密码学——第4章 数论与有限域基础 ppt课件
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一般地，由 c = gcd(a, b)可得： 对每一素数p， cp = min(ap, bp)
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数论基础
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►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
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数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
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数论基础
第7页/共131页
#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
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都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
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667012345 606420642
770123456 707654321 PPT课件
数论基础
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►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 其上的模运算有以下性质：
►素数与互素
由于最大公因子为正，所以 gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(-a, -b)
一般地 gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)
由任一非 0 整数能整除 0，可得 gcd(a, 0) = |a|
如果将 a，b 都表示为素数的乘积，则 gcd(a, b) 极易确定。例如：300=22×31×52；18=21×32， 所以 gcd(18, 300) = 21×31×50 = 6
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数论基础
第5页/共131页
►素数与互素
该性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述： 设 P 是所有素数集合，则任意整数 a (a>1) 都能 惟一地写成以下形式：
a pap pP
其中 ap≥0，等号右边的乘积项取所有的素数，然 而大多指数项 ap 为 0。 相应地，任一正整数可由非 0 指数列表表示。 例如：11011可表示为{a7=1, a11=2, a13=1}。
① 交换律： (w+x) mod n = (x+w) mod n (w×x) mod n = (x×w) mod n
② 结合律：[(w+x)+y] mod n = [w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n = [w×(x×y)] mod n
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数论基础
第16页/共131页
记为 a≡b mod n。
►与 a 模 n 同余的数的全体称为 a 的同余类，记为[a]， 称 a 为这个同余类的表示元素。
►注意： 如果 a≡0 (mod n)，则n|a。
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第10页/共131页
►模运算
同余有以下性质：
① 若 n|(a-b)，则 a≡b mod n ② a≡b mod n，则 b≡a mod n ③ a≡b mod n 且 b≡c mod n，则 a≡c mod n
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数论基础
第9页/共131页
►模运算
设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得 商为 q，余数为 r，则
a qn r; 0 r n, q an ►其中 x为小于或等于 x 的最大整数。 ►用 a mod n 表示余数 r，则 a an n a mod n ►如果 (a mod n) = (b mod n)，则称 a 和 b (模 n) 同余，
从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为 这个同余类的表示元素。
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第11页/共131页
►模运算
求余数的操作 a mod n 将整数 a 映射到集合 {0, 1, …, n-1}，在这个集合上的算术运算称为 模运算，模运算有以下性质：
① [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n ② [(a mod n)-(b mod n)] mod n = (a-b) mod n ③ [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
►该性质可由 (a+b)≡(a+c) mod n 的两边同加上 a 的加法 逆元得到。
►类似性质对乘法却不一定成立。
►仔细观察可见，与 8 互素的几个数 1，3，5，7 都有 乘法逆元。这几个数有什么特点呢？
►这一结论可推广到任一PPT课Z件 n。
数论基础
第18页/共131页
►模运算
定理：设 a∈Zn，gcd(a, n) = 1，则 a 在 Zn 中有 乘法逆元。
►欧几里得 (Euclid) 算法
求最大公因子例子，gcd(1970, 1066)
1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904)
1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162)
904 = 5 x 162 + 94
gcd(162, 94)
162 = 1 x 94 + 68
► 注意： b-1 是 b mod n的乘法逆元，存在的条件是 gcd(b, n) = 1
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数论基础
第20页/共131页
►欧几里得 (Euclid) 算法
数论中的一个基本技术：求两个正整数的最大公 因子的简化方法。
扩展 Euclid 算法不仅可以求出两个正整数的最大 公因子，而且当两个正整数互素时，还可求出其 中一个数关于另一个数的乘法逆元。
性质②、③的证明类似。
（证毕）
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第13页/共131页
