苏教版2019年高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练(含答案)

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、 填空题
1. 若α为第二象限角，则|sin α|sin α＋tan α
|tan α|
的值是________．
答案：0
解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，|sin α|sin α＝1，tan α＜0，tan α|tan α|＝－1，所以
|sin α|
sin α
＋tan α|tan α|
＝0. 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4
5
，则cos α＝
________．
答案：－3
5
解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－3
5.由三
角函数的定义可得cos α＝－3
5
.
3. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则sin α－cos α
sin α＋cos α
＝________．
答案：－3
解析：由题意得sin α＝－15，cos α＝25，所以sin α－cos α
sin α＋cos α＝－3.
4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5
x ，则tan α＝
________．
答案：－4
3
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x<0，即x<0.又cos α＝x x 2＋16，所以15x ＝x
x 2＋16，解
得x ＝－3，所以tan α
＝4x ＝－43
. 5. 函数y ＝2sin x －1的定义域为________．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z )
解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x ≥1
2
.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴
x∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z )． 6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)
，则a 的值为________． 答案：－4 3
解析：由三角函数的定义有tan 420°＝a －4.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝3，故
a
－4＝3，解得a ＝－4 3.
7. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32
解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π
3
，所以点Q 的坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π
3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32.
8. 已知角α的终边在直线y ＝－3
4
x 上，则2sin α＋cos α＝________．
答案：25或－25
解析：由题意知tan α＝－3
4
，∴ α在第二象限或第四象限，
故sin α＝35，cos α＝－45或sin α＝－35，cos α＝4
5
，
∴ 2sin α＋cos α＝25或－2
5
.
9. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．
答案：2
sin 1
解析：如图，∠AOB ＝2弧度，过点O 作OC⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.
在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1
sin 1
.
即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝2
sin 1
.
10. 已知角x 的终边上一点的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫sin 5π
6，cos 5π6，则角x 的最小正值为________．
答案：5π3
解析：∵ sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴ 角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32，所以角x 是第四象限角，tan
x ＝－3
212＝－3，∴ x ＝2k π＋5π3，k ∈Z ，∴ 角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝
sin x cos x 得出)
11. 设θ是第三象限角，且⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则sin θ2的值的符号是________．
答案：＋
解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π
4
(k∈Z )．
又⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2≤0， 从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π
2
(k∈Z )．
综上可知：2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4(k∈Z )，即θ2是第二象限角，所以sin θ
2
>0.
二、 解答题
12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
3
弧度，点Q 按顺
时针方向每秒钟转π
6
弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．
解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．
设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在π3·4＝4π
3
的位置，
则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π
3
·4＝－2 3.
所以点C 的坐标为(－2，－23)．
点P 走过的弧长为4·π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为4·π6·4＝8π
3
.
13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.
(1) 若点B 的横坐标为－4
5
，求tan α的值；
(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3) 若α∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．
解：(1) 由题意可得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.
(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝π
3
.
故与角α终边相同的角β的集合为{β⎪
⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z }． (3) 若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形AOB ＝12αr 2＝12α，α∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，2π3.
而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝1
2
sin α，
故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，2π3.第2课时 同角三角函数的基本关系
式与诱导公式
一、 填空题
1. sin 750°＝________．
答案：12
解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝1
2
.
2. 若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为________． 答案：45
解析：因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos (－α)＝45. 3. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－12
13
，则tan α＝________．
答案：－12
5
解析：因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2
α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.
4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是________．
答案：31010
解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，
故sin α＝310
10
.
5. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2
x －5sin x ·cos x, 则f(5)＝________． 答案：0
解析：由已知得f( tan x)＝ sin 2x －5 sin x · cos x sin 2x ＋ cos 2x ＝tan 2x －5tan x tan 2
x ＋1，所以f(5)＝52
－5×5
52＋1
＝0. 6. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－2
5
，则sin θ＋cos θ＝________．
答案：－31
25
解析：由sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2
θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－2425
，cos θ＝－
725，则sin θ＋cos θ＝－3125
. 7. 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 答案：25
5
解析：sin (π－α)＝sin α＝log 814＝－2
3
.
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2
α＝53，
tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25
5
.
8. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ＝________．
答案：45
解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.
sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2
θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1＝22
＋2－222＋1＝4
5
. 9. 设函数f (x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫23π6＝________．
答案：12
解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫236π＝0＋12＝12. 10. 已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________． 答案：－3
解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
二、 解答题
11. 已知1＋sin αcos α＝－12，求cos α
sin α－1
的值．
解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2
α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin
α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝1
2
.
12. 已知f(x)＝cos 2（n π＋x ）·sin 2
（n π－x ）
cos 2
[（2n ＋1）π－x]
(n∈Z )． (1) 化简f(x)的解析式；
(2) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 017＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2 015π4 034的值．
解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，
f(x)＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2·2k＋1）π－x]＝cos 2x ·sin 2
（－x ）cos 2
（π－x ） ＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）
2
＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，
f(x)＝cos 2[（2k ＋1）π＋x]·sin 2
[（2k ＋1）π－x]cos 2
{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}
＝cos 2（2k π＋π＋x ）·sin 2
（2k π＋π－x ）cos 2
[2·（2k ＋1）π＋π－x] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2·sin 2x （－cos x ）
2
＝sin 2x. 综上，f(x)＝sin 2
x.
(2) 由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 017＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2 015π4 034
＝sin 2π2 017＋sin 22 015π4 034
＝sin 2π2 017＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2－π2 017
＝sin
2
π2 017＋cos 2π
2 017
＝1. 13. 是否存在角α和β，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)时，等式⎩⎪⎨
⎪⎧sin （3π－α）＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）
同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在α＝π4，β＝π
6
使等式同时成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧sin （3π－α）＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），
得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，
两式平方相加，得sin 2
α＋3cos 2
α＝2，
得到cos 2
α＝12，即cos α＝±22
.
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝22，所以α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入3cos α＝2cos β，得cos β＝3
2
.
由于β∈(0，π)，所以β＝π
6
.
将α＝－π4代入sin α＝2sin β，得sin β＝－1
2
.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．
综上可知，存在α＝π4，β＝π
6
使等式同时成立．第3课时 三角函数的图象和性质
一、 填空题
1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为____________．
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋π
3，k ∈Z
解析：由x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x≠k π＋π
3
，k ∈Z .
2. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移变换：____________.
答案：向左平移π
12个单位
解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以要得到函数y ＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位．
3. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．
答案：5π12
解析：由题意得y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2（x －φ）＋π3为偶函数，所以－2φ＋π3＝π2＋k π(k∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝5π
12
.
4. 函数y ＝cos 2
x －2sin x 的最大值与最小值分别是________． 答案：2，－2
解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2
＋2.由－1≤sin x ≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.
5. 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，则ω的最小值为____________． 答案：2
解析：由题意知πω6＋π6＝k π＋π
2
(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.
6. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，7π12 解析：由题意可得2sin (2×0＋φ)＝3，∴ sin φ＝32，φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，7π12. 7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．
答案：322
解析：由函数图象得A ＝3，
2πω＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝π4，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ.因为(3，0)为函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝π4，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
x ＋π4，则f(0)＝3sin π4＝322.
8. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω的值为________．
答案：34
解析：由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3＜π
3
，
则f(x)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0＜ωπ3＜π3，
所以ωπ3＝π4，解得ω＝34
.
9. 函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．
答案：34
解析：依题意得，当sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最
小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝12时，函数取得最大值2，x ＝5
4
时函数取得最小值
－2，所以|x 2－x 1|的最小值是54－12＝3
4.
10. 若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在区间⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32 解析：由－π2＋2k π≤ωx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k π
ω
，k ∈Z .取k ＝0，得
－π4ω≤x ≤3π4ω.因为函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在区间⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以3π4ω≥π2，即ω≤32.又ω>0，所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32. 11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2
x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号) ① f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ② f(x)是周期函数；
③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；
④ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，5π6上是增函数；
⑤ f(x)的值域为[0，2]． 答案：①②④
解析：∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＝－1，即f(－x)≠f(x)， ∴ f(x)不是偶函数．
∵ x ∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数
f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2
x －sin x －1＝0，
解得sin x ＝1±52，当x∈[－π，0]时，sin x ＝1－5
2
，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有
两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x ·(－sin x)＋cos x ＝cos x ·(1－2sin x)，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，5π6时，cos x<0，1
2
<sin x<1，∴ f ′(x)＝cos x ·(1－2sin x)>0，
∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，5π6上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2
x ＋sin x ＋1＝－
⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122
＋54，由－1≤sin x ≤1得f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，54，故⑤为假命题． 二、 解答题
12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2
)的周期为π，且图象上有一个最低
点为M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；
(2) 求使f(x)＜3
2
成立的x 的取值集合．
解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－3，得φ＋4π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－
11
6
π＋2k π，k∈Z . 而0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π
6
.
