人教版八年级(下)学期 第二次月考检测数学试题含答案

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ，下列四个结论：①CE=CB ；②AE=2OE ；③OF=12
CG ,其中正确的结论只有( )
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①②
2．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形连接AC 交EF 于G ，下列结论: ①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC ⊥EF ，④BE+DF ＝EF ，⑤EC ＝FG ；其中正确结论有( )个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；
③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
5．如图，一张长方形纸片的长4=AD ，宽1AB =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，将四边形ABFE 沿着EF 折叠后，点B 落在边AD 的中点G 处，则EG 等于（ ）
A ．3
B ．23
C ．178
D ．54
6．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（ ）
A ．2
B ．125
C ．3
D ．4
7．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB =3 ，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）
A 3
B ．3
C ．2
D ．38．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点
E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长E
F 交边BC 于点
G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG≌△AFG；
②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=72
5
.其中正确结论的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）
A．0.5 B．2.5 C．2D．1
10．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25
AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．
13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
14．已知在矩形ABCD 中，3,3,2
AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．
15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．
16．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
17．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （30），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
18．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.
19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．
20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则
EM =______；EDM 的面积为______，
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN 的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则
CF BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
22．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．
24．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；
②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．
①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程： （2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G
则90CGB ∠=
90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，
AB BC =，90ABC ∠=
则90CBG ABO ∠+∠=
GCB ABO ∴∠=∠
在CBE ∆与ABE ∆中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．
26．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．
27．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．
（1）求m ，n 的值；
（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______；
（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．
28．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．
(1)求G 点坐标
(2)求直线EF 解析式
(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由
29．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证
△ECG≌△BCG，可得2OE；根据直角三角形性质得OF=1
2
BE=
1
2
CG.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=1
2
∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴2OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴2OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=
12BE=12
CG ． 故③正确． 故正确的结论有①②③．
故选A ．
【点睛】
运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
2．B
解析：B
【分析】
根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF 等边三角形，
∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF AB AD ⎧⎨⎩
＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF （故①正确）．
∠BAE=∠DAF ，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，
∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．
设EC=FC=x ，由勾股定理，得:
,EF CG FG x ===
, ∴EC ≠FG （⑤错误）
在Rt △AEG 中，
sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG ︒︒︒===⨯=,
2
AC ∴=,
AB ∴=
,
BE x ∴==,
BE DF x ∴+=-≠，（故④错误），
综上所述，正确的结论为①②③，共3个，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠EAD=∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，
∵AB=AE ，
∴△ABE 是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE ，BC=AD ，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；
⑤正确；
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
4．D
解析：D
【分析】
由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.
【详解】
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，AB=AD，
∵∠BAC=30°，知
∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC，
∵F为AC的中点道，
∴AC=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△DAF，
∴FD=AC，
∴∠ADF=∠BAC=30°，
∴DF⊥AB，故②正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴FG∥BC，
∵F是AB的中点，
∴GF=1
2 BC，
∵BC=
12AC ，AC=CE ， ∴GF=14
CE ，故④说法正确； ∵AE=CE ，CF=AF ，
∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，
∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，
∴∠EFC=∠DAF ，
∵DF ⊥AB ，
∴∠ADF=30°，
∴∠CEF=∠ADF ，
∴△ECF ≌△DFA （AAS ），
∴AD=EF ，
∵FD=AC ，
∴四边形属ADFE 为平行四边形，
∵AD≠DF ，
∴四边形ADFE 不是菱形；
故①说法不正确；
∴AO=
12AF ， ∴AO=12
AC ， ∵AE=AC ，
则AE=4AO ，故③说法正确，
故选D ．
【点睛】
本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.
5．D
解析：D
【分析】
连接BE ，根据折叠的性质证明△ABE ≌△A GE '，得到BE=EG ，根据点G 是AD 的中点，AD=4得到AE=2-EG=2-BE ，再根据勾股定理即可求出BE 得到EG.
【详解】
连接BE ，
由折叠得：AE A E '=，A A '∠=∠=90°，AB A G '=,
∴△ABE ≌△A GE ',
∴BE=EG,
∵点G 是AD 的中点，AD=4，
∴AG=2，即AE+EG=2，
∴AE=2-EG=2-BE ，
在Rt △ABE 中，222BE AE AB =+，
∴ 222(2)1BE BE =-+,
∴EG=5BE 4
=
， 故选：D.