►模运算
例：设 Z8 = {0, 1, …, 7}，考虑 Z8 上的模加法和 模乘法，结果如下表所示：
+8 0 1 2 3 4 5 6 7 ×8 0 1 2 3 4 5 6 7 001234567 000000000 112345670 101234567 223456701 202460246 334567012 303614725 445670123 404040404 556701234 505274163 667012345 606420642 770123456 707654321
1 1 对2 x3，若4 有5 y，6 使7得0x×y1≡1 0mo1d 8，2 如3 4 5 6 7
2 2 33×43≡15m6od 87，0则称1 y 为2x 0的倒2数4，也6 称0为 4 7 2 5
4 5
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在65 本76例07中并10 非21每32一
4=2x2+0
gcd(2, 0)
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数论基础
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►欧几里得 (Euclid) 算法
ExEu求cli乘d(法f, d逆) {元//设 f >d (X1,►X如2,果Xg3c)d←(a,(1b,) 0=,1f)，; 则(Yb1,在Y2m, Yod3)a←下(有0, 乘1,法d)逆; 元（不
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数论基础
►欧几里得 (Euclid) 算法
求最大公因子
►Euclid 算法基于以下基本结论： 对任意非负整数 a 和正整数 b，有 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
►课堂练习题：证明上述命题。
第21页/共131页
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数论基础
第22页/共131页
►欧几里得 (Euclid) 算法
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数论基础
第12页/共131页
►模运算
性质①的证明：
设 (a mod n) = ra，(b mod n) = rb，则存在整数 j、k 使得 a = jn+ra，b = kn+rb， 因此：
(a+b) mod n = [(j+k)n+ra+rb] mod n = (ra+rb) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n
gcd(94, 68)
94 = 1 x 68 + 26
gcd(68, 26)
68 = 2 x 26 + 16
gcd(26, 16)
26 = 1 x 16 + 10
gcd(16, 10)
16 = 1 x 10 + 6
gcd(10, 6)
10 = 1 x 6 + 4
gcd(6, 4)
6=1x4+2
gcd(4, 2)
证明：
►首先，集合 a × Zn = {0, a, 2a, …, (n-1)a} (mod n) 与集合 Zn 等价：
1) <n; 2) ia mod n ≠ ja mod n, iff i ≠ j, i,j ∈ Zn ►然后，存在 x ∈ Zn，满足 ax ≡ 1 mod n
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数论基础
?对加法构成阿贝尔群?对乘法构成阿贝尔群忽略加法单位元?是一个环第29页共131页ppt课件有限域基础?第30页共131页ppt课件有限域基础??012345600000000101234562024613530362514404152635053164260654321第31页共131页ppt课件有限域基础?第32页共131页ppt课件?有限域基础第33页共131页ppt课件有限域基础?第34页共131页ppt课件有限域基础?第35页共131页ppt课件有限域基础?第36页共131页ppt课件有限域基础?第37页共131页ppt课件有限域基础第38页共131页ppt课件?有限域基础第39页共131页ppt课件?有限域基础第40页共131页ppt课件本章小结?素数与互素?整数模运算?群环域的基本概念?欧几里得算法?有限域gfp?gf2n有限域上的多项式运算第41页共131页ppt课件本章作业1
第19页/共131页
►模运算(小结)
加法： a+b mod n = (a mod n) + (b mod n) mod n
减法： a-b mod n = a+(-b) mod n
乘法，重复加法 ： a×b mod n = (a mod n) × (b mod n) mod n
除法：（乘法约简律） a/b mod n = a×b-1 mod n
►素数与互素
称整数 p(p>1) 是素数，如果 p 的因子 只有±1，±p
任一整数 a(a>1) 都能惟一地表示为以下形式：
a
p p 1 2 12
p t t
其中 p1 > p2 > … > pt 是素数，αi >0(i=1,…,t)。 例如：91=7×13，11011=7×112×13
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第14页/共131页
►模运算
例：设 Z8 = {0, 1, …,7}，考虑 Z8 上的模加法和模 乘法，结果如下表所示：
+8 0 从1 加2法3结果4 可5见6，对7 每一×8x，0 都1有2一 3y，4使得5 6 7 0 0 x1+y2≡0 3mo4d 8。5 称6y为7x的负0 数0，0也称0 为0加0法逆0 元0。 0
第一部分 第四章 数论与有限域基础
张权 2012年秋季
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1
►数论基础 ►群、环、域 ►有限域基础
本章提纲
第2页/共131页
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数论基础
第3页/共131页
►素数与互素
对整数 b!=0 及 a，如果存在整数 m 使得 a=mb， 称 b 整除 a，也称 b 是 a 的因子，记作 b|a
⑤ 加法逆元：对 w∈Zn，存在 z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记 z = -w。
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数论基础
第17页/共131页
►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 此外还有以下性质：
►加法可约律：如果 (a+b)≡(a+c) mod n， 则 b≡c mod n
►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 其上的模运算有以下性质：
③ 分配律：[w×(x+y)] mod n = [w×x+w×y] mod n
④ 单位元：(0+w) mod n = w mod n (1×w) mod n = w mod n
求最大公因子
