浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测六平面向量与复数单元检测含解析

单元检测六平面向量与复数
（时间：120分钟 满分：150分）
、选择题（本大题共10小题，每小题4分,
40分.在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的）
1 .若复数z 满足i z = 3+ 4i ，则| z |等于（ A . 1B. 2C. 5D. 5 答案 D
3+ 4i
解析 因为 Z = ：— = - (3 + 4i)i = 4— 3i ,
o Z 1 2 .若 Z 1= (1 + i) 2, Z 2= 1 - i ，则一等于( Z 2
A . 1 + i
B . - 1+ i
C . 1 — i
D . - 1 — i 答案
2
••• Z 1= (1 + i) = 2i , Z 2 = 1- i ,
A. ,5
B. , 10
C. ,2
D. 3 5 答案 A
解析 由 m// n , m= ( - 1,2) , n = (2 , b )，得 b =- 4, 故 n = (2 , — 4)，所以 m + n = (1 , — 2), 故| n + n | = .5,故选 A.
4.如图所示，向量o A= a , 0B= b , 0C= c ,点A , B, C 在一条直线上， 且心—4C B 则（
1 3
A . c =尹+尹
1 4,
第I 卷（选择题 共40分）
解析
2i 2i 1 + i
Z 2 1 - i —(1 - i ]1 + i
3 .设平面向量m= ( - 1,2),
Z 1 十=-1 + i. n = (2 , b )，若 mil n ,则 | m + n | 等于(
C. c =- a + 2b
B . c =尹―尹
D. c=-3a+3b 答案D
解析 c = 屜葩屜毎屜3（ e %=4张推4b _ 3a .故选D.
5.设向量a = （X , 1） , b = （1，— •. 3），且a 丄b ,则向量a — 3b 与b 的夹角为（
答案 D
解析 因为 a 丄b ,所以 x —，j3= 0,解得 x = 3,所以 a = ( 3, 1), a — 3b = (0,4)，则 cos 〈a —Q3b ,
b 〉=』-
护13 • b = 4：屮 =—乂3，所以向量 a — J3b 与b 的夹角为 学，故
v | a —护b | • b | 4X2 2 ¥
6
选D.
6.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 $,若0B= a i OAb 阪19玄 且A , B, C 三点共线(O 为该直 线外一点)，则$019等于(
)
2019
A . 2019B. 2020C —^D. 1010 答案 C
T T T
2019
解析 A , B, C 三点共线，且 OB= a 1 OAF a 2°19OC 贝V a 1 + a 2°19= 1,所以 $0伯=—2-(a 1 + 32019)=
7.如图，在厶 ABC 中 , AB= AC = 3 , cos / BAC=1 , SC= 2B D 则 AD ・ BC 的值为( )
3
2 T 2 1T T 1 T 2
=—§|AB + §AB ・ AC F 31 AC =—6+ 1 + 3=— 2,故选 B.
冗一冗-2冗…5 n F D."6
A.y
B.y
C. 2019
2 ,故选C.
A . 2B.— 2C. 3D. — 3 答案 B
解析 A D- BC = (AC F C D - BC =
8. （2018 •嘉兴期末）对任意两个非零向量 a , b,下列说法中正确的是（）
2 2
A. （a + b）》（a —b）
B. （a + b）A a + b
2
C. (a + b ) >4| a || b |
D. (a + b )2+ (a — b )2>4a • b 答案 D
解析 因为(a + b )2 — (a — b )2= 4a • b ,与0的大小关系不确定，所以 A 错误；(a + b )2 — a 2 — b 2 = 2a • b ,与0的大小关系不确定，所以
B 错误；(a + b )2 — 4| a || b | = | a |2+ | b |2 +
2| a || b |cos 0 — 4|a || b | >2| a || b |(cos 0 — 1)，而 2| a || b |(cos 0 — 1) < 0,所以 C 错误；(a
2
2
2
2
2
2
+ b ) + (a — b ) — 4a • b = 2(| a | + | b | — 2a • b ) = 2( a — b ) >0 ,所以(a + b ) + (a — b )2>4a • b ,故选 D.
9.如图，在等腰梯形 ABCD^，已知 DC/ AB, / ADC= 120°, AB= 4, CD= 2，动点E 和F 分 别在线段BC 和 DC 上，且Bfe=kBC DF =入D C 则X E -希勺最小值是
2入
A . 4 6 + 13
B . 4 6 — 13 厂 13
厂 13 C. 4 6 + y D 4 6 — y
答案 B
解析 在等腰梯形 ABCDK AB= 4, CD= 2,Z ADC= 120°,易得 AD= BC= 2. 由动点E 和F 分别在线段BC 和 DC 上得， 0< 丄 <1, 1
2
入 所以$<入<1.