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等，目的是证得EG=BE ，由此利用勾股定理解题.
6．A
解析：A
【分析】
根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE 为直角三角形，延长BE 构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF 的平方即可.
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=5，
如图，延长BE 交CF 于点G ，
∵AB=5，AE=4，BE=3，
∴AE 2+BE 2=AB 2，
∴△ABE 是直角三角形，
同理可得△DFC 是直角三角形，
∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，
∴△ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠DCF,
∵∠ABC=∠AEB=902，
∴∠CBG=∠BAE，
同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，
△ABE≌△BCG，
∴CG=BE=3，BG=AE=4，
∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，
∴EF2=EG2+GF2=1+1=2
故选择:A
【点睛】
此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．
解：连接CC1.
在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB3
∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠C1AE=∠AEB=60°，
∴△AEC1为等边三角形，
同理△CC1E也为等边三角形，
∴EC=EC1=AE=2，
∴BC=BE+EC=3，
故选B.
8．D
解析：D
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得
∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明
∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=3
5GCE S
即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，
得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵S△FCG=3
5GCE
S
∆
=
3
24
5
⨯=
72
5
．
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
9．B
解析：B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，
从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则
135
1=2.5
222
CM MP CP HE EC
=+=+=+=.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.
【详解】
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝1
3
×12＝4，
∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝4，
∴S阴＝4．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
=-=-=,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，
在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12
EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
13．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，
∴m=MC ，，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=
12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14【分析】 根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32
∴
当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92
∴223
922+（）（）3102
3223102
【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
15．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴
AE =
． ∵
AD =，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16
．【分析】
作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出
，即可求得BD 的长．
【详解】
解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF 是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF ，
在△ABE 和△CBF 中，
BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （AAS ），
∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，
∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴10(cm)，
∴25．
故答案为：5
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
1719【分析】
先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，
23OB ∴=
四边形ABCD 是菱形，
OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==， 点P 是对角线OC 上的点，
DP BP ∴=，
EP BP EP DP ∴+=+， 由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，
BOD ∴是等边三角形，
DA OB ⊥，
132
OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，
又(0,1)E -，
22(30)(31)19DE ∴=-++=，
即EP BP +的最小值为19，
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．
18．9或31)．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，
∵菱形ABCD 的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，
∴CF=1
2
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴EC=EF+FC=3632
则△ACE的面积为：1
2
EC×AF=
1
(3632)329(31)
2
⨯⨯=．
故答案为：9或31)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
19．8或3
【分析】
根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．
【详解】
解：①当AE和DF相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF=BC＋EF
∴2AB=11＋5
解得：AB=8；
②当AE和DF不相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF＋EF =BC
∴2AB＋5=11
解得：AB=3
综上所述：AB=8或3
故答案为：8或3．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．
20．23
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222
EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2
∴122
EDM S =⨯=
故答案是：2
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
三、解答题
21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2；（3）241n -
【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，n=1，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE=BF；
②结论：AG=BF+AE．
理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，
由（1）可知AE=BK，
∵AH=AD，AK⊥HD，
∴∠HAK=∠DAK，
∵AD∥BC，
∴∠DAK=∠AKG，
∴∠HAK=∠AKG，
∴AG=GK，
∵GK=GB+BK=BF+AE，
∴AG=BF+AE；
（2）如图3中，设AB=a，AD=na，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，
当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，
∵AD ∥BH ，
∴∠ADE=∠H ，
∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，
∴△AED ≌△BEH （ASA ），
∴AD=BH=2kn ，
∴CH=4kn ，
∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，
∴∠H=∠EDF ，
∴FD=FH ，设DF=FH=x ，
在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，
∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，
∴2
142n x k n
+=⋅，
∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n
-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BF
n
-⋅==-， 故答案为：241n -．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
22．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ CF ∥ED ，
∴ ∠FCG ＝∠EDG ，
∵ G 是CD 的中点，
∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），
∴ FG ＝EG ，
∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，
理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM ，
在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBA ≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF 是平行四边形，
∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，
∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3，
∴AE=AD-DE=5-3=2，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.
23．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．
【分析】
（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，
则122AD AC CD t =-=-，
∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12
DF CD t =
= （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ，。