第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题和答案_初中组

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A (初中组)
决赛试题A （初中组）
（时间: 2011年4月16日14:00～15:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1. 计算:
)
161()2
1()3(120
12.13
--⨯-
÷-+-÷
-= .
2. 算式: 兔兔兔兔兔兔吉祥如意兔年兔=⨯⨯
中的汉字代表0～9的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字, 吉祥如意所代表的四位数是 .
3. 将12个小球放入编号为1至4的四个盒子中, 每个盒子中的小球数不小于盒
子编号数, 那么共有 种不同的放法．
4. 有一列数, 第一个数是10, 第二个数是20, 从第三个数开始, 每个数都是前
面所有数的平均数, 那么第2011个数是 . 5. 设x 是有理数, 962363-+-+-++=x x x x P , 则P 的最小值为 . 6. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形
成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.
7. 下面两串单项式各有2011个单项式:
2
4
5
7
8
31
32
6028
6029
6031
6032
n n xy ,x y ,x y ,,x y
,,x
y
,x
y
++
10058
10057
10053
10052
3
52
513
12
8
7
3
2
,,,,,,y
x
y
x
y x
y x
y x y x m m ++
其中m n ,为非负整数, 则这两串单项式中共有 对同类项.
8. 将能被3整除、被5除余2、被11除余4的所有这种正整数依照从小到大的
顺序排成一列, 记为1234,,,,a a a a . 如果12011n n a a -<<, 则n 等于 .
9. 将9个各不相同的正整数填在3×3表格的格
子中, 一个格子填一个数, 使得每个2×2子表格中四个数的和都恰好等于100. 求这9个正整数总和的最小值.
10. 右图中, 平行四边形ABCD 的面积等于1, F
是BC 上一点, AC 与DF 交于E , 已知3B F F C
=,
则三角形CEF 的面积是多少？
11. 设p n m ,,为非零自然数, p n m ≥≥, 且满足
方程: 27
)3
8
)(3
8
)(3
8
(mnp p n m =
---. 问p 的最大值等于多少？
12. 如图, 如果将梯形ABCD 分割成 一个
平行四边形ABCE 和一个 三角形AED ,
AB =3
238
米, BC =3
226
米, CD =72米,
AD =20米, 那么四边形ABCE ，三角形AED ，梯形ABCD 的面积分别是多少平方米？
三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 在边长为1厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D
为圆心, 1厘米为半径画圆弧, 交点E , F , G , H , 如图所示. 求中间阴影六边形BEFDGH 的面积.
14. 已知m x x =-1,
是否存在整数m 使得4
41x
x +
为完全平
方数？如果存在, 求出整数m ；若不存在, 请说明理由.
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A 参考答案（初中组）
一、 填空题 (每小题 10分，共80分)
图1 图2
D
9. 答案：121 10. 答案
140
11. 答案：4
12. 答案：ABCE 的面积是61832
(平方米)
三角形ADE 的面积是26632
(平方米) 梯形的ABCD 面积是88531
(平方米)
三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)
13. 答：1
2平方厘米.
解：如图，连接AF , AE , 则,,ADF AFE AEB ∆∆∆都是顶角为30 ，两腰为1厘米的等腰三角形.其面积相等. 自点F 作FP AD ⊥于P . 则1,2F P =因此
三角形ADF 的面积1111.224=⨯⨯
= 所以五边
形ABEFD 的面积=
34（平方厘米）. 同理，
五边形BCDGH 的面积=34
（平方厘米）.
而正方形ABCD 的面积为1平方厘米. 由面积重叠原理可知，重叠部分为阴影六边形BEFDGH ，它的面积为
3311442
+-=
（平方厘米）.
14. 答案：不存在 解：若存在整数m 使得4
41x
x +
为完全平方数，则设存在正整数n 使得，
2
4
4
1n
x
x =+
.
D
因为m x x =-
1，所以212
2
2
+=+
m x
x .
所以2)2(1
2
2
4
4-+=+
m x
x .
所以2222)2(n m =-+. 即2))(2(22=+-+n m n m .
因为n m -+22与n m ++22的奇偶性相同，且2是偶数，所以n m -+22与
n m ++22
都是偶数.
因为))(2(22n m n m +-+是4的倍数，但是2不是4的倍数，矛盾！ 所以不存在整数m 使得4
41x
x +为完全平方数.。