2
0< 入 <1,
所以X E- B F = (AB^B E •(B C >C F )
=XB- B C + B E - BC >XB- C F + B E - C F
=| X B •i BC cos120 ° + | B E •丨 BC — | AB •)CF +1 晶•
1
+ — X 2 — 4X (1 —入)X 2+ — X (1 —入)X 2X
2 入
入
| CF cos60
=4X 2X
3
8 入X "3 = 4yf6—13, =—13+ 8 入 + —>—13 + 2 入
当且仅当"严时取等号.
所以AL BF的最小值是4.6—13.
1
10.已知共始点的三个向量 e 1,e 2,m 且e 1,e 2为单位向量，e 1 - e 2= m= xe 1 + ye,若m- e 1>0, m- e 2<0,且满足x + y = 1,则实数x 的取值范围是（ ）
A . ( —g,— 2) C. (1 ,+g ) 答案 D
解析 由m= xe 1+ ye 2及x + y = 1,可知 m 的终点与 e 1, e 2的终点共线，由 n r e 1>0，可知 m 与e 1的夹角为锐角或同向共线， 由m- e 2<0,可知m 与e 2的夹角为钝角或反向共线， 又由| e 1| 1 n
=I 閔=1, e 1 - e 2= 2得〈e 1, e 2>=—
令 e 1 = OA e 2 = OB m= OM
可知x >2. 第n 卷（非选择题共110分）
中横线上
） 11.
已知复数
・ 2017 | ・
2018
z = i + i
答案 —i — 1 .10 _2-
解析 因为z : ・ 2017
2018
.
=1 + i = 1 因
为
z + 3 i + 2 1 + 3i
i — 1,所以 z =— i — 1. ，则z 的共轭复数z
z + 2
— i
二、填空题（本大题共7小题, B . (1,2) D. (2 ,+g)
作 OCL OB 易得 0C= 2e i — e 2. 由题意可知点 M 在射线CD±
（点C 除外）运动, 多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分•把答案填在题
所以
1+ 9
10 z + 2 = 2
= 2 .
则A , B , M 三点共线，且〈m 如图所示,
12.已知点0ABC内一点，且满足O AF OB^ 40C= 0.设厶OBCI A ABC的面积分别为S1,
S
S2,则S；=
1
答案6
6
解析设E为AB的中点，连接0E延长0C到D,使0D= 40C因为点0为厶ABC内一点，且
满足OAb 血4^0= 0,所以OAb 血6D= 0,则点O是厶ABD的重心，贝U E, O, C, D共线，
11 S 1 OD： OE= 2 : 1，所以OC OE= 1 : 2,贝U CE： OE= 3 : 2,贝U S =-S A BCE=；S A ABC所以.
3 6 S a 6
13. ______________ 在△ ABC中, AB= 6, AC= 5, A= 120°,动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则PA- P B 的最小值是.
答案16
解析设AB的中点为M
则PA- P B=1PM I P B2- 1P A-P B 2
=P M- M A=P I\M- 9,
所以要求P A-內的最小值，即求| P M的最小值，
显然当点P为线段MC与圆的交点时，
i P M取得最小值，最小值为I M C—2.
在厶AM（中，由余弦定理得 |屁2= 32+ 52—2X 3X 5X cos120°= 49,
所以|MC = 7所以|PM的最小值为5,
则P A- PB的最小值为16.
14. ______________________________________________________________ 在△ ABC中, AB= 3AC / CAB= 120°,以A为圆心，AC长为半径作圆弧，交AB于点D, M为圆弧CD上任一点，A M= xAB+ yAC贝卩3x+ y的取值范围为____________________________________________ ,xy的最大值为
1
答案[1,2] 3
解析如图，连接
设A M=入A N 贝U 入€ [1,2].
■/ AM= xAB+ yAC= 3xAb+ y X C
由C, N, D 三点共线，得3x + y = 1,
入 入
•••3 x + y =入 € [1,2].
2
1
• 4X3 x • y w (3 x + y ) <4,「. xy < -,
3
, 「 1 3x = y ,
x =o , 1
当且仅当£
即f 3 时取等号，•( Xy )max =?
3x + y = 2,
3
y = 1
2
15.
在平面中，已知向量 a , b 的夹角为 才,| a - b | = 6，向量c — a , c — b 的
夹角为一扌,| c
—a | = 2击，贝U a 与c 的夹角为 _________ ; a • c 的最大值为 ________ .
n
答案—18+12 3
解析设 a = O A b = O B c = O C
则 a 一 b = BA c 一 a = AC c 一 b = BC,
2
知/ Ao =nn, / ACB = -n.