故f(x)＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2) f(x)＜32等价于3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜32，即 sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜12， 于是2k π－7π6＜2x ＋π6＜2k π＋π
6(k∈Z )，
解得k π－2π
3＜x ＜k π(k∈Z )，
故使f(x)＜32成立的x 的取值集合为{x|k π－2π
3
＜x ＜k π，k ∈Z }．
13. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点
(0，3)，最小正周期是π.
(1) 求ω，φ的值；
(2) 已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π时，求x 0的值．
解：(1) 将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝3
2
.
∵ 0≤φ≤π2，∴ φ＝π
6
.
∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝2π
T
＝2.
(2) 由(1)知y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵ A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴ P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 0－π2，3. ∵ 点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上， ∴ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－π＋π6＝3，∴ cos ⎝
⎛⎭⎪⎫4x 0＋π6＝－32. ∵ x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，∴ 4x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋π6，4π＋π6， ∴ 4x 0＋π6＝2π＋π－π6或4x 0＋π6＝2π＋π＋π
6
，
∴ x 0＝2π3或3π
4
.第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、 填空题
1. cos 15°的值是____________．
答案：2＋6
4
解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝
2＋6
4
. 2. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．
答案：12
解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin (48°－18°) ＝sin 30° ＝12. 3. 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010
，则cos(α＋β)的值为________． 答案：
22
解析：∵ α，β为钝角，sin α＝
55，cos β＝－31010
， ∴ cos α＝－255，sin β＝10
10
，
∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
2
2
. 4. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝310
，tan(α＋β)＝－2，则tan
β＝________．
答案：17
解析：由α是第二象限角，且sin α＝
3
10，得cos α＝－
1
10
，tan α＝－3，所以tan β＝tan(α
＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝－2＋31＋6＝1
7
.
5. 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)＝__________．
答案：1665
解析：由题意可得α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β－5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－35，sin(β－5π6)＝－1213
， 所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－[45×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213]＝16
65
.
6. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝__________. 答案：－4
5
解析：sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－(32sin α＋12cos α)＝－4
5
.
7. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝____________．
答案：π3
解析：由已知可得tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝3，即tan (α＋β)＝ 3.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π
3.
8. 计算：2sin 50°－3sin 20°
cos 20°
＝________．
答案：1
解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°
cos 20°
＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°
cos 20°
＝
cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°
cos 20°
＝1.
9. 若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010
，则 β＝________． 答案：π
4
解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α－β)＝1010
， ∴ sin α＝255，cos(α－β)＝310
10，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝
22.∵ β是锐角，∴ β＝π4
. 10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝__________．
答案：
10
10
解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝π
4
.
在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，
所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝25
5.
sin ∠CED ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC ＝22cos ∠BEC －2
2
sin ∠BEC ＝
22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255－55＝1010. 二、 解答题
11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．
(1) 若B ＝π
6
，求A ；
(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．
解：(1) 由条件，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2sin(A －π6)，
∴
32sin A ＋12cos A ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32sin A －12cos A . 化简，得sin A ＝3cos A ，∴ tan A ＝ 3.
又A∈(0，π)，∴ A ＝π
3
.
(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，
∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)． 化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B. 又cos Acos B ≠0，∴ tan A ＝3tan B.
又tan A ＝2，∴ tan B ＝2
3
.
12. 已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1) 求cos α的值；
(2) 若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1) 已知sin α2＋cos α2＝6
2
，两边同时平方，
得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝1
2
.
又
π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2
α＝－32
. (2) 因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π
2
.
又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝4
5
.
则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310
.