►Euclid(f, d)： 设算法的输入是两个非负整数 f, d，并且 f >d
Euclid(f, d) {
X←f; Y←d；
#: if Y=0 then return X=gcd(f, d)；
R=X mod Y；
X=Y；
Y=R；
goto #;
}
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数论基础
第23页/共131页
例 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 整除 24 整除具有以下性质：
► 如果 a|1，那么a=±1 ► 如果 a|b 且 b|a，则a=±b ► 对任一 b (b≠0)，b|0 ► 如果 b|g，b|h，则对任意整数 m、n 有 b|(mg+nh)
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数论基础
第4页/共131页
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►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
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►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
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#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
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都有54乘00法逆54 元20。74
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770123456 707654321 PPT课件
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►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 其上的模运算有以下性质：
►素数与互素
由于最大公因子为正，所以 gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(-a, -b)
一般地 gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)
由任一非 0 整数能整除 0，可得 gcd(a, 0) = |a|
如果将 a，b 都表示为素数的乘积，则 gcd(a, b) 极易确定。例如：300=22×31×52；18=21×32， 所以 gcd(18, 300) = 21×31×50 = 6
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►素数与互素
该性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述： 设 P 是所有素数集合，则任意整数 a (a>1) 都能 惟一地写成以下形式：
a pap pP
其中 ap≥0，等号右边的乘积项取所有的素数，然 而大多指数项 ap 为 0。 相应地，任一正整数可由非 0 指数列表表示。 例如：11011可表示为{a7=1, a11=2, a13=1}。
① 交换律： (w+x) mod n = (x+w) mod n (w×x) mod n = (x×w) mod n
② 结合律：[(w+x)+y] mod n = [w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n = [w×(x×y)] mod n
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记为 a≡b mod n。
►与 a 模 n 同余的数的全体称为 a 的同余类，记为[a]， 称 a 为这个同余类的表示元素。
►注意： 如果 a≡0 (mod n)，则n|a。
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►模运算
同余有以下性质：
① 若 n|(a-b)，则 a≡b mod n ② a≡b mod n，则 b≡a mod n ③ a≡b mod n 且 b≡c mod n，则 a≡c mod n
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►模运算
设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得 商为 q，余数为 r，则
a qn r; 0 r n, q an ►其中 x为小于或等于 x 的最大整数。 ►用 a mod n 表示余数 r，则 a an n a mod n ►如果 (a mod n) = (b mod n)，则称 a 和 b (模 n) 同余，
从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为 这个同余类的表示元素。
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►模运算
求余数的操作 a mod n 将整数 a 映射到集合 {0, 1, …, n-1}，在这个集合上的算术运算称为 模运算，模运算有以下性质：
① [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n ② [(a mod n)-(b mod n)] mod n = (a-b) mod n ③ [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
►该性质可由 (a+b)≡(a+c) mod n 的两边同加上 a 的加法 逆元得到。
►类似性质对乘法却不一定成立。
►仔细观察可见，与 8 互素的几个数 1，3，5，7 都有 乘法逆元。这几个数有什么特点呢？
►这一结论可推广到任一PPT课Z件 n。
数论基础
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►模运算
定理：设 a∈Zn，gcd(a, n) = 1，则 a 在 Zn 中有 乘法逆元。
►欧几里得 (Euclid) 算法
求最大公因子例子，gcd(1970, 1066)
1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904)
1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162)
904 = 5 x 162 + 94
gcd(162, 94)
162 = 1 x 94 + 68
► 注意： b-1 是 b mod n的乘法逆元，存在的条件是 gcd(b, n) = 1
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►欧几里得 (Euclid) 算法
数论中的一个基本技术：求两个正整数的最大公 因子的简化方法。