当点Q C 在AB 两侧时，由题可得 Q A , C, B 四点共圆, 2 n 在厶 ABC 中 , BA= 6 , AC= 2 3 , / ACB=〒, 由正弦定理得
AC ,
sin Z ACB sin Z CBA
1 n
贝U sin Z CB/=-,即Z CB/=
2 6
n
n
则/ CB =Z coy ,可得a 与c 的夹角为E 因为 |c — a | = 2 3 , 2 2
所以 12= c + a — 2a • c >2| a || c | — 2a • c ,
n
a • c = | a || c |cos —得 | a || c | =
4
所以 12》一^a • c — 2a • c , 所以 a • c w 6¥； = 18 +12寸3.
2—彳3
当点Q C 在AB 同侧时，可得点 A , B, O 在以C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点 Q C, A 在同一直线上，即 OA 为圆C 的直径时，a • c = OA 0（取得最大值, (a • c ) max = | OA ・| OC = 4*3 X2 3 = 24.
又由
2
c
,
n 综上所述，a • c的最大值为18 + 12 3，此时a与c的夹角为—.
16. 已知定点A,B满足= 2，动点P与动点M满足|PB| = 4,AM=入AB+ (1 —入)Ap入€ R),
且I屁\ = I MfP，则X P- AM勺取值范围是______ ；若动点C也满足| CB = 4，则X C- AM勺取值范围是_________ .
答案[2,18] [ —6,18]
解析因为AM=入AB^ (1 —入)Ap入€ R),入+ 1 —入=1 ,
所以根据三点共线知，点M在直线PB上，
又| X
A = | X P,
记PA的中点为D,连接MD如图，
则MDLAP X P- AM= X P-(A D+ 3M=AP・ AD+ 0=£A P,因为|PB = 4,所以点P在以B为圆心，4为半径的圆上, 则| X P € [2,6]，贝y AP・ AM= 2A P C [2,18].
由于| MA +1 M B = I X
P +1X B = 4,
所以点M在以A, B为焦点，
长轴长为4的椭圆上，以直线AB为x轴，
线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
2 2
则椭圆方程为X+y = 1,
4 3
2 2
点C在圆(x —1) + y = 16 上，A—1,0),
设M2cos a , 3sin a ), C(4cos 3 + 1,4sin 3 ),
则AC= (4cos 3 + 2,4sin 3 ),
^\== (2cos a + 1,』3sin a ),
/^C- XM= (8cos a + 4)cos 3 + 4 3sin a sin 3 + 4cos a + 2 =7(8cos a + 4 2+ (4^3S in a 丫sin( 3 + 0 ) + 4cos a + 2
=(4cos a + 8)sin( B + 0 ) + 4cos a + 2,
最大值是(4cos a + 8) + 4cos a + 2= 8cos a + 10< 18,
最小值是—(4cos a + 8) + 4cos a + 2= —6,
所以A C-X M E [ —6,18].
17. _______________________________________ 已知平面向量a, b, c,其中a, b的夹角为B,若| a| -| b| - sin 0 = 2, c=^ a+ b(入为实数)，则c -(c —a) + a2的最小值是 .
答案 2 3
解析方法一令3= a, 0B= b, 0G= c,
则/ BOA= 0，并记| OA = | a| = a, | 0耳=| b| = b,
线段OA的中点为M 则|a| • b| - sin 0 = ab sin 0 = 2.
由c = X a + b 知，c —b = X a, 即卩BC// OA
c •( c —a) + a2= 0C-( OC— S A + a2
-A -A 2 ~A -A 2
=OC- AC+ a = CO- C/+ a
1 -A —A
2 ~A —A 2 2
=-[(COF CA —(CO- CA ] + a
4
=C M- 4a2+ a2= | CM2+ 4a2.
又I d M ^1 —B sin / BOA= b sin 0 ,
所以c •( c—a) + a2= | C M2+ |a2> b2sin 20 + 3a2
4 4
b2sin 20 - 4a2= >^3ab sin 0 = 2p.
3
当且仅当b2sin 20 = a2时取到最小值.
4
方法二令OA= a, OB= b, OC= c,
/ BOA= 0 , | OA = | a| = a, | OB = I b| = b,
2
由| a| ・| b| • sin 0 = ab sin 0 = 2,得b sin 0 =. a
设Q0,0) , A(a,0) , Bm I ,
I=a, c = X a+ b = n+
a
X =
2，
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
18. （14分）（2018 •杭州萧山区第一中学月考 ）已知复数z =
1 + i
3
K
2 5— i
.
3十I （1）求 |z | ；
⑵若z （z 十a ） = b + I ，求实数a , b 的值.
「•I z | = 10.
