三角函数与解三角形 测试卷-2019年高考数学一轮复习江苏版测试卷

三角函数与解三角形
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、填空 1.已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭__________． 【答案】7
【解析】4
1
tan tan
34tan()7441tan tan 143
π
απαπα----===+-．
2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________． 【答案】
3
π
3.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
，
将函数()y f x =的图象向右平移2
3
π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于___________． 【答案】3
【解析】平移后得22()sin[()]sin()3333g x x x πππωπωω=-
+=+-，由题意22,3
k k Z ωππ-=∈，3(0k k Z ω=-∈且k ＜），最小值为3．
4.函数y ＝2sin (2)6
x π
-与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．
【答案】6
x π
=-
【解析】由题意得2()()6
2
3
2
k x k k Z x k Z π
π
π
π
π-
=
+∈⇒=
+
∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是6
x π
=-
5.已知π(0,
)2α∈，π(,π)2β∈，1
cos 3α=，5
3)sin(-=+βα，则cos β= ▲ ． 【答案】15
2
64+-
413cos cos()cos()cos sin()sin 535βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-=15264+-
6.函数3sin(2)4
y x π
=+
的图象向左平移ϕ（02
π
ϕ<<
）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，
则ϕ= ． 【答案】
38
π
【解析】由题意得3sin(2())4
y x π
ϕ=++
关于原点成中心对称，即
2()()4
28k k k Z k Z π
ππϕπϕ+
=∈⇒=
-∈，因为02πϕ<<，所以ϕ=38
π 7.若函数()sin()6f x x π
ω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3
f π
的值是 . 【答案】
1
2
【解析】2212,()sin()3362
f π
πππωπ=
==+= 8.已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4
cos 5
α=-，则m 的值为 ． 【答案】
12
【解析】由题意得
41cos 52m α=
=-⇒=
9.若(0,)2π
α∈，cos()24
π
αα-=，则sin 2α= ．
【答案】
1516
【解析】
试题分析：cos(
)2(cos sin )sin )(cos sin )4
2π
αααααααα-=⇒
+=-+，因为(0,)2
πα∈，所以11152(cos sin )1sin 2sin 22
16
16
αααα=-⇒=-⇒=
10.设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得
()()f m g m =，则a b += ．
【答案】4
11.设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，若,,A B C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】(]1,2
【解析】∵,,A B C 依次成等差数列，∴3B π
=，22222
2cos 2a c a c b ac B ac ++-==≤，22
202
a c
b +-≤，2
202
kb b -≤，2k ≤，又2222cos a c b ac B +-=0>,1k >，所以12k <≤。

12.已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．
【答案】
2
13.若tan 2tan βα=，且2
cos sin 3
αβ=
，则sin()αβ-的值为 ▲ ．
【答案】13
-
【解析】1tan 2tan sin cos 2sin cos sin cos 3
βαβααβαβ=⇒=⇒=，所以
sin()αβ-1
sin cos sin cos 3
αββα=-=-
14.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+><<
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高
点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23
PRQ π
∠=，则()y f x =的最大值是
_________.
【答案】【解析】由题设可知126
2==
π
π
T ,则),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,所以
2236,436,A RQ A PQ A PR +=+==,由余弦定理可得
02222120cos 36236364+-++=+A A A A A ,解之得32=A ,
故应填答案二、解答
15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点
,A B ，若点A
的横坐标是
10
，点B
的纵坐标是5.
（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.
【答案】（1
2）34π
【解析】
…………………… 11分
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(
2
π，32π
)，
所以α＋β＝34π
． …………………… 14分
16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =． （1）求A 的大小；
（2）若2a =，b =ABC 的面积．
【答案】（1）6
A π
=（2）【解析】
17.已知向量(sin(
),1)2a x ω
ϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4
π
ωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函
数()y f x =的周期为4，且经过点1
(1,)2M ．
(1)求ω的值；
(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 【答案】(1) 2π
ω= (2) max 1
()2
f x = 【解析】
18.已知02
π
αβπ<<
<<，且5
sin()13
αβ+=
，1tan 22α=．
（1）求cos α的值；
（2）证明：5
sin 13β>． 【答案】（1）3
cos 5
α=（2）详见解析
【解析】
解：（1）将1tan
2
2α
=
代入22tan
2tan 1tan 2
α
αα=
-，得4tan 3α=，
∴22sin 4
,cos 3sin cos 1,
αααα⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
又(0,)2πα∈，
解得3cos 5
α=． （2）易得
32
2π
παβ<+<
，又5sin()13
αβ+=， ∴12cos()13αβ+=-， 由（1）可得4
sin 5
α=，
∴()53124635
sin sin ()1351356513βαβα=+-=
⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．
19. 某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．
【答案】（1
）3
（2
【解析】
（第18题图②）
在ADC △中，由余弦定理，得EF
当且仅当a b ==”．
故灌溉水管EF ．……………………………………16分
20. 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3
π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在¼MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与
BC 平行的小路PQ ．
(1)若3
PBC π
∠=
，求PQ 的长度；
(2)当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP
与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．
【答案】(1) 1PQ = (2) 当BP BC ⊥时，总路径最短. 【解析】
，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f …………………………10分
1)3
sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf …………………………12分
令()'0f θ=，π2
θ=
当π02
θ<< 时，()'0f θ<[]
当π2π23
θ<< 时，()'0f θ> …………………………14分 所以当π
2
θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………16分。