA l ⊥，
∴190D ∠+∠=︒，
即有4390∠+∠=︒，
∴OC AC ⊥，故AC 是O 的切线；
(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，∵OB OC =, ∴23∠∠=，
13,2
BE BC ==而5OB =，由勾股定理，得：4OE =， 在OBE △和DBA 中，
∵12∠=∠，90OEB DAB ∠=∠=︒，
∴OBE DBA ∆∆∽， ∴
34
AB BE AD OE ==， 设3,4AB x AD x AC ===， 在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：222
5(4)(53)x x +=+ 解得：30,07
x x =
=（舍去）， ∴1207
AC =． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用和切线的性质定理，勾股定理应用，是综合性题目．
35．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤
【解析】
【分析】
（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；
（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；
②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；
（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；
（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．
【详解】
（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时，
∴BPC ∠=APB ∠=100°
（ii ）若BPC CPA ∠=∠时，
∴12
BPC CPA ∠=∠=
（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，
BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°，
综上所述：BPC ∠=100°、130°或160°
故答案为：100、130或160．
（2）选择①：。