(2) J (3 — I)(3 — I 十 a ) = (3 — I) 2+ (3 — I) a =8 十 3a — (a + 6)I = b 十 I , 8十 3a = b , l a = — 7,
•••
得
—a + 6 = 1,
|b =— 13.
19. (15分)(2019 •湖州调研)已知平面向量 a , b 满足| a | = 1, |3a — 2b | = 13，且a , b 的 夹角为60°. (1) 求|b |的值；
⑵求2a — b 和a — 2b 夹角的余弦值.
解 (1)由已知得 |3 a — 2b | = 9+ 4|b | — 12a • b
=9十 4|b |2— 12X| b | X cos60° = 13,
2
即 2| b | — 3| b | — 2= 0，解得 | b | = 2. (2) |2 a — b | = .4+ 4 — 4X 2cos60° = 2, | a — 2b | = . 1 十 16 — 4X 2cos60°= . 13.
又(2 a — b ) •( a — 2b ) = 2+ 8 — 5X 2cos60° = 5.
当且仅当 3 2 4
4a =a
时取到最小值.
2I 十 10— 2I (1) J Z
= ^十—
10 10 3— I -. 3+ I — 10 — 3 I
4
贝
U c •( c — a ) + a 2 = a 2
K a a
2
=x — ax +
2
a
(2a—b )• (a—2b = 5 =
|2a—b|| a —2b| = 2^13 = "2T
所以2a—b和a—2b夹角的余弦值为
20. （15分）如图，在A OABK 点P 为线段AB 上的一个动点（不包含端点），且满足AP=入PB
1
⑴若入=2，用向量OA 6B 表示6P
⑵ 若l OA = 4, | 0B = 3,且/ AO B= 60°,求 O P- AB 取值范围.
-> 1 -> -> -> 1 -> ->
解⑴••• AF ^ 严二 0巴 OA ^（OB- OP , 3 T T 1T T 1T ••• Q OI O 用 2°B 即 Oi 3O/V 3OB
⑵•/ OA- T B= | OA -| T B • COS 60°= 6,辰入 F B 入 >0）,
OF - OA =入（OB ~ op , （1 + 入）OP = OAF 入 O B
-晁 1 TA ^ 入 T B
…OP= 1 +入 O/+1 +入 OB
—16+ 9X+ 6- 6入 3X — 10
13
1TI = 1+ 入=3 - T +T .
（1）求 COS / AOC 勺值;
••• S P ・
AB=
T/+
缶
1
1+入
OA
+
•/
入 >0, 13
• 3- L （ - 10,3）
•
AB 的取值范围是（—10,3）
21.（15
分）
）设AD 是半径为5的半圆O 的直径（如图），B, C 是半圆上两点,
已知 AB= BC= . 10.
x
1+入
（2）求DC- DBM 解⑴如图，连接OB
3
故DC- DB= 8X3 10X = 72. 方法二 DC- DB = (Oc-O D •( Oi O D
=(0(+ OA • ( OBb OA
=O C O A + Oc OB^ O B- 0+ OA =| 0C °A cos / AO (+ | O C °B cos / C0+
| O B I OA cos / AO + 25 =7 + 20+ 20+ 25= 72.
方法三 如图建立平面直角坐标系, 由⑴ 知，B , C 的坐标分别为 B (4,3) , C 7, 24 , 又 D ( — 5,0),
则 DC= 32 24 , °B= (9,3)，可得 DC- °B= 72.
3
i
22.(15 分)如图，在△ ABC 中, AM = 4AB+ 4AC
A
25+ 25- 10 4
由余弦定理得
cos
/ AO =Z 茹5=5.
又在 Rt △ ADB 中, sin / 10，
可得
cos / AD =斋1DB =3 10, 所以
cos / BD(=-^,
由 AB= BC 知/ AOC 2 / AOB / AD =Z BDC 则 | DC = 8.
⑴ 求厶ABM^A ABC 勺面积之比；
⑵ 若N 为AB 中点，AM 与交于点P,且AP = x AB^ yACx , y € R ），求x + y 的值. 解 ⑴ 在厶 ABC
中, AM= 3AB+〔AC
4A MI = 3A B + AC 3(A MI - A B = AC > AM
1
即3BMI= MC 即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点•故△ ABM^A ABC 的面积之比为~.
AP^ xAB+ yAC (x , y € R)，所以 x = 3y,
因为N 为AB 的中点，
所以 祜=AP-恥 xAfe+ yAC — 1AB= [x -1 斛 yAC
即 2x + y = 1，又 x = 3y , 3 1 4
所以 x = 7, y = 7,所以 x + y = 7.
(2)因为AM=
XM/
AP,
因为祚// C p 所以
x -1 (y - 1) = xy ,。