扩展 Euclid 算法不仅可以求出两个正整数的最大 公因子，而且当两个正整数互素时，还可求出其 中一个数关于另一个数的乘法逆元。
性质②、③的证明类似。
（证毕）
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►模运算
例：设 Z8 = {0, 1, …, 7}，考虑 Z8 上的模加法和 模乘法，结果如下表所示：
+8 0 1 2 3 4 5 6 7 ×8 0 1 2 3 4 5 6 7 001234567 000000000 112345670 101234567 223456701 202460246 334567012 303614725 445670123 404040404 556701234 505274163 667012345 606420642 770123456 707654321
1 1 对2 x3，若4 有5 y，6 使7得0x×y1≡1 0mo1d 8，2 如3 4 5 6 7
2 2 33×43≡15m6od 87，0则称1 y 为2x 0的倒2数4，也6 称0为 4 7 2 5
4 5
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在65 本76例07中并10 非21每32一
4=2x2+0
gcd(2, 0)
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►欧几里得 (Euclid) 算法
ExEu求cli乘d(法f, d逆) {元//设 f >d (X1,►X如2,果Xg3c)d←(a,(1b,) 0=,1f)，; 则(Yb1,在Y2m, Yod3)a←下(有0, 乘1,法d)逆; 元（不
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►欧几里得 (Euclid) 算法
求最大公因子
►Euclid 算法基于以下基本结论： 对任意非负整数 a 和正整数 b，有 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
►课堂练习题：证明上述命题。
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►模运算
性质①的证明：
设 (a mod n) = ra，(b mod n) = rb，则存在整数 j、k 使得 a = jn+ra，b = kn+rb， 因此：
(a+b) mod n = [(j+k)n+ra+rb] mod n = (ra+rb) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n
gcd(94, 68)
94 = 1 x 68 + 26
gcd(68, 26)
68 = 2 x 26 + 16
gcd(26, 16)
26 = 1 x 16 + 10
gcd(16, 10)
16 = 1 x 10 + 6
gcd(10, 6)
10 = 1 x 6 + 4
gcd(6, 4)
6=1x4+2
gcd(4, 2)
证明：
►首先，集合 a × Zn = {0, a, 2a, …, (n-1)a} (mod n) 与集合 Zn 等价：
1) <n; 2) ia mod n ≠ ja mod n, iff i ≠ j, i,j ∈ Zn ►然后，存在 x ∈ Zn，满足 ax ≡ 1 mod n
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►模运算(小结)
加法： a+b mod n = (a mod n) + (b mod n) mod n
减法： a-b mod n = a+(-b) mod n
乘法，重复加法 ： a×b mod n = (a mod n) × (b mod n) mod n
除法：（乘法约简律） a/b mod n = a×b-1 mod n
►素数与互素
称整数 p(p>1) 是素数，如果 p 的因子 只有±1，±p
任一整数 a(a>1) 都能惟一地表示为以下形式：
a
p p 1 2 12
p t t
其中 p1 > p2 > … > pt 是素数，αi >0(i=1,…,t)。 例如：91=7×13，11011=7×112×13
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►模运算
例：设 Z8 = {0, 1, …,7}，考虑 Z8 上的模加法和模 乘法，结果如下表所示：
+8 0 从1 加2法3结果4 可5见6，对7 每一×8x，0 都1有2一 3y，4使得5 6 7 0 0 x1+y2≡0 3mo4d 8。5 称6y为7x的负0 数0，0也称0 为0加0法逆0 元0。 0
第一部分 第四章 数论与有限域基础
张权 2012年秋季
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►数论基础 ►群、环、域 ►有限域基础
本章提纲
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数论基础
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►素数与互素
对整数 b!=0 及 a，如果存在整数 m 使得 a=mb， 称 b 整除 a，也称 b 是 a 的因子，记作 b|a
⑤ 加法逆元：对 w∈Zn，存在 z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记 z = -w。
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数论基础
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►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 此外还有以下性质：
►加法可约律：如果 (a+b)≡(a+c) mod n， 则 b≡c mod n
►模运算
一般地，定义 Zn 为小于 n 的所有非负整数集合， 即 Zn = {0, 1, …, n-1}，称 Zn 为模 n 的同余类。 其上的模运算有以下性质：
③ 分配律：[w×(x+y)] mod n = [w×x+w×y] mod n
④ 单位元：(0+w) mod n = w mod n (1×w) mod n = w mod n
求最大公因子
►Euclid(f, d)： 设算法的输入是两个非负整数 f, d，并且 f >d
Euclid(f, d) {
X←f; Y←d；
#: if Y=0 then return X=gcd(f, d)；
R=X mod Y；
X=Y；
Y=R；
goto #;
}
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例 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 整除 24 整除具有以下性质：
► 如果 a|1，那么a=±1 ► 如果 a|b 且 b|a，则a=±b ► 对任一 b (b≠0)，b|0 ► 如果 b|g，b|h，则对任意整数 m、n 有 b|(mg+nh)
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