13. 已知函数f(x)＝3sin ωxcos φ＋tan π3·cos ωxsin φ⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π
3
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1) 求ω和φ的值；
(2) 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1) 由已知得f(x)＝3sin (ωx ＋φ)，
因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又f(x)的图象关于直线x ＝π
3
对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z .
由－π2≤φ<π
2
得k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π
6
.
(2) 由(1)得f(x)＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，
即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由
π6<α<2π3得0<α－π6<π2
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝
15
4
. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋15
8.
第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、 填空题 1. 12－sin 2π
12的值为________． 答案：
3
4
解析：12－sin 2π
12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2π12＝12cos π6＝12×32＝34.
2. 函数y ＝(sin x －cos x)2
的最小正周期为__________． 答案：π
解析：y ＝(sin x －cos x)2
＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.
3. 若cos 2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝－2
2，则sin α＋cos α＝__________．
答案：12
解析：由已知得
cos 2
α－sin 2
α
2
2
（sin α－cos α）＝－
22，整理得sin α＋cos α＝12
. 4. 已知sin(α－45°)＝－2
10
，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________． 答案：7
25
解析：由sin (α－45°)＝－
210，展开得sin α－cos α＝－15.又sin 2α＋cos 2
α＝1，得sin α＝35
，cos α＝45，则cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝725
.
5. 若函数f(x)＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1，则函数f(x)的单调增区间是____________． 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k∈Z ) 解析：f(x)＝sin 2(π4＋x)＋sin 2(π4＋x)－1＝2sin 2(π
4＋x)－1＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x.易得函数f(x)
的单调增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k∈Z )． 6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－1
3
，则sin 2α＝________．
答案：－3
5
解析：因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－310
10，所以sin 2α＝
2sin αcos α＝2×
1010×(－31010)＝－3
5
. 7. 已知sin 2α＝13，则cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝___________． 答案：23
解析：cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23.
8. 若1＋tan α1－tan α＝2 017，则tan 2α＋1cos 2α＝________．
答案：2 017
解析：tan 2α＋1cos 2α＝2tan α1－tan 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝（1＋tan α）2
1－tan 2
α＝1＋tan α
1－tan α＝2 017. 9. 设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－x ＋sin x ＋a 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝____________．
答案：± 3
解析：f(x)＝1＋2cos 2
x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋
a 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2
＝2＋3，
∴ a ＝± 3.
10. 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________．
答案：－24
7
解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15①， θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴ sin θ＝45，cos θ＝35，∴ tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan
2θ＝－24
7. 11. 已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos 2
xcos φ－12·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，将函数f(x)的图象向
左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1
2
，则φ＝________．
答案：2π3
解析：∵ f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos 2
xcos φ－12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ
＝12sin 2xsin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ ＝12sin 2xsin φ＋1
2cos 2xcos φ ＝1
2
cos(2x －φ)， ∴ g(x)＝12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－φ＝12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6－φ.
∵ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，
∴ 2×π4＋π6－φ＝2k π(k∈Z )，即φ＝2π
3
－2k π(k∈Z )．
∵ 0<φ<π，∴ φ＝2π
3
.
二、 解答题
12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2
x －1，x ∈R .
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＋sin2xcos π3－cos2xsin π
3
＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2) ∵ 函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8，π4上是减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝1， ∴ 函数f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 13. 已知函数f(x)＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12
cos 4x.
(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2) 若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1) f(x)＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x)＝
22
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴ f(x)的最小正周期T ＝π
2
.
令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3
2
π，k ∈Z ，
得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π
16
，k ∈Z .
∴ f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2
＋5π16，k ∈Z .
(2) ∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 又α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π
4
，
∴α－π4＝π2，故α＝3π4
.
因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan
π31－tan 3π4tan
π3
＝－1＋31＋3
＝2－ 3.
第6课时 简单的三角恒等变换
一、 填空题
1. 已知cos 4α－sin 4
α＝23
，则cos 4α＝________．
答案：－1
9
解析：∵ cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23
，∴ cos 4α＝2cos 2
2α－1
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.
2. 若sin α2＝3
3，则cos 2α＝________．
答案：－7
9
解析：cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13
，cos2α＝2cos 2
α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.
3. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________． 答案：等腰三角形
解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，
∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝
sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．
4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝__________．
答案：π3
解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，
∴ tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B
1－tan Atan B ＝－ 3.又0＜A ＋B ＜π，
∴ A ＋B ＝2π3，∴ C ＝π
3
.
5. 若2cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则sin 2α＝___________． 答案：－7
8
解析：由2cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，得2(cos 2α－sin 2
α)＝22(cos α－sin α)，所以cos α＋sin α
＝
24.又(cos α＋sin α)2
＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝18，所以sin 2α＝－78
. 6. 若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫7π4，2π
解析：由1＋sin 2α＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4≥0.因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫7π4，2π.
7. 2cos 10°－sin 20°sin 70°
＝___________．
答案： 3
解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°
sin 70°
＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°
sin 70°
＝
3cos 20°
cos 20°
＝ 3.
8. 已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π，则sin α＝________． 答案：35
解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)2
＝
1＋sin 2α＝1－2425＝1
25
，
∴ sin α＋cos α＝－15，同理可得sin α－cos α＝7
5
，
∴ sin α＝3
5
.
9. sin 18°cos 36°＝________．
答案：14
解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°
2cos 18°
＝2sin 36°cos 36°4cos 18°＝sin 72°4cos 18°＝14
.
10. 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．
答案：－
14
2
解析：由sin α＝12＋cos α，得sin α－cos α＝1
2
，
∴ (sin α－cos α)2
＝14，∴ 2sin αcos α＝34
，
∴ (sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝74.
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sin α＋cos α＝72，
∴ cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2
α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)
＝－
142
. 二、 解答题 11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3＝1
2.
(1) 求角B 的值；
(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．
解：(1) sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3
＝⎝
⎛⎭⎪⎫32sin B －12cos B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12cos B ＋32sin B
＝34sin 2B －14cos 2B ＝sin 2
B －14＝12
， 所以sin 2
B ＝34.
因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝
32，即B ＝π3
. (2) 因为B ＝π3，所以A ＋C ＝2π
3
.
又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.
而tan(A ＋C)＝tan A ＋tan C
1－tan Atan C ＝－3，
所以tan A ＋tan C ＝3tan Atan C －3＝2 3 ①. 又tan Atan C ＝3 ②，
由①②解得tan A ＝tan C ＝3，所以A ＝C ＝π
3
.
12. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. (1) 求cos α的值；
(2) 求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π4的值． 解：(1) (解法1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4. 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－
1－sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2102
＝－7210.
所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝
－3
5
. (解法2)由sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210得，sin αcos π4＋cos αsin π4＝210， 即sin α＋cos α＝1
5
①.
又sin 2α＋cos 2
α＝1 ②.
由①②解得cos α＝－35或cos α＝4
5
.
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35. (2) 因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，cos α＝－35， 所以sin α＝1－cos 2
α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352
＝4
5.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－24
25
，
cos 2α＝2cos 2
α－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
－1＝－725.
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 13. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π
3
的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四
边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.
(1) 求S 关于θ的函数关系式； (2) 求S 的最大值及相应的θ值．
解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形． 由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.
在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－3
3
sin θ，所以S ＝MN·PD＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2
θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.
(2) 由(1)得S ＝12sin 2θ－3
6(1－cos 2θ)
＝12sin 2θ＋36cos 2θ－3
6
＝
33sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，
因为θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
12，1. 当θ＝π6时，S max ＝36
(m 2
)．
第7课时 正弦定理和余弦定理
一、 填空题
1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 答案：2 3
解析：由已知及正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC·sin B sin A ＝32·sin 45°
sin 60°
＝2 3.
2. 在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．
答案： 2
解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，则BC ＝AC·sin A
sin B ，所以BC ＝
3×22
3
2＝ 2.
3. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为
3
2
，则BC 的长为____________． 答案： 3
解析：S ＝12AB ·ACsin 60°＝12×2×32×AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ·ACcos 60°
＝3，所以BC ＝ 3.
4. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2
－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积
为________．
答案： 3
解析：∵ a 2＝b 2＋c 2
－bc ，∴ cos A ＝12
.
∴ A ＝π3.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为1
2
bcsin A ＝ 3.
5. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．
答案：π6
解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －3sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－3sin A ⇒2sin Acos
B ＝3sin A ．∵ A ∈(0，π)，∴ cos B ＝32.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π
6
.
6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2
(1－sin A)，则A ＝________．
答案：π4
解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2
－2bccos A ，
因为b ＝c ，a 2＝2b 2
(1－sin A)，
所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2
(1－sin A)， 所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.
因为A∈(0，π)，所以A ＝π
4
.
7. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B
2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形
状为________．
答案：直角三角形
解析：因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ，所以a 2＋c 2－b 2
2ac ＝a c
，所以c 2＝a
2
＋b 2.
所以△ABC 为直角三角形．
8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，
acos B ＋bcos A
c
＝2cos C ，则c ＝________．
答案：2 3
解析：∵ acos B ＋bcos A
c
＝2cos C ，
由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ， ∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.
由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴ cos C ＝12，∴ C ＝π
3.
∵ S △ABC ＝23＝12absin C ＝3
4ab ，∴ ab ＝8.
又a ＋b ＝6，∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，
∴ c 2＝a 2＋b 2
－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2 3.
9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝3acos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是______．
答案： 3
解析：由csin A ＝3acos C ，得sin Csin A ＝3sin Acos C ，即sin C ＝3cos C ，∴ tan C ＝3，∴ C ＝π3，A ＝2π
3
－B ，
∴ sin A ＋sin B ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ＋π6.
∵ 0＜B ＜2π3，∴ π6＜B ＋π6＜5π
6，
∴ 当B ＋π6＝π2，即B ＝π
3
时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.
10. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则a
b
的取值范围是________．
答案：(2，3)
解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧0＜2B ＜π
2，
0＜π－3B ＜π
2
，
所以π6<B<π
4.
因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，
所以a b ＝sin A sin B ＝2cos B ∈(2，3)．
二、 解答题
11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2
＋3bc ＝0，2bsin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.
(1) 求角A 和角B 的大小； (2) 求△ABC 的面积．
解：(1) ∵ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴ A ＝π
6
.
由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝π
6
.
(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，
得AM 2＝x 2＋x 24－2x·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2
，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32
＝2 3.
12. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2
ab ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
c cos B ＋b c cos A ＝1.
(1) 求角C ；
(2) 若c ＝7，△ABC 的周长为5＋7，求△ABC 的面积S. 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得
2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ， 即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，
∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝12，∴ C ＝π
3
.
(2) ∵ a＋b ＋c ＝5＋7且c ＝7，∴ a ＋b ＝5.
由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2
，
∴ (a ＋b)2
－2ab －2abcos C ＝7，
∴ 52
－3ab ＝7，
∴ ab ＝6，S △ABC ＝12absin C ＝33
2
.
13. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ．(1) 若0≤x≤π2 ，求函数f(x)的值域；
(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝3
2
，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．
解：(1)f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ＝(sin x ＋3cos x)cos x ＝sinx cos x ＋3cos 2
x ＝12sin 2x ＋32cos
2x ＋
32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.
由0≤x≤π2，得π3≤2x ＋π3≤4π
3
，
∴－32 ≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴ 0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤1＋32， ∴ 函数f(x)的值域为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，1＋
32. (2)由f(A)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋32＝32， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0， 又0＜A ＜π2，∴ π3＜2A ＋π3＜4π
3，
∴ 2A ＋π3＝π，解得A ＝π
3
.
在△ABC 中，由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bccos A ＝7，解得a ＝7.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝21
7.
∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ 27
7
，
∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝12×277＋32×217＝57
14
.
第8课时 解三角形应用举例
一、 填空题
1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.
答案： 6
解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴ AC ＝222
×3
2
＝ 6.
2. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15
，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为
，则cos ＝________．
答案：3－1
解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，
45°－15°＝ 30°.
由正弦定理100sin 30°＝BC
sin 15°
，∴ BC ＝ 200sin 15°.
在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，
由正弦定理得50sin 45°＝200sin 15°
sin （90°＋θ）
，∴ cos θ＝3－1.
3. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．
答案：45°
解析：依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠
CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22
.
又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.
4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.
答案：507
解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋150
2
－2×100×150×1
2
＝17 500，解得OC ＝507 m.
5. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是__________n mile/h.
答案：32。