考研数学三(线性代数)模拟试卷108(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷108(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）
A．A+B是对称矩阵
B．AB是对称矩阵
C．A*+B*是对称矩阵
D．A一2B是对称矩阵
正确答案：B
解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。

首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。

（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。

而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。

从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。

结合选项A可知选项C是正确的。

因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。

注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

所以应选B。

知识模块：线性代数
2．
A．P1P3A
B．P2P3A
C．AP3P2
D．AP1P3
正确答案：B
解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。

该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。

而P2P3，A正是后者，所以应选B。

知识模块：线性代数
3．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）
A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
正确答案：A
解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。

若向量组α1，α2，…，αs线性相关，则r（B）＜s，从而r（AB）≤r（B）＜s，向量组Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关，故应选A。

知识模块：线性代数
4．非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A 是4×6矩阵，则（）
A．无法确定方程组是否有解
B．方程组有无穷多解
C．方程组有唯一解
D．方程组无解
正确答案：B
解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B。

知识模块：线性代数
5．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）
A．不存在
B．仅含一个非零解向量
C．含有两个线性无关的解向量
D．含有三个线性无关的解向量
正确答案：B
解析：由A*≠O可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n一1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r（A）≥n一1。

又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r（A）＜n，从而r （A）=n一1。

因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B。

知识模块：线性代数
6．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（）A．λ1≠0
B．λ2≠0
C．λ1=0
D．λ2=0
正确答案：B
解析：令k1α1+k2A（α1+α2）=0，则（k1+k2λ1）α1+k2λ2α2=0。

因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。

当λ2≠0时，显然有k1=0，
k2=0，此时α1，A（α1+α2）线性无关；反过来，若α1，A（α1+α2）线性无关，则必然有λ2≠0（否则，α1与A（α1+α2）=λ1α1线性相关），故应选B。

知识模块：线性代数
7．设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是（）
A．若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量
B．若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量
C．若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量
D．若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量
正确答案：D
解析：如果α是2A的特征向量，即（2A）α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

由于（λE—A）x=0与（λE—AT）x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。

例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。

所以应选D。

知识模块：线性代数
8．已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值A=5的特征向量，那么矩阵P不能是（）A．（α1，—α2，α3）
B．（α1，α2+α3，α2一2α3）
C．（α1，α3，α2）
D．（α1+α2，α1一α2，α3）
正确答案：D
解析：若P—1AP=Λ=，P=（α1，α2，α3），则有AP=PΛ，即（Aα1，Aα2，Aα3）=（λ1α1，λ2α2，λ3α3），可见αi是矩阵A属于特征值λi （i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。

若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。

若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。

本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故选项B正确。

对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。

故选项C正确。

由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。

所以应选D。

知识模块：线性代数
9．二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（2x1+3x2+x3）2一5（x2+x3）2的规范形为（）
A．y12+y22+4y32
B．y22一y32
C．y12一y22一y32
D．y12一y22+y32
正确答案：B
解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得f（x1，x2，x3）=5x1x2+5x2x2一4x3x2+14x1x2+4x1x3—4x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵A的特征根为12，一6，0。

因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，所以选B。

知识模块：线性代数
10．设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（）
A．xT（A+B）x
B．xTA—1x
C．xTB—1x
D．xTABx
正确答案：D
解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。

设Apj=λjpj，则A—1pj=pj，A—1的n个特征值（j=1，2，…，n）必都大于零，这说明A—1为正定阵，xTA—1x为正定二定型。

同理，xTB—1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT（A+B）x=xTAx+xTBx ＞0，这说明xT（A+B）x为正定二次型。

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。

知识模块：线性代数
填空题
11．行列式=________。

正确答案：一2（x3+y3）
解析：将后两列加到第一列上=一2（x3+y3）。

知识模块：线性代数
12．设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。

已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。

正确答案：18
解析：由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。

因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。

从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（一1）X （一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。

知识模块：线性代数
13．如果A=（B+E），且B2=E，则A2=________。

正确答案：A
解析：已知A=（B+E）且B2=E，则即A2=A。

知识模块：线性代数
14．
正确答案：
解析：|A|=1，|B|=（2—1）（3—1）（3—2）=2，所以A，B均可逆，则也可逆。

由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2—1=1，同理可得|B*|=|B|3—1=4，且知识模块：线性代数
15．已知n阶矩阵则r（A2一A）=________。

