启东市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

启东市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ） A ．y=1 B ．
y=
C ．x=1
D ．
x=
2． 已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4 3． 在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ） A ．13
B
．
C
．
D ．21
4． 函数y=a 1﹣x （a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0
）上，则的最小
值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
6． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=
（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
7． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A ．4 B ．2 C
． D ．
2 8． 已知在△ABC 中，
a=
，
b=
，B=60°，那么角C 等于（ ）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 10．已知实数x ，y
满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B
．
C
．
D
．
11．若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）
A ．（0，10） B
．（，10）
C
．（
，+∞） D ．（0
，
）∪（10，+∞）
12．在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48 二、填空题
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
13．已知两个单位向量,a b 满足：12
a b ∙=-
，向量2a b -与的夹角为，则c o s θ= .
14．已知
a 、
b 、
c 分别是A B C ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则
3
s i n c o s (
)4
A B π-
+的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．
15．函数f （x ）=
（x ＞3）的最小值为 ．
16．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．
17．设()x
x f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机
事件“0k <”的概率为_________.
18．已知正四棱锥O A B C D -的体积为2， 则该正四棱锥的外接球的半径为_________
三、解答题
19．已知函数f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；
（Ⅱ）当x ∈[﹣，
]时，求f （x ）的值域．
20．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2
）=3ab ．
（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值； （Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥
PD ，Q 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．
22．化简：
（1）．
（2）+．
23．（本小题满分12分）一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P
点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.
24．（本小题满分12分）
某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）
3
3．5
4
5
5．5
6．5
7
7．5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 1
2
1
()()
()
n
i i i n
i i x x y y b x x ==--=
-∑
∑
，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值．
启东市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2
即为
y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．
2． 【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 3． 【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c=
=
=
．
故选：B ．
4． 【答案】B
【解析】解：函数y=a 1﹣x
（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A （1，1）， ∵点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0）上， ∴m+n=1．
则
=（m+n ）
=2+
=4，当且仅当m=n=时取等号．
故选：B ．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
5． 【答案】A 【解析】解：令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ）
即
解得：x=3，y=1
即4a ﹣2b=3（a ﹣b ）+（a+b ） ∵1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4， ∴3≤3（a ﹣b ）≤6 ∴5≤（a ﹣b ）+3（a+b ）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．
6．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
7．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
9．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
10．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．【答案】D
【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），
因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，
由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．
12．【答案】B
【解析】
，所以，故选B
答案：B
二、填空题
13．【答案】7
-．
【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义c o s a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简
14．【答案】2
【
解析】
15．【答案】 12 ．
【解析】解：因为x ＞3，所以f （x ）＞0
由题意知：
=﹣
令t=∈（0，），h （t ）=
=t ﹣3t 2
因为 h （t ）=t ﹣3t 2
的对称轴x=，开口朝上知函数h （t ）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h （t ）∈（0，]
由h （t ）=⇒f （x ）=
≥12
故答案为：12
16．【答案】 6
【解析】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO==，
所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V==6．
故答案为：6．
17．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，01x >，∴随机事件“0k <”的概率为
23
．
18．【答案】
11
8
【解析】因为正四棱锥O A B C D -的体积为2，所以锥高为2，设外接球的半径为R ，依轴
截面的图形可知：222
11(2)2
8
R R R =-+∴=
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）=sin2x+
cos2x
=2（sin2x+cos2x ）=2sin （2x+），
由2k π+
≤2x+
≤2k π+
（k ∈Z ）得：k π+
≤x ≤k π+
（k ∈Z ），
故f （x ）的单调减区间为：[k π+，k π+
]（k ∈Z ）；
（Ⅱ）当x ∈[﹣
，
]时，（2x+）∈[0，
]，2sin （2x+
）∈[0，2]，
所以，f （x ）的值域为[0，2]．
20．【答案】
【解析】解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，
∴sinA=
=，
∵5（a 2+b 2﹣c 2
）=3
ab ，
∴cosC==，
∵0＜C ＜π，
∴sinC=
=，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中点，
∴QN∥AD，且QN=AD．
∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，
∴AD=4，
∴BC=AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四边形BCQN为平行四边形，
∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．
由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，
∴△APM为等边三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．
∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．
设平面AQC 的法向量为=（x ，y ，z ），
∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．
∴cos ＜
，＞=
=﹣
．
∴直线PD 与平面AQC 所成角正弦值为
．
22．【答案】
【解析】解 （1）原式==
==
=
==﹣1．
（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，
tan （π+α）=tan α，
∴原式=
+
=
+
=
=﹣
=﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
23．【答案】16y x =-．
【解析】
试题分析：设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线
12,l l 上，列出方程组，求解11,x y 的值，即可求解直线的方程. 1
考点：直线方程的求解. 24．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
ξ取值为0，1，2．
15
2)0(2
10
2
4
=
==C C P ξ，15
8)1(2
10
1
614=
=
=C C C P ξ，3
1)2(2
10
2
6
=
=
=C C P ξ，
∴ξ的分布列为
∴2816()01215
15
3
5
E ξ=⨯
+⨯
+⨯
=．
（3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，
2
1() 2.250.250.25 2.255n
i i x x =-=+++=∑
，
4
1
()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑
，
1
2
1
()()
7 1.45
()
n
i i i n
i i x x y y b x x ==--=
=
=-∑
∑
，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a
y b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．。