正确答案：1
解析：因为A2一A=A（A—E），且矩阵可逆，所以r（A2一A）=r（A—E），而r（A—E）=1，所以r（A2一A）=1。

知识模块：线性代数
16．向量组α1=（1，一2，0，3）T，α2=（2，一5，一3，6）T，α3=（0，1，3，0）T，α4=（2，一1，4，7）T的一个极大线性无关组是________。

正确答案：α1，α2，α4
解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（α1，α2，α3，α4）因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。

知识模块：线性代数
17．方程组有非零解，则k=________。

正确答案：一1
解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12（k+1）=0，因此得k=一1。

知识模块：线性代数
18．设n阶矩阵A的秩为n一2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为________。

正确答案：α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数
解析：α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。

又n一r（A）=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数。

知识模块：线性代数
19．已知α=（1，3，2）T，β=（1，一1，一2）T，A=E一αβT，则A 的最大的特征值为________。

正确答案：7
解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr（αβT），其中tr（αβT）=βTα=一6。

所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。

知识模块：线性代数
20．设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=（1，2，1）T，α2=（1，一1，1）T，则特征值2对应的特征向量是________。

正确答案：t（一1，0，1）T，t≠0
解析：设所求的特征向量为α=（x1，x2，x3）T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有所以对应于特征值2的特征向量是t（一1，0，1）T，t≠0。

知识模块：线性代数
21．设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是________。

正确答案：a＜0
解析：BT=（一aE+ATA）T=一aE+ATA=B}，故B是一个对称矩阵。

B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT（一aE+ATA）x=一axTx+xTATAx=一axTx+（Ax）TAx＞0，其中（Ax）T（Ax）≥0，xTx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。

知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。

（Ⅰ）计算并化简PQ；（Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α2A—1α≠b。

正确答案：（Ⅰ）由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A—1有（Ⅱ）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有=|A|2（b一αTA—1α）。

因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|（b一αTA—1α）。

由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。

涉及知识点：线性代数
23．设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。

证明：r（A）≤2。

正确答案：r（A）=r（ααT+ββT）≤r（ααT）+r（ββT）≤r（α）+r（β）≤2。

因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r（A）≤3。

因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是A ξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r（A）≤2。

涉及知识点：线性代数
24．η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。

证明：（Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r线性无关；（Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。

正确答案：（Ⅰ）假设η*，ξ1，ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，
c1，…，cn—r，使得c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，（1）用矩阵A左乘上式两边，得0=A（c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r）= c0Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=c0b，其中b≠0，则c0=0，于是（1）式变为c1ξ1+…+c…ξn—r=0，ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，与假设矛盾。

所以η*，ξ1，ξn—r线性无关。

（Ⅱ）假设η*，η*+ξ1，η*+ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn—r使c0η*+c1（η*+ξ1）+…+cn—r（η*+ξn—r）=0，即（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0。

（2）用矩阵A左乘上式两边，得0=A[（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r]=（c0+c1…+cn—r）Aη*+c1A ξ1+…+cn—rAξn—r=（c0+c1…+cn—r）b，因为b≠0，故c0+c1+…+cn—r=0，代入（2）式，有c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，则c0=0。

与假设矛盾。

综上，向量组η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。

涉及知识点：线性代数
25．设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。

正确答案：该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。

对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=一1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。

此时增广矩阵变换为所以通解为（其中c1，c2为任意常数）。

涉及知识点：线性代数
26．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。

证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。

正确答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有A ηi=b（i=1，…，s）。

因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A（k1η1+k2η2+…+ks ηs）=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b（k1+…+ks）=b，由此可见x也是方程组的解。

涉及知识点：线性代数
27．已知的一个特征向量。

（Ⅰ）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；（Ⅱ）问A能不能相似对角化?并说明理由。

正确答案：（Ⅰ）设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有（A—λE）p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。

（Ⅱ）A的特征多项式得A的特征值为λ=一1（三重）。

若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而故r（A+E）=2，所以齐次线性方程组（A+E）x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。

涉及知识点：线性代数
28．设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=（1，一1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E 为三阶单位矩阵。

（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B。

正确答案：（Ⅰ）由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=（A5一4A3+E）α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。

由关系式B=A5一4A3+E 及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，μ3=1。

设α1，α2为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。

因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为B的全部特征向量为其中k1≠0，k2，k3不同时为零。

（Ⅱ）令P=（α1，α2，α3）涉及知识点：线性代数
29．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明：合同。

正确答案：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=CTA1C1。

同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。

涉及知识点：